第一章特殊平行四边形测试题2024-2025学年北师大版数学九年级上册

( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 北师大版九年级上册数学第一章测试题（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.已知四边形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（    ） A.                   B.                   C.                   D.  2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（   ）     A. 邻边相等                   B. 四个角都是直角                   C. 对角线相等                   D. 对角线互相平分 3.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（   ） A. 10                                         B. 12                                         C. 16                                         D. 18 4.如图，将两根相同的矩形木条沿虚线 剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围城一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为 ，且 ，则围城的矩形画框的内框 的面积为（     ） A.               B.               C.               D.  5.如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB=3，AD=8，则FD的长为（   ） A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4 6.在四张边长都是10厘米的正方形纸板上，分别剪下一个长5厘米，宽3厘米的长方形，剩下图形（   ）的周长最长． A.                     B.                     C.                     D.  7.在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（　　） A. 1个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个 8.下列命题正确的是（     ） A. 对角线相等的四边形是矩形                                B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形                         D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 9.四边形ABCD的对角线AC＝BD ， AC⊥BD ， 分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（　　）. A. 正方形                                B. 菱形                                C. 矩形                                D. 任意四边形 10.若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　） A. 100                                     B. 20                                     C. 10                                     D. 10 11.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（    ） A. 16                                         B. 15                                         C. 14                                         D. 13 12.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF。下列结论正确的是（    ） A. CE=                        B. EF=                        C. cos∠CEP=                        D. HF2=EF·CF 二、填空题（共6题；共12分） 13.如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ，若 ， ，则菱形 的面积为________. 14.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 15.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等于________. 16.如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是________. 17.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．   18.如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是________． 三、解答题（共3题；共15分） 19.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长. 20.如图， ，点 是 的中点，且 ， .求证：四边形 是矩形. 21.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接AN，CM．求证：四边形AMCN是菱形． 四、综合题（共4题；共49分） 22.如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 23.如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF. （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积. 24.    （1）如图①，E是正方形ABCD的边BC上任意一点，过点A作FA⊥AE于A，与CD的延长线交于点F，求证：AE＝AF； （2）如图②，当点E是正方形ABCD的边BC延长线上的任意一点时，过点A作FA⊥AE于A，交CD的延长线于点F.结论AE＝AF是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 25.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为        A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 （2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D． ①求证：四边形AFF'D是菱形； ②求四边形AFF'D的两条对角线的长． 答 案 一、单选题 1. A 2. D 3.C 4. C 5. C 6. D 7. D 8. D 9. A 10. C 11. A 12. D 二、填空题 13. 14 14. 15 15. 4 16. 菱形 17. 3 18. 336 三、解答题 19. 解：∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=6， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD=12， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：BC= 20. 证明：∵ ，点 是 的中点， ∴ ， . ∵ ，∴ . 又∵ ，∴四边形 是平行四边形. 又∵ ，∴四边形 是矩形. 21. 解：∵ABCD是矩形，则AD∥BC， ∴∠MAC＝∠NCA， 而MN是AC的垂直平分线， 则∠NAC＝∠NCA，∠AMC＝∠CMA， 而∠MAC＝∠NCA， ∴∠NAC＝∠MCA， ∴AN∥CM，∴四边形AMCN为平行四边形， 又AC⊥MN， ∴四边形AMCN是菱形． 四、综合题 22. （1）解：∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ ME是PC的中位线，NE是PD的中位线， ∴ ME∥PC，EN∥PD， ∴ 四边形PMEN是平行四边形 （2）解：当AP=5时， 在Rt△ PAD和Rt△ PBC中， ， ∴ △ PAD≌ △ PBC， ∴ PD=PC， ∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ NE=PM= PD，ME=PN= PC， ∴ PM=ME=EN=PN， ∴ 四边形PMEN是菱形 （3）解：四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠ DPC=90°. 设PA=x，PB=10﹣x， DP= ，CP= ． DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10﹣x）2=102 x2﹣10x+16=0 x=2或x=8． 故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形． 23. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF 在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO＝FO，且OB＝OD∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF垂直平分BD∴BE＝DE∴四边形BEDF是菱形 （2）解：∵四边形BEDF是菱形 ∴BE＝DE， 在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2 ， ∴BE2＝（8﹣BE）2+16， ∴BE＝5∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2. 24. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝90 ，∠BAD＝90 ，即∠BAE+∠DAE＝90 ， ∵FA⊥AE， ∴∠ADF＝90 ，∠EAF＝90 ，即∠FAD+∠DAE＝90 ，∴∠BAE＝∠FAD， 在△ABE和△ADF中， ，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF； （2）解：结论AE＝AF仍成立；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝90 ，∠BAD＝90 ，即∠BAE+∠DAE＝90 ， ∵FA⊥AE，∴∠ADF＝90 ，∠EAF＝90 ，即∠FAD+∠DAE＝90 ，∴∠BAE＝∠FAD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF. 25. （1）C （2）解：如图2中， ①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3． 又∵在图2中，EF=4， ∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5， 又∵AF∥DF'，AF=DF， ∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形． ②解：连接AF'，DF， 在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3， ∴DF═ = ． 在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3， ∴AF'═ = =3 ( 第 - 1 - 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$