13.4 最短路径问题 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

2024年秋季 人教版数学 八年级上册 第十三章 轴对称 　13.4 最短路径问题 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1.能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短”探索最短路径问题；（重点） 2.能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的道理，会运用图形的轴对称、平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题（难点） 学习目标 情境导入 将军带战马去小溪边饮水然后返回军营，你知道怎么走才可以使路程最短吗？ 情境导入 情境导入 如果是这样呢，你知道怎么走才可以使路程最短吗？ 情境导入 知识讲解 l A B P B′ 条件：两定点A、B位于直线同侧，在直线上找一点P，使PA+PB的值最小 作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′ ，交直线l于点P，此时PA+PB的值最小，为线段AB′的长 结论：PA+PB的最小值为线段AB′的长 将军饮马模型一 知识讲解 例1.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为__________. 解:如图，∵△ABC是等边三角形 ∴BA=BC ∵BD⊥AC，AQ=2，QD=1.5. ∴AD=DC=AQ+QD=3.5 作点Q关于BD的对称点Q' 连接PQ'交BD于E，连接QE 此时PE+EQ的值最小 最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ∵AQ=2，AD=DC=3.5 ∴QD=DQ'=1.5 ∴CQ'=BP=2 ∴AP=AQ'=5 ∵∠A=60° ∴△APQ'是等边三角形 ∴PQ'=PA=5. ∴PE+QE的最小值为5 5 Q′ 知识讲解 知识讲解 例2.在如图所示的55的方格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上: (1)如图①，作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C' (2)如图②，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小(仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹). 知识讲解 (1)如图1，△A'B'C'即为所求 (2)如图2，点P即为所求 C' P 知识讲解 知识讲解 P A B O P′ P′′ M N 条件：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，OB上找一点N，使得△PMN的周长最小 作法：作点P关于OA，OB的对称点P′，P"，连接P′P"，此时△PMN的周长最小，最小值为线段P′P"的长度。 结论：△PMN周长的最小值是线段P′P"的长度。 将军饮马模型二 知识讲解 例3.如图，P是∠AOB内任意一点，OP=9，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为9，求∠AOB的度数。 由轴对称得△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P" ∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小， ∴P'P"=9.由对称得 OP=OP'=OP"=9. ∴△P'OP"为等边三角形， ∴∠P'OP"=60°. ∵∠POB=∠P'OB， ∠POA=∠P''OA， ∴∠AOB=P'OP"=30°. 知识讲解 知识讲解 随堂练习 练习1：如图，正方形的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ） A. 4 B. 4 C.2 D.5 解:连接BN，连接BM交AC于N'，连接DN' ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称 DN=BN， ∴DN+MN=BN+MN ∴当B、N、M共线，即N与N'重合时，DN+MN 有最小值，BM的长即为DN+MN的最小值 ∵CD=4，DM=1. ∴CM=CD－DM=4－1=3 在Rt△BCM中，BM=1 ==5， 故DN+MN的最小值是5. 随堂练习 练习2：如图，在△ABC中，∠CAB=60°，AP⊥BC于点P，点M，N分别是AC，AB边上的动点，连接PN，PM，NM，若AP=则△PMN周长的最小值是_________。 解析:如解图，过点P分别作关于AC，AB 的对称点P'，P" ， 连接 AP'，AP"，P'P"，P'P"分别交 AC，AB于点 M，N. 则MP=MP'，NP=NP"，AP=AP"=AP'=. ∠BAP=∠BAP"，∠CAP=∠CAP'， ∴PN+PM+MN=NP"+MN+MP'=P"P'. 此时△PMN的周长最小， ∠P'AP"=∠BAP+∠BAP"+∠CAP+∠CAP'=2∠CAB=120° (对称前后，对应线段、对应角相等)， 随堂练习 随堂练习 练习2：如图，在△ABC中，∠CAB=60°，AP⊥BC于点P，点M，N分别是AC，AB边上的动点，连接PN，PM，NM，若AP=则△PMN周长的最小值是_________。 作 AH⊥P'P''于点H，则 P'H=P"H， ∵∠AP'H=(180°－120°)÷2=30°， ∴AH=AP'=，∴P'H==， ∴P'P"=2P'H=3 ∴△PMN周长的最小值是3. 3 随堂练习 随堂练习 课后小结 l A B P B′ 将军饮马模型一 P A B O P′ P′′ M N 将军饮马模型二 课后小结 谢谢！同学们再见！ $$