2.1.2两条直线平行和垂直的判定学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 一、两条直线平行的判定 问题1 在平面几何中,两条平行直线被第三条直线所截,形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系? 提示 两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补. 问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截,形成同位角相等,而倾斜角是一对同位角,因此可以得出什么结论? 提示 两直线平行,倾斜角相等. 知识梳理 对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2 k1=k2. 注意点: (1)l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2 k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 课本例2 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系,并证明你的结论. 例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行: (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5). 延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为_. 反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法 二、两条直线垂直的判定 问题3 平面中,两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则两条直线的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论? 提示 k1 k2=-1. 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2 k1 k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点: (1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若这两条直线有垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率,即k1=-. 课本例4 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系. 例2 已知 ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若 ABC为直角三角形,求m的值. 反思感悟 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可;若有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 跟踪训练1 (多选)下列各对直线互相垂直的是( ) A.l1过点M(1,1),N(1,2),l2过点P(1,5),Q(3,5) B.l1的斜率为-,l2过点P(1,1),Q C.l1的倾斜角为30 ,l2过点P(3,),Q(4,2) D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3) 三、平行与垂直的综合应用 课本例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. 解 如图, 课本例5 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断 ABC的形状. 例3 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定四边形ABCD的形状. 反思感悟 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练2 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列). 1.知识清单: (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. 2.方法归纳:分类讨论、数形结合. 3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( ) A. B.- C.2 D.-2 2.(多选)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为( ) A. B.- C.a D.不存在 3.已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标为( ) A.(1,0) B.(6,0) C.(1,0)或(6,0) D.不存在 4.若直线l1的倾斜角为135 ,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是_. 1.下列说法正确的是( ) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 2.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 3.直线l1的倾斜角 1=30 ,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为( ) A.- B. C.- D. 4.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( ) A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 5.(多选)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( ) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 6.直线y=3x绕原点逆时针旋转90 ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为( ) A.y=-x+ B.y=-x+1 C.y=3x-3 D.y=3x+1 7.已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为_. 8.若l1与l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=_;若l1∥l2,则b=_. 9.当m为何值时,过A(1,1),B(2m2+1,m-2)两点的直线: (1)倾斜角为135 ; (2)与过(3,2),(0,-7)两点的直线垂直; (3)与过(2,-3),(-4,9)两点的直线平行. 10.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判定 ABCD是否为菱形? 11.(多选)已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 12.如图所示,在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( ) A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1) 13.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,则a的值为_. 14.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为_ m. 15.直线l的倾斜角为30 ,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30 后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=_. 16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 一、两条直线平行的判定 问题1 在平面几何中,两条平行直线被第三条直线所截,形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系? 提示 两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补. 问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截,形成同位角相等,而倾斜角是一对同位角,因此可以得出什么结论? 提示 两直线平行,倾斜角相等. 知识梳理 对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2 k1=k2. 注意点: (1)l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2 k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 课本例2 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系,并证明你的结论. 解 如图,由已知可得直线BA的斜率kBA==,直线PQ的斜率kPQ==.因为kBA=kPQ,所以直线AB∥PQ. 例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行: (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5). 解 (1)k1==1,k2==,k1≠k2,l1与l2不平行. (2)k1=1,k2==1,k1=k2,故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1==-1,k2==-1,则有k1=k2.又kAM==-2≠-1,则A,B,M三点不共线.故l1∥l2. (4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2. 延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为_. 答案 0或1 解析 当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不符合题意; 当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不符合题意; 当m≠-2,且m≠-1时,kAB==,kMN==. 因为AB∥MN,所以kAB=kMN,即=,解得m=0或m=1.当m=0或1时,经检验,两直线不重合.综上,m的值为0或1. 反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法 二、两条直线垂直的判定 问题3 平面中,两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则两条直线的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论? 提示 k1 k2=-1. 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2 k1 k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点: (1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若这两条直线有垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率,即k1=-. 课本例4 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系. 解 直线AB的斜率kAB=,直线PQ的斜率kPQ=-.因为kABkPQ= =-1,所以直线AB⊥PQ. 例2 已知 ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若 ABC为直角三角形,求m的值. 解 若∠A为直角,则AC⊥AB,∴kAC kAB=-1,即 =-1,解得m=-7; 若∠B为直角,则AB⊥BC,∴kAB kBC=-1,即 =-1,解得m=3; 若∠C为直角,则AC⊥BC,∴kAC kBC=-1,即 =-1,解得m= 2. 综上所述,m=-7或m=3或m= 2. 反思感悟 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可;若有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 跟踪训练1 (多选)下列各对直线互相垂直的是( ) A.l1过点M(1,1),N(1,2),l2过点P(1,5),Q(3,5) B.l1的斜率为-,l2过点P(1,1),Q C.l1的倾斜角为30 ,l2过点P(3,),Q(4,2) D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3) 答案 ABD 解析 A中,l1与x轴垂直,l2与x轴平行,故两直线垂直; B中,l2过点P(1,1),Q,kPQ=,故两条直线垂直. C中,kPQ=,故l1不与l2垂直. D中,l1过点M(1,0),N(4,-5),kMN=- ,l2过点P(-6,0),Q(-1,3),kPQ=,故两条直线垂直. 三、平行与垂直的综合应用 课本例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. 解 如图,由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=-, CD边所在直线的斜率kCD=-,BC边所在直线的斜率kBC=, DA边所在直线的斜率kDA=. 因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 课本例5 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断 ABC的形状. 解 边AB所在直线的斜率kAB=-,边BC所在直线的斜率kBC=2. 由kABkBC=-1,得AB⊥BC,即∠ABC=90 .所以 ABC是直角三角形. 例3 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定四边形ABCD的形状. 解 A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图,由斜率公式可得kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==-, ∴kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD. 由kAD≠kBC,∴AD与BC不平行.又kAB kAD= (-3)=-1,∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 反思感悟 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练2 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列). 解 设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0, ∴kAB kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直, 故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD, ∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.又kAD=kBC, ∴=0,即y=3,此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3). (2)若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD, ∵kAD=,kCD=,∴解得x=,y=,∴D点坐标为. 综上,D点坐标为(3,3)或. 1.知识清单: (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. 2.方法归纳:分类讨论、数形结合. 3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( ) A. B.- C.2 D.-2 答案 B解析 由题意知,直线PQ的斜率存在,由kPQ=kMN,即=,得m=-.经检验知,m=-符合题意. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为( ) A. B.- C.a D.不存在 答案 BD解析 当a≠0时,由k1 k2=-1知,k2=-,当a=0时,l2的斜率不存在. 3.已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标为( ) A.(1,0) B.(6,0) C.(1,0)或(6,0) D.不存在 答案 C解析 设P点坐标为(x0,0),则kPM=,kPN=,由于∠MPN=90 ,故kPM kPN=-1,即 =-1,解得x0=1或x0=6,故P点坐标为(1,0)或(6,0). 4.若直线l1的倾斜角为135 ,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是_. 答案 平行或重合 解析 直线l1的倾斜角为135 ,故斜率=tan 135 =-1.由l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),得==-1,所以=,所以直线l1与l2平行或重合. 1.下列说法正确的是( ) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 答案 B解析 因为当两条直线的倾斜角为90 时,两条直线平行,但是没有斜率,故A不正确;平行的两条直线的倾斜角一定相等,故B正确;垂直的两条直线的斜率存在时,斜率之积为-1,当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,两直线也垂直,故C不正确;斜率不存在的两条直线也能够平行,故D不正确. 2.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 答案 B解析 斜率都为0且不重合,所以平行. 3.直线l1的倾斜角 1=30 ,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为( ) A.- B. C.- D. 答案 C解析 如图,直线l1的倾斜角 1=30 ,直线l1⊥l2,则l2的倾斜角等于30 +90 =120 , ∴l2的斜率为tan 120 =-tan 60 =-. 4.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( ) A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 答案 D解析 因为l1⊥l2,所以k1 k2=-1,即 =-1,解得a=1或a=3. 5.(多选)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( ) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 答案 ABD 解析 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS==,kQS==-4,kPR==,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,∴PS与QS不平行,故ABD正确. 6.直线y=3x绕原点逆时针旋转90 ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为( ) A.y=-x+ B.y=-x+1 C.y=3x-3 D.y=3x+1 答案 A解析 当直线y=3x绕原点逆时针旋转90 时,所得直线斜率为-,此时,该直线的方程为y=-x,再将该直线向右平移1个单位长度可得直线y=-(x-1),即y=-x+. 7.已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为_. 答案 -解析 因为A(-2,-4),B(6,6),由斜率公式可得kAB==,设AB边上的高所在直线的斜率为k,由k kAB=-1,即k =-1,解得k=-,所以AB边上的高所在直线的斜率为-. 8.若l1与l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=_;若l1∥l2,则b=_. 答案 2 -解析 当l1⊥l2时,k1k2=-=-1,得b=2. 当l1∥l2时,k1=k2, =9-4 2 (-b)=0,得b=-. 9.当m为何值时,过A(1,1),B(2m2+1,m-2)两点的直线: (1)倾斜角为135 ; (2)与过(3,2),(0,-7)两点的直线垂直; (3)与过(2,-3),(-4,9)两点的直线平行. 解 (1)由kAB==tan 135 =-1,解得m=-或m=1. (2)由kAB=,且=3,得=-,解得m=或m=-3. (3)令==-2,解得m=或m=-1.经检验,当m=或m=-1时,均符合题意. 10.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判定 ABCD是否为菱形? 解 (1)设点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC, 所以解得所以D(-1,6). (2)因为kAC==1,kBD==-1,所以kAC kBD=-1,所以AC⊥BD,所以 ABCD为菱形. 11.(多选)已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 BC 解析 当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合,此时AB∥CD. 当m≠0时,kAB=,kCD=,则kAB=kCD,即=,得m=1,∴m=0或1. 12.如图所示,在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( ) A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1) 答案 A 解析 如图所示,因为经过三点可构造三个平行四边形,即 AOBC1, ABOC2, AOC3B.根据平行四边形的性质,可知B,C,D分别是点C1,C2,C3的坐标. 13.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,则a的值为_. 答案 3或-4解析 设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,则k2==-.若l1⊥l2,①当k2=0时,此时a=0,k1=-,不符合题意;②当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=(a≠4).由k1k2=-1,可得 =-1,解得a=3或a=-4,所以当a=3或a=-4时,l1⊥l2. 14.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为_ m. 答案 解析 以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,3),D(5,3),C(5,0),设M(x,0),0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在,由于AC与DM互相垂直,所以kAC kDM=-1,即 =-1,解得x=,所以BM的长为 m. 15.直线l的倾斜角为30 ,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30 后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=_. 答案 4+ 解析 如图,直线l1的倾斜角为30 +30 =60 , ∴直线l1的斜率k1=tan 60 =.由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=. ∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-.∴==-, 解得m=4+. 16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 解 (1)设Q(x,y),由已知得kMN=3,由PQ⊥MN,可得kPQ kMN=-1,即 3=-1.①由已知得kPN=-2,由PN∥MQ,可得kPN=kMQ,即=-2.②联立①②求解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP.又∵kNQ=,kNP=-2,∴=2,即x=1, ∴Q(1,0).又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90 . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$