精品解析：2024年浙江中考数学模拟卷临考安心卷

2024年中考数学模拟卷临考安心卷3（浙江专用） 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若收入2元记，则支出3元记为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 抛出一枚硬币恰好正面朝上 C. 从装有8个白球的袋子中，摸出红球 D. 367人中至少2人生日在同一天 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（　　） 栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少元！ A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（　　） A. 90° B. 50° C. 45° D. 30° 8. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A 7 B. －14 C. 28 D. －56 9. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 13. 某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是________． 14. 已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象顶点坐标为_____． 15. 如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是__________． 三．解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑． 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； …… （1）请你写出第5个等式：__________； （2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________； （3）运用上述结论，计算：． 19. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题： 如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）； ④作射线、，则射线、即为所求射线． 20. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 852 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 21. 云南鲜花饼远近闻名，了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； （1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； （2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 22. “彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： （1）若， ①计算此时小汽车到斑马线的距离； ②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． （2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数． （参考数据：，，） 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， （1）求证：是的切线； （2）若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学模拟卷临考安心卷3（浙江专用） 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若收入2元记为，则支出3元记为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量．根据题意，收入记为+，则支出记为． 【详解】解：收入2元记为 支出3元记为． 故选：C． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确； B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误； D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 抛出一枚硬币恰好正面朝上 C. 从装有8个白球的袋子中，摸出红球 D. 367人中至少2人生日在同一天 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件的判断．根据不可能事件的定义判断即可，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A．明天会下雨，是随机事件，不符合题意； B．抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； C．从只装有8个白球的袋子中摸出红球，是不可能事件，符合题意； D．367人中至少2人生日在同一天，必然事件，不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了空间图形的三视图，三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，正确把握三视图观察角度是解题的关键． 【详解】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线， 故选：． 6. 根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（　　） 栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少元！ A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设小齐买平板电脑的预算是元，则电脑售价为元，即可根据题意建立方程求解． 【详解】解：设小齐买平板电脑的预算是元，则电脑售价为元， 由题意得： 解得： 故选：C 7. 如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（　　） A. 90° B. 50° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵OB⊥OC， 故选C． 8. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式，解得x≤7， ∴不等式组整理的， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a， 解得：y＝， 由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点、二次函数几何变换等知识．依据题意，根据即可计算． 【详解】解：如图连接、． 与轴交于，两点，与轴交于点， ∴顶点的坐标为， 平移后顶点的坐标为， ∴抛物线向上平移了1个单位． ． 故选：B． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，过作交于，证明，四边形是平行四边形，可得，，设，，，，，，，，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，设， ∴，，，， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， 由题意可设， 由等面积法可得： ， 解得：，（负根舍去）， ∴， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的求解是解本题的关键． 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入． 【答案】元 【解析】 【分析】根据总价等于单价乘以销售量，即可求解． 【详解】解：∵商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋， ∴在这个月内销售这种商品的收入为元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确数量关系是解题的关键． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 13. 某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是________． 【答案】288 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用总人数乘样本中立定跳远成绩优秀的学生人数所占的百分比即可，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意得： （人， 即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人． 故答案为：288． 14. 已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____． 【答案】(﹣3，1) 【解析】 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解． 【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1， ∴﹣b=1， 根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)， ∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)． 故答案为：(﹣3，1)． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义． 15. 如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，折叠的性质，垂径定理，锐角三角函数，扇形的面积．取的中点,连接，交于，连接，则,，先求，在用即可． 【详解】解：取的中点,连接，交于，连接，则, 由折叠的性质得 ． 故答案为：． 16. 定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是__________． 【答案】或##4或0 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 三．解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑． 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法和解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题的关键． （1）利用同分母分式减法法则计算即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程后检验即可． 【详解】（1）解： （2）解： 去分母得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 18. 观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； …… （1）请你写出第5个等式：__________； （2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________； （3）运用上述结论，计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查数字规律计算及有理数的乘方运算，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）根据题中等式即可得出结果； （2）由题意找出规律求解即可； （3）利用（2）中规律变形，再逆用乘法分配律求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得第5个等式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第n（，且n整数）个等式可表示为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）得， ． 19. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题： 如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）； ④作射线、，则射线、即为所求射线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆的性质，等边三角形的性质，根据作法补全图形即可；首先证明出为等边三角形，然后得到，然后根据直径的性质得到，然后根据三线合一性质证明即可． 【详解】解：如图所示， ， 为等边三角形， ， ， 为的直径， ， 又， 平分（等腰三角形三线合一）， ， ， 即射线三等分． 20. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）八年级，见解析 （3）估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级组有：（人）， 组有：（人）， 把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为：，86，40； 【小问2详解】 解：八年级成绩较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 21. 云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； （1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； （2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒 （2）购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据“单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒”列方程求解即可； （2）设购进玫瑰鲜花饼a盒，商店利润为W元，根据用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒，茉莉鲜花饼不少于20盒，可得，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒． 【小问2详解】 解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元． 由题意得：， 根据题意得：，解得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，， 此时，， 答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，涉及一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 22. “彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： （1）若， ①计算此时小汽车到斑马线的距离； ②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． （2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数． （参考数据：，，） 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、分式方程的应用，理解题意、数形结合解直角三角形是解题的关键． （1）①根据题意得出，根据，，解直角三角形求出即可；②设小汽车在这一段的平均速度为，根据题意得出分式方程求解即可； （2）设，根据，由题意得出或求解，进一步得出的值，根据，，得出的度数即可． 【小问1详解】 解：①由题可知：，，， 在中，，即， ∴； ②设小汽车在这一段的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是该分式方程的解且符合题意， ∴小汽车在这一段的平均速度为； 【小问2详解】 解：设，， 由题意得：或， 解得：或， 在中，或， 又∵，， ∴的度数为或． 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值4，此时 （3）P点坐标为或）或） 【解析】 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作轴交于点G，设，则，可得，即可求出最终结果． （3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， ， 将B、C点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 过E点作轴交于点G， 设，则， 当时，面积有最大值4，此时． 【小问3详解】 存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得 ②当为平行四边形的对角线时，， ③当为平行四边形的对角线时，， 解得， 综上所述：P点坐标为或）或）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， （1）求证：是切线； （2）若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ． ， ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 是的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ． ， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ． ②如图，过点作交于点， ， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$