4.1 线段、射线、直线第2课时 比较线段的长短 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

1 线段、射线、直线 第2课时 比较线段的长短 北师大版·七年级上册 第四章 基本平面图形 1 学习目标 1.掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中运用其解决实际问题，积累数学活动经验。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义，理解两点之间距离的意义，能度量和表达两点间的距离，发展几何直观感知能力、合情的推理能力以及探究意识。 3.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养动手操作的能力。 回顾引入 我们在小学的时候已经会比较物体的长短了，比一比，下面两组学具中哪个更长？在对应的方框内打“√”。 √ √ 我们是如何比较上面两组学具的长短的？ 直接观察 想一想：你还有没有更严谨的比较方法？ 探究新知 探究点1 与线段有关的几何事实及两点之间的距离 问题1 如图，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条“捷径”？ 这是一条近路 问题2 如图，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？ ① ② ③ ④ 最近 根据生活经验，我们发现： 两点之间的所有连线中，线段最短。 这一事实可以简述为： 两点之间线段最短。 我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。 描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身。 例1 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。 A B 两点之间线段最短。 【对应训练】 1.把原来弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理是__________________。 两点之间线段最短 A B A B N M 2.如图，直线 MN 表示一条河流，在河流两旁有两点A，B表示两块稻田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田，则在河岸哪个位置开渠可使水到两块稻田的距离之和最小？为什么？ 两点之间线段最短 连接点A，点B P 解：如图，连接 AB 交直线 MN 于点P，在交点 P 处开渠可使得水到两块稻田的距离之和最小,依据的是“两点之间线段最短”。 探究点2 比较线段的长短及尺规作图 问题1 下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？ 问题2 怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。 方法一 度量法 A B C D 4cm 5cm 线段AB小于线段CD 记作AB＜CD 从“数”的角度进行比较 利用度量法测量时，一般采用相同的测量工具，单位要统一，精确度要一致。 C D （A） 方法二 叠合法 把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。 A B B 线段AB＜线段CD 从“形”的角度进行比较 用尺规作图的方法可以实现。只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图。 一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧。 问题3 你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？ A B C D A B C D C D A B 线段AB大于线段CD 记作AB＞CD 线段AB等于线段CD 记作AB=CD 线段AB小于线段CD 记作AB＜CD 例2 如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB。 【教材 P115 例题】 A B 作法：1.作射线A′C′。 2.用圆规在射线A′C′上截取A′B′=AB。 线段A′B′就是所要作的线段。 A′ C′ B′ 圆规两只脚的端点分别与端点A，B重合，再保持两脚不动分别移至点A′，B′。 对应训练 【教材 P115随堂练习第1题】 1. 如图，比较折线 AB 和线段 A′B′ 的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 解：有两种方法：一种方法是用刻度尺量出折线AB中每一条线段的长度，求出它们的长度和；再量出线段A′B′的长度，再进行比较。 另一种方法是将折线AB的端点A与线段A′B′的端点A′重合，用圆规把折线AB中的每一条线段分别顺次地移到线段A′B′上去，再进行比较。 需要的工具有刻度尺、圆规。 【教材 P115随堂练习第2题】 2. 如图，已知线段 a 和 b，直线 AB 和 CD 相交于点 O。请用尺规按下列要求作图： a b A B C D O （1）在射线 OA，OB，OC 上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段 a 相等； （2）在射线 OD 上作线段 OD'，使 OD' 与线段 b 相等； （3）连接 A'C'，C′ B′，B′D′，D′A′。 你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。 a b A B C D O A′ B′ C′ D′ 解：所得到的图形如图所示，是一个四边形(筝形)。 3. 如图，已知线段 a， b，用尺规作一条线段 m，使 m= a+b. 解：如图所示，线段 m即为所求。 【教材 P116随堂练习第3题】 探究点3 线段的中点 问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？ 中点位置 问题2 将纸展平，对照图形，描述一下线段中点的概念。 A B M M 点M把线段AB 分成相等的两条线段AM与BM，点M 叫作线段 AB 的中点。 A B M 几何语言： 点M 是线段 AB 的中点 若点M 是线段 AB 的中点， 则 AM=MB= AB （或AB=2AM=2BM ） 反之也成立： 若 AM=MB= AB （或AB=2AM=2BM ） 则点M 是线段 AB 的中点 尝试·思考 在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点O是线段 AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少？ A O B C l 解：作图如图所示。 由图可知，AC=AB+BC=4+3=7(cm)， 因为点O是线段AC的中点， 所以OA= AC= ×7=3.5(cm)。 所以OB=AB-OA=4-3.5=0.5(cm)。 所以线段AC和OB的长度分别是7cm，0.5cm。 【对应训练】 1.若点C是线段AB的中点，且BC=3cm，则AB 的长是( ) A.1.5cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm D 2.[尝试·思考 变式题]在直线l上取A，B，C三点，使得 AB=5cm，BC=3 cm，如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 OB 的长度是多少？ 解：因为A，B，C三点不是在直线l上顺次取的，所以有两种情况： 第一种情况如图所示，点C在点A，B之间。 因为AB=5cm，BC=3cm，所以AC=AB-BC=5-3=2(cm)。 因为点O是线段AC的中点， 所以OC= AC= ×2=1(cm)。 所以OB=OC+BC=1+3=4(cm)。 第二种情况如图所示，点C在AB的延长线上。 依照尝试·思考中思路可求得OB=1cm。 综上，线段OB的长度是4cm或1cm。 【综合演练】 如图，已知线段a和射线 AP。 a A P （1）用圆规在射线AP上截取AB=3a(保留作图痕迹)； A P B （2）若点C为线段AB 的中点，点D在射线BP上，且 AD=4a，请你画出图形，并求出 C，D 两点之间的距离（用含a的代数式表示）。 a A P 解：因为点C为线段AB的中点， 所以AC= AB= ×3a=1.5a。 又因为C，D两点之间的距离即为线段CD的长， 所以C，D两点之间的距离为2.5a。 D B C 所以CD=AD- AC=4a-1.5a=2.5a。 随堂训练 1.如图，比较线段a和线段b的长短，结果正确的是（ ） A.a >b B.a<b C.a=b D.无法比较 B 2. 下列说法中错误的是（ ） A. A，B两点之间的距离为5 cm B. A，B两点之间的距离是线段AB的长 C. A，B两点之间的距离就是线段AB D. A，B两点之间线段的长度叫作A，B 两点之间的距离 C 解：（1）因为AD=10 cm，AC=6 cm， 所以CD=AD-AC=4 cm 。 因为点B为CD的中点， 所以BD= CD=2 cm 。 3. 如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=10 cm，AC=6 cm。 (1)求BD的长； (2)若点E是AC的三等分点，且点E靠近点A，求BE的长。 所以AE= AC=2 cm。 3. 如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=10 cm，AC=6 cm。 (1)求BD的长； (2)若点E是AC的三等分点，且点E靠近点A，求BE的长。 （2）因为AC=6 cm，点E是AC的三等分点，且点E靠近点A， 因为BD=2 cm , 所以BE=AD-AE-BD=6 cm。 课堂总结 1.你能举例说明“两点之间线段最短”这一事实吗？什么是两点之间的距离？ 2.你会用几种方法比较两条线段的长短？具体怎么操作？ 3.什么是尺规作图？你是否掌握了作一条线段等于已知线段的方法？ 4.什么是线段的中点？线段的中点具有哪些性质？ 知识结构 比较线 段的长短 几何事实 两点之间线段最短 两点之间的距离 两点之间线段的长度 线段长 短的比较 观察法 度量法 叠合法 尺规作图 作一条线段等于已知线段 线段 的中点 概念 性质 线段的和差计算（分类讨论思想） 1.教材 P116~118 习题 4.1第3，4，5，8题。 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练。 作业布置 Lavf58.20.100 $$