24.2.1 点和圆的位置关系课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

课前练习 尺规作图：求作已知线段AB的垂直平分线 1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； 2.作直线MN. N M A B 24.2.1 点和圆的位置关系 教材分析 本节由研究一个图形的性质发展到研究两个图形之间的关系,明确提出用数量关系揭示几何图形的位置关系,是几何学习的深化和发展，体现了数与形完美的结合。学好本节内容，能提高综合的探索能力及运用知识解决实际问题的能力。本节内容的学习也是为后面学习直线和圆的位置关系及圆与圆的位置关系做了好的铺垫。 学情分析 九年级学生好奇心和求知欲都非常强，并且在七、八年级基础上，学生有一定的分析力、归纳力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象，所以我以参与式探究教学法为主，整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式，并发挥微机的直观、形象功能辅助演示点与圆的位置关系，激励学生积极参与、观察、发现其知识的内在联系，使每个学生都能积极思维。这样，一方面可激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思维空间，培养学生用创造性思维去学会学 学习目标 知识目标 使学生从具体的事例中认知和理解点与圆的三种位置关系,会判断点与圆的位置关系，探究点与圆的位置关系与数量关系间的联系及应用。 能力目标 通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；实现位置关系与数量关系的转化，渗透数形结合的数学思想。 情感目标 通过数学活动，感受数学的严谨性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 教学重、难点解析 重点：理解点与圆的位置关系； 难点：点与圆位置关系与数量关系的联系及应用. 教学策略 从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，在获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面都得到进步与发展. 情景引入 我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击 中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 7 8 9 10 o . . . .B . 点和圆的位置关系 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. C . . .A . 问题2 ：设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r p d p r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、 10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是： 点A在 ；点B在 ；点C在 . 圆内 圆上 圆外 练一练 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ） A.在大圆内 B.在小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 练一练 · O 点P在⊙O内 d ＜ r ； r A P 知识要点 点P在⊙O上 d = r； 点P在⊙O外 d ＞ r . 数形结合： 位置关系 数量关系 符号“ ”读作“等价于”， 它表示从符号的左端可以得到右 端,也可以从右端得到左端． 探究活动 问题3：已知一点A，能不能做圆，使得所作的圆经过点A ？ 能做多少个？圆心在哪里？ 能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离. A 探究活动 A B 能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。 问题4：经过已知的两点A、B，能不能做圆，能做多少个？ 这些圆的圆心在哪里？ 经过A,B,C三点的 圆的圆心应该在线 段AB的垂直平分线上， 也应该在BC的垂直平分线上， 所以圆心就是这两条垂直平分线的交点O的位置. 探究活动 问题5：经过不在同一直线的三点A、B、C，能不能做圆， 能做多少个？ 圆心在哪里？ A B C 举一反三 思考：经过△ABC 的三个顶点，能不能做圆，能做多少个？ 圆心在哪里？ A B C 同理，经过△ABC 的 三个顶点A,B,C可以作 一个圆. A B C 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： ●O 有关概念 思考下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过任意三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) 挑战游戏 下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过任意三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 判断 ●O 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画 出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. 自己动手画一画 A B C ●O A B C C A B ┐ ●O 思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ l1 l2 A B C P 证：假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P， ∴点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上， 即点P为l1与l2的交点， 而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 ∴过同一条直线上的三点不能作圆． 反证法 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 反证法 反证法的一般步骤 1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A， 则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . 上 外 上 课堂练习 2.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ ） A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外 B 课堂练习 3.下列图形不一定有外接圆的是（ ） A.三角形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 C 课堂练习 课堂小结 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 点和圆的 位置关系 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 直角三角形的外心在斜边中点处 注意：同一直线上的三个点不能作圆 1.新课程 P66 1~7 （8-10题 选做） 课外作业 2.学练优 P72 1~7 (8-11题 选做） 板书设计 点和圆的位置关系 1、点在圆外、点在圆上、点在圆内 2、设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d， 则有：点P在圆外d>r 点P在圆上d=r 点P在圆内 d<r 教学反思 本节课的教学内容是点和圆的位置关系，看似内容少而简单，但让学生真正理解如何由图形关系得出数量关系，以及从数量关系联想到图形的位置关系，却并非简单。如果忽略了这一过程，学生会做题，却无法体验数学的本质，无法体验数形结合思想。所以本节课中点和圆的位置关系让学生经历了由图形关系联想到数量关系、由数量关系联想到图形关系的过程，是学生真正理解点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径之间关系的等价。 通过体育比赛情境引入，激发学生兴趣，引发学生崇高的爱国主义情感。把学生熟悉的实际问题转化为数学问题，体现了数学的转化思想。接着引导学生由图形联想到数量关系，即有点和圆的位置关系联想到点到圆心的距离与半径的大小关系。这里分两步的得出的，第一步让学生从图形上直观的认识点和圆的三种位置关系，然后引导学生从数量上判断图形位置，是为了让学生更好的体验数形结合思想。 通过这节课的点评与自我反思,以后要在师生交流方面都下工夫,重视学生的想法,多给学生一点"自主"学习的时间, 把课堂真正的还给学生。我参与，我快乐，我是课堂的主人。放手让学生有话可说，有疑好争，为学生深入思考、积极探索提供机会、做到师生互动、生生互动，在平等、民主、合作的氛围中分享成功的快乐。 $$