第一章空间向量与立体几何单元练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何同步过关练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 2．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 3．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法正确的是（    ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行． B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线． D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面． 5．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 8．如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．与平面的夹角的余弦值为 C．是平面PBC的一个法向量 D． 11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（    ） A． B． C．平面 D．直线与AC所成角的正弦值为 三、填空题 12．已知空间向量， 且，则 . 13．正四面体的棱长为2，设，，，则 . 14．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 16．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 17．已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 18．如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P是与的交点．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且. (1)求证：平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值. 【详解】因为， 且，所以， 而，当且仅当同向时，等号成立， 而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向， 所以 且均小于直径长2，即， 综上，. 根据选项可知A不符合. 故选：A 2．C 【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 因为， . 故选：C.    3．C 【分析】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解. 【详解】由，， 得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得. 故选：C. 4．C 【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断. 【详解】对于A：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，故A错误； 对于B：根据空间向量基本定理可知，此时、、应是空间三个不共面的向量，故B错误； 对于C：反证：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合， 这与向量、所在的直线是异面直线相矛盾，故C正确； 对于D：若三个向量、、两两共面，则三个向量、、不一定共面， 例如、、所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误； 故选：C. 5．A 【分析】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ，则， 由题设，， 所以. 故选：A 6．D 【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. 【详解】解：记，，， 由题意可知，， 所以， ， 所以，即的长为， 故选：D. 7．B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 8．D 【分析】利用平移法作出异面直线与 所成角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而 ，又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是， 故选：D. 9．ACD 【分析】根据空间向量基本定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对A，由空间向量基本定理，可知只有当不共面时， 才能作为基底，才能得到，故A错误； 对B，若是空间的一个基底，则不共面， 设， 则，因为无解，所以也不共面， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C，若，，则不一定平行，故C错误； 对D，若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误， 故选：ACD. 10．AB 【分析】利用向量的坐标运算解决平行垂直问题，利用向量法求线面角的余弦值. 【详解】是平行四边形，，又， 由，得，即，A选项正确； ，，又，则是平面的法向量， 即平面，在平面内射影为， 与平面的夹角为，，B选项正确； ，不是平面PBC的法向量，C选项错误； ，，无解，不成立，D选项错误. 故选：AB 11．AC 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】以为空间一组基底，， ， 所以，A选项正确； ，所以 ， 所以，B选项错误； 依题意可知，四边形ABCD是菱形， 所以，且，由于，，平面， 所以平面，C选项正确； 设直线与AC所成角为，， ， ， ， ， 所以， ，D选项错误． 故选：AC． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式. 12． 【分析】由向量垂直的性质计算即可得. 【详解】由，故，解得. 故答案为：. 13． 【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 14．/ 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直、平行的条件即可求解； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，所以，解得：，， 则，， 又因为，则，解得， 所以 （2）由（1）知， 所以，， 则，，， 即与所成角的余弦值 16．(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量坐标表示公式，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以向量，， 因此， 所以； （2）因为，， 所以， 因为点E在直线上， 所以设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 因此点E的坐标. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明； （2）根据向量法即可求二面角夹角的余弦值. 【详解】（1）    连接， 因为分别是的中点，P是与的交点， 所以为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以平面平面； （2）因为，，所以是等边三角形， 取的中点为，连接，则，， 又因为平面底面且交线为，所以底面， 因为，，，所以， 所以，所以， 所以取的三分之一等分点，，连接，则 以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， 令，则，所以， 同理可得，， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19．(1)证明见解析 (2) (3)H为线段PD的四等分点靠近P点 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面PDC，平面PDC，再由面面平行的判定定理可得答案； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求出结果； （3）根据异面直线的向量公式可求出结果. 【详解】（1）四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； （2），即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量， 则， 取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则， 取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，， 二面角的大小为， 平面CPB与平面PBQ所成角的大小为； （3）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ， 解得，或舍去，线段DH的长为，又， 即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$