15.3.1 解分式方程课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

2024年秋季 人教版数学 八年级上册 第十五章 分式 15.3.1 解分式方程 目 录 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 1. 了解分式方程的定义，能根据定义判断一个方程是不是分式方程；（重点） 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解解分式方程验根的必要性，在解题过程中体会转化思想的运用.（难点） 学习目标 一艘轮船在静水中的最大航速是30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速是多少？ 情境导入 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 注意： （1）分式方程的特征：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数. （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别. （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程. （4）判断一个方程是不是分式方程，是对原方程本身做一个判断，不能利用等式的基本性质对方程进行变形后再判断. 知识讲解 例1 下列式子中，是分式方程的是（　　） A. ＝ B. C. ＝1 D. 解：A. 方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误； B. 不是方程，故不是分式方程，故本选项错误； C. 方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确； D. 方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误. C 知识讲解 3. 求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解. 4. 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解. 知识讲解 例2 分式方程的解为（　　） A. x3 B. x1 C. x0 D. x1 解：方程的两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x， 解得x＝1， 检验：把x＝1代入2x(x＋3)＝8≠0， 所以原方程的解为x＝1. D 知识讲解 5. 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. 6. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应进行如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解. ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时，一定要检验. 知识讲解 例3 解方程 解：去分母得：3x＝4x＋4， 解得：x＝－4， 经检验x＝－4是分式方程的解. 解：去分母得：(x＋1)(x－3)－12＝x2－9， 整理得：x2－3x＋x－3－12＝x2－9， 解得：x＝－3， 经检验x＝－3是增根，分式方程无解. 知识讲解 7.（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根. （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根. 知识讲解 例4 关于x的方程＋1有增根，则m的值是（　　） A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 解：＋1 2x－1＝m＋x－2， 解得：x＝m－1， ∵方程有增根，∴x－2＝0，∴x＝2， 把x＝2代入x＝m－1中可得：m－1＝2，∴m＝3. D 知识讲解 练习1 下列方程：①；②；③；④.其中是分式方程的有（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程； ②③④的方程分母中含未知数x，所以是分式方程. D 随堂练习 练习2 解方程 解：去分母得： x(x＋2)＋6(x－2)＝(x＋2)(x－2)， 去括号得：x2＋2x＋6x－12＝x2－4， 移项合并得：8x＝8， 解得：x＝1， 经检验x＝1是分式方程的解. 解：去分母得： 3(5x－4)＝4x＋10－3x＋6， 去括号得：15x－12＝4x＋10－3x＋6， 移项合并得：14x＝28， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，原方程无解. 随堂练习 练习3 若关于x的方程有增根，求增根和k的值. 解：方程两边都乘3x(x－1)，得3(x＋1)－(x－1)＝x(x＋k) 化简，得x＋(k－2)x－4＝0. ∵分式方程有增根， ∴x＝1或x＝0， 当x＝1时，k＝5，此时方程的解为x＝－4，x＝1是增根， 当x＝0时，不合题意，舍去. 答：增根是1，k是5. 随堂练习 解分式方程 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值. 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. 分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根. 课后小结 谢谢！同学们再见！ $$