第二章　有理数的运算 巩固训练课件 2024-2025学年人教版数学（2024）七年级上册

2.1　有理数的加法与减法 第1课时　有理数的加法法则 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. （广东中考）计算（－5）＋3的结果是（　A　） A. －2 B. －8 C. 2 D. 8 2. （温州中考）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（　D　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 第2题 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 下列运算中，正确的是（　D　） A. （－2）＋（－2）＝0 B. －6＋（＋4）＝－10 C. 0＋（－3）＝3 D. 0.56＋（－0.26）＝0.3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若m＋n＞0，则m与n的值（　D　） A. 一定都是正数 B. 一定都是负数 C. 一定是一个正数，一个负数 D. 至少有一个是正数 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 下列问题情境中，能用加法算式（－2）＋10表示的是（　C　） A. 水位先下降2cm，又下降10cm后的水位变化情况 B. 在数轴上将表示数0的点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单 位长度后表示的数 C. 用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D. 数轴上表示－2与10的两点之间的距离 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每小题6分，共24分） 6. 已知A地的海拔是－6m，B地比A地高17m，则B地的海拔是 ⁠m. 7. 计算：－8＋｜－2｜＝ ⁠. 8. 在有理数5，0，－1，－6中，任取两个数相加，最小的和为 ⁠. 9. ★若a的相反数是－3，b的绝对值是4，则a＋b＝ ⁠. 11　 －6　 －7　 7或－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共51分） 10. （18分）计算： （1） （＋3）＋（＋7）； 解：原式＝3＋7＝10 （2） （－5）＋（＋8）； 解：原式＝8－5＝3 （3） （－1.25）＋（＋5.25）； 解：原式＝5.25－1.25＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （4） ＋ ； 解：原式＝ ＋（－ ）＝－（ － ）＝－ （5） ＋ ； 解：原式＝ － ＝ （6） － ＋ . 解：原式＝ ＋（－ ）＝－（ ＋ ）＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （8分）已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，且a＜b，求｜a＋b｜的值. 解：因为｜a｜＝3，｜b｜＝2，且a＜b，所以a＝－3，b＝2或a＝ －3，b＝－2.所以a＋b＝－1或－5.所以｜a＋b｜的值为1或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （10分）规定：用（a，b）表示a，b两个数中较小的一个数，用 [a，b]表示a，b两个数中较大的一个数.试求下面各式的值： （1） （－5，－0.5）＋[－4，2]； 解：（－5，－0.5）＋[－4，2]＝－5＋2＝－3 （2） （1，－3）＋[5，（－2，－7）]. 解：（1，－3）＋[5，（－2，－7）]＝－3＋[5，－7]＝ －3＋5＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★（15分） （1） 比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）： ① ｜＋2｜＋｜－3｜ ｜（＋2）＋（－3）｜； ② ｜－2｜＋｜－3｜ ｜（－2）＋（－3）｜； ③ ｜0｜＋｜－3｜ ｜0＋（－3）｜. ＞　 ＝　 ＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 在（1）的基础上，淇淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结 论，请你补充完整： ① 当a，b （填“同号”或“异号”）时，有｜a｜＋｜b｜ ＞｜a＋b｜； ② 当a，b （填“同号”或“异号”）时，有｜a｜＋｜b｜ ＝｜a＋b｜； ③ 当a，b中至少有一个为0时，有｜a｜＋｜b｜ ｜a＋b｜； ④ 总之，对于有理数a，b，有｜a｜＋｜b｜ . ｜a＋b｜. 异号　 同号　 ＝　 大于或等于　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 根据上述结论，请你直接写出当｜x｜＋2024＝｜x－2024｜ 时，x的取值范围. 解：x不大于0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$2.1　有理数的加法与减法 第2课时　有理数的加法运算律 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. 小红解题时，将式子（－8）＋（－3）＋8＋（－4）先变成[（－8） ＋8]＋[（－3）＋（－4）]，再计算结果，则小红运用了（　B　） A. 加法交换律 B. 加法交换律和加法结合律 C. 加法结合律 D. 无法判断 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 计算 ＋ ＋ ＋ 的结果是（　A　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 4 3. 七年级（1）班一学期的班费收支情况如下（收入为正，支出为 负）：＋250元，－55元，－120元，＋7元.该班这学期期末时，班费结 余（　A　） A. 82元 B. 85元 C. 35元 D. 92元 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 计算1＋（－2）＋（＋3）＋（－4）＋…＋（＋99）＋（－100）＋ （＋101）的结果是（　D　） A. 0 B. －1 C. －50 D. 51 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. ★如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空 格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，现在a， b，c分别表示其中的一个数，则a＋（－b）＋c的值为（　C　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 3 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每小题6分，共24分） 6. 若a＋c＝－2024，b＋（－d）＝2025，则a＋b＋c＋（－d） ＝ ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 一位病人每天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期六收 缩压的变化情况（“＋”表示比前一天上升，“－”表示比前一天下 降）.若该病人上个星期日的收缩压为110mmHg，则该病人星期五的收 缩压是 ⁠mmHg. 星　期 一 二 三 四 五 六 收缩压 变化/mmHg ＋30 －20 ＋17 ＋18 －20 －5 135　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 检修组从A地出发，在东西走向的路上检修线路.规定向东为正，向西 为负，一天的记录如下（单位：km）：－4，＋7，－9，＋8，＋6，－4，－3，收工时，检修组在A地的 边 km处. 9. 小于2025且大于－2024的所有整数的和是 ⁠. 东　 1　 2024　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共51分） 10. （12分）计算： （1） ＋ ； 解：原式＝－（999 － ）＝－999 （2） ＋ ＋ ＋ ； 解：原式＝［（－ ）＋（＋ ）］＋［（＋ ）＋（－1 ）］＝ （－ ）＋（－1）＝－（ ＋1）＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） （－3.14）＋（＋4.96）＋（＋2.14）＋（－7.96）. 解：原式＝[（－3.14）＋2.14]＋[4.96＋（－7.96）]＝（－1）＋ （－3）＝－（1＋3）＝－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （12分）在横线上填写每步运算的依据. 解：　（－6）＋（－15）＋（＋6） ＝（－6）＋（＋6）＋（－15）（　 　） ＝[（－6）＋（＋6）]＋（－15）（　 　） ＝0＋（－15）（　 　） ＝－15（　 　） 加法交换律　 加法结合律　 互为相反数的两个数相加得0　 一个数与0相加，仍得这个数　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （12分）某数学学习小组共有6名学生，他们计划在数学单元检测中 小组的平均成绩要达到85分.检测结束后，组长在登记成绩时，以85分 为基准，超过85分的部分记为正，不足85分的部分记为负.具体成绩 （单位：分）记录如下：＋10，－2，＋15，＋8，－12，－7. （1） 该小组6名学生的最低成绩是多少分？ 解：（1） 85＋（－12）＝73（分），则该小组6名学生的最低成绩是 73分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 该小组6名学生的最低成绩与最高成绩相差多少分？ 解：（2） 最高成绩为85＋15＝100（分），则该小组6名学生的最低成 绩与最高成绩相差100－73＝27（分） （3） 该小组的实际平均成绩与计划相比，是超过，还是不足？请说明 理由. 解：（3） 超过　理由：10＋（－2）＋15＋8＋（－12）＋（－7）＝ 12（分）.因为12＞0，所以该小组的实际平均成绩超过计划. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★（15分）阅读材料： 对于 ＋ ＋17 ＋ ，可以按如下方法计算： 原式＝［（－5）＋（－ ）］＋［（－9）＋ ］＋ ＋ ［（－3）＋ ］ ＝[（－5）＋（－9）＋17＋（－3）]＋［ ＋ ＋ ＋ ］ ＝0＋ ＝－1 . 上面这种方法叫作“拆项法”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 仿照上面的方法，计算： ＋ ＋4050 ＋ . 解：原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝[（－2024）＋（－2025）＋4050＋（－1）]＋ ＝0＋ ＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$2.1　有理数的加法与减法 第3课时　有理数的减法法则 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. （天津中考）计算3－（－3）的结果是（　D　） A. －6 B. 0 C. 3 D. 6 2. （临沂中考）计算（－7）－（－5）的结果是（　C　） A. －12 B. 12 C. －2 D. 2 3. 下列与（－a）－（－b）相等的式子是（　B　） A. （＋a）－（－b） B. （－a）＋b C. （－a）＋（－b） D. （－a）－（＋b） D C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 若a＞0，b＜0，则a－b的值一定（　A　） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （长沙中考）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成 “嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度 是－180℃，最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（　D　） A. －180℃ B. 150℃ C. 30℃ D. 330℃ 6. ★若｜x｜＝7，｜y｜＝3，且x＞y，则y－x的值为（　D　） A. －4 B. －10 C. 4或10 D. －4或－10 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题6分，共30分） 7. （滨州中考）计算2－｜－3｜的结果是 ⁠. 8. 若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，则a－b＝ ⁠. 9. 在 ，0，1，－2这四个数中，任取两个数相减，差最小为 ⁠. －1　 1　 －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 仔细观察资料卡（如图）中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精 的凝固点高 ℃. 第10题 11. ★某同学在计算41－N时，误将“－”看成了“＋”，结果是13.正 确的结果为 ⁠. 78.43　 69　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共40分） 12. （12分）计算： （1） （－37）－（－47）； 解：原式＝（－37）＋47＝10 （2） （－1.8）－（＋4.5）； 解：原式＝（－1.8）＋（－4.5）＝－（1.8＋4.5）＝－6.3 （3） 20－（－6）－｜－3｜. 解：原式＝20＋6－3＝23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （12分）某种植物成活的主要条件是该地区的四季温差不得超过 20℃.若不考虑其他因素，表中的四个地区中，哪些地区适合大面积栽 培这种植物？ 地　区 A B C D 四季最高气温/℃ 21 37 32 －2 四季最低气温/℃ －27 18 －11 －18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：A地区的四季温差为21－（－27）＝48（℃）；B地区的四季温差 为37－18＝19（℃）；C地区的四季温差为32－（－11）＝43（℃）； D地区的四季温差为－2－（－18）＝16（℃）.因为B地区和D地区的四 季温差不超过20℃，所以B地区和D地区适合大面积栽培这种植物 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （16分）【教材呈现】 下面是对人教版七年级上册数学教材第33页 “探究”内容的改编. 第14题 求下列各组数在数轴上的对应点之间的距离： （1） 3与－2.2； 解： （1） ｜3－（－2.2）｜＝5.2 （2） 4.75与2.25； 解：（2） ｜4.75－2.25｜＝2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） －4与－4.5； 解：（3） ｜（－4）－（－4.5）｜＝0.5 （4） －3 与2 . 解：（4） ＝6 你能发现数轴上任意两点间的距离与这两点所表示的数有什么关系吗？ 第14题 解：数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的两数差的绝对值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【阅读材料】 下面是聪聪同学在完成上述内容后，写的一篇数学日 记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖. 9月20日　星期三　晴 我发现，在数轴上，若A，B两点分别表示数m，n，那么A，B两点 之间的距离与m，n两数有如下关系：AB＝ . 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立 起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题.我自编了 下面这个问题： 如图，数轴上的点A，B分别表示有理数3，－9. （1） 求A，B两点之间的距离； 解： （1） ｜3－（－9）｜＝12，所以A，B两点之间的距离为12 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） C为数轴上一点，且点C到A，B两点的距离相等，请你求出点C 所表示的数. 解：（2） 3－12÷2＝3－6＝3＋（－6）＝－3，所以点C所表示的数 为－3 【解答问题】 请你帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完整：AB ＝ ⁠. ｜m－n｜　 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$2.1　有理数的加法与减法 第4课时　有理数的加减混合运算 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. 不改变原式的值，将1－（＋2）－（－3）＋（－4）写成省略正号和 括号的形式为（　C　） A. －1－2＋3－4 B. 1－2－3－4 C. 1－2＋3－4 D. 1－2－3＋4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 下列运算中，正确的是（　B　） A. －2＋（－5）＝－（5－2）＝－3 B. （＋3）＋（－8）＝－（8－3）＝－5 C. （－9）－（－2）＝－（9＋2）＝－11 D. （＋6）＋（－4）＝＋（6＋4）＝＋10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 小刚做练习题时，遇到了这样一道题：“计算：｜（－2）＋☆｜－ （－6）.”其中“☆”是被污损看不清的一个数，他翻开后面的答案知 道该题计算的结果是11，则“☆”表示的数是（　B　） A. 7 B. 7或－3 C. －7或3 D. －3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 大家都知道，七时五十分可以说成差十分钟到八时，有时这样表达更 清楚，这也启发人们设计了一种新的加减记数法.例如：8写成1 ，1 ＝10－2；189写成2 9＝200－20＋9；7683写成1 3＝10000－2320 ＋3.按这个方法计算3 1－52 的结果为（　A　） A. －2408 B. －1990 C. －2410 D. －3024 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. ★已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝4，且a＞b＞c，则a－b＋c 的值为（　A　） A. －1或－3 B. 7 C. －3或7 D. －1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题6分，共30分） 6. 式子－2－3＋8－5可以读作 ⁠，或读 作 ⁠. 7. 规定 表示运算a－b＋c， 表示运算x＋z－y－w，则 ＋ ＝ ⁠. 8. 一天早晨的气温是－7℃，中午上升了11℃，晚上又下降了9℃，晚上 的气温是 ℃. 负2、负3、正8、负5的和　 负2减3加8减5　 0　 －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. ★如图，在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c.若｜b｜＝ 4，点A和点C之间的距离为2，则c－a＋b＝ ⁠. 第10题 －2　 9. －7，－12，＋2的和比它们的绝对值的和小 ⁠. 38　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共45分） 11. （15分）计算： （1） －6.5＋4 ＋8 －3 ； 解：原式＝－6 －3 ＋（4 ＋8 ）＝－10＋13＝3 （2） －（－2.5）＋1－ ； 解：原式＝2 ＋2 ＋1－1 ＝6－1 ＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） －32 －5 － ＋3.25＋2 ＋ . 解：原式＝－32 －5 ＋3 ＋3 ＋2 ＋28 ＝（－32 ＋28 ）＋ （－5 ＋3 ）＋（3 ＋2 ）＝－4－2＋6＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （8分）小红某星期手机电子钱包里的收发红包记录如下：收到22.9 元，发出9.9元，收到8.8元，发出35.5元，收到3.7元，发出6.6元，收到 4.8元.这时她的手机电子钱包里的钱跟原来相比是增加了还是减少了？ 增加了或减少了多少元？ 解：由题意，得22.9－9.9＋8.8－35.5＋3.7－6.6＋4.8＝－11.8（元）， 所以她的手机电子钱包里的钱跟原来相比减少了，减少了11.8元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （10分）小华记录了钱塘江一星期内水位的变化情况，如下表（正 号表示比前一天高，负号表示比前一天低）： 星　期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m ＋0.25 ＋0.80 －0.40 ＋0.03 ＋0.28 －0.36 －0.04 （1） 星期 的水位最高，星期 ⁠的水位最低； 二　 一　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 与上个星期日相比，该星期日的水位是上升了，还是下降了（写 出计算过程）？ 解：0.25＋0.80－0.40＋0.03＋0.28－0.36－0.04＝0.56（m）.因为0.56＞ 0，所以与上个星期日相比，该星期日的水位上升了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （12分）已知 ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，…. 计算： （1） ＝ 　 － 　； （2） ＋ ＋ ＋ ； 解：（2） 原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＝1－ ＝ － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） ＋ ＋ ＋…＋ . 解：（3） 原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$2.2　有理数的乘法与除法 第1课时　有理数的乘法法则 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. （吉林中考）若（－3）×□的运算结果为正数，则□内的数可以为 （　D　） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座 山峰，每登高1km气温的变化量为－6℃，登高6km后，气温（　D　） A. 上升6℃ B. 下降6℃ C. 上升36℃ D. 下降36℃ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如果a＋b＜0，ab＜0，那么这两个数（　C　） A. 都是负数 B. 都是正数 C. 一正一负，且负数的绝对值大 D. 一正一负，且正数的绝对值大 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 下列各组数中，互为倒数的是（　B　） A. 2和－ B. 7和 C. ｜－9｜和－ D. －4和4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如果三个非零有理数的积为正数，那么有下列结论：① 这三个数同 号；② 若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③ 若其中一个数是 负数，则另外两个数同号；④ 若其中一个数是负数，则另外两个数异 号.其中，一定正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题5分，共25分） 6. －2 的倒数是 　－ 　. 7. 小马同学说：“a的倒数是 .”你认为他的说法 （填“正 确”或“错误”）. 8. 若a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，则ab的值为 ⁠. － 　 错误　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 有10个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了 次手. 10. 已知有理数1，－8，＋11，－2，请你任选两个数相乘，运算结果最 大是 ⁠. 45　 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共50分） 11. （12分）计算： （1） （＋5）×（－4）； 解：原式＝－5×4＝－20 （2） ×0； 解：原式＝0 （3） 2 × ； 解：原式＝－ × ＝－1 （4） （－0.36）× ； 解：原式＝ × ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （5） （－3.25）× ； 解：原式＝－ × ＝－ （6） × . 解：原式＝ × ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （12分）甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘 米.4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少（规定水位上升为正， 下降为负）？ 解：甲水库：（＋3）×4＝12（厘米）；乙水库：（－3）×4＝－12 （厘米）.所以4天后，甲水库水位的总变化量是12厘米，乙水库水位的 总变化量是－12厘米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （12分）定义一种新的运算：a*b＝4ab，例如：2*3＝4×2×3＝24. 计算： （1） （－4）*5； 解：（1） （－4）*5＝4×（－4）×5＝－80 （2） （－2）*[（－3）*4]. 解：（2） （－2）*[（－3）*4]＝（－2）*[4×（－3）×4]＝（－2）* （－48）＝4×（－2）×（－48）＝384 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （14分）已知｜a｜＝5，｜b｜＝7. （1） 若ab＜0，求｜a－b｜的值； 解：因为｜a｜＝5，｜b｜＝7，所以a＝±5，b＝±7. （1） 因为ab＜0，所以a，b异号.当a＝5，b＝－7时，｜a－b｜ ＝｜5－（－7）｜＝12；当a＝－5，b＝7时，｜a－b｜＝｜－5－7｜ ＝12.综上所述，｜a－b｜＝12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 若｜a－b｜＝－（a－b），求ab的值. 解：因为｜a｜＝5，｜b｜＝7，所以a＝±5，b＝±7. （2） 因为｜a－b｜＝－（a－b），所以a－b不大于0.当a＝5，b＝ 7时，ab＝5×7＝35；当a＝－5，b＝7时，ab＝－5×7＝－35.综上所 述，ab＝±35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$2.2　有理数的乘法与除法 第2课时　有理数的乘法运算律 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共20分） 1. 计算 ×12＝4＋3－6＝1时，运用了（　B　） A. 加法交换律 B. 分配律 C. 乘法交换律 D. 乘法结合律 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 已知a＝（－12）×（－23）×（－34）×（－45），b＝（－123） ×（－234）×（－345），则下列叙述正确的是（　C　） A. a，b均为正数 B. a，b均为负数 C. a为正数，b为负数 D. a为负数，b为正数 3. 若a，b，c为非零有理数，则使它们的积必为正数的条件可以是 （　A　） A. a＞0，b，c同号 B. b＞0，a，c异号 C. c＞0，a，b异号 D. a，b，c同号 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若2019×24＝m，则2019×25的值可表示为（　C　） A. m＋1 B. m＋24 C. m＋2019 D. m＋25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每小题5分，共20分） 5. 绝对值不大于2024的所有整数的积是 ⁠. 6. 计算（－7.3）×（－42.07）＋2.07×（－7.3）时，使用运算律会方 便不少，所使用的运算律是 ，计算的结果是 ⁠. 7. 计算：（1－2）×（2－3）×…×（2023－2024）×（2024－2025） ＝ ⁠. 8. ★定义新运算：a△b＝（－4）×a×5×b，则 △ ＝ ⁠. 0　 分配律　 292　 1　 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共60分） 9. （16分）计算： （1） 2 × × × ； 解：原式＝－ × × × ＝－3 （2） （－5）×（－8）×0×（－10）×（－15）； 解：原式＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） （－8）× ×（－1.25）× ； 解：原式＝－8× × × ＝－ （4） × ×2 × . 解：原式＝－ × × × ＝－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （18分）计算： （1） －36× ； 解：原式＝－36× ＋36×3＋36× －36× ＋36× ＝－18＋108＋ 20－30＋21＝101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） × ； 解：原式＝（－ ＋ － ）×24＝－ ×24＋ ×24－ ×24＝－12＋ 16－6＝－2 （3） －3.14×35.2＋3.14×（－46.4）－3.14×18.4. 解：原式＝－3.14×（35.2＋46.4＋18.4）＝－3.14×100＝－314 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （11分）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游 戏：将2024这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的 的结果 告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的 的结果告诉第 三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的 的结果告诉第四名同 学……照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到 的结果告诉李老师.你知道最后的结果吗？ 解：2024× × × ×…× ＝2024× × × ×…× ＝ ，所以最后的结果是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. ★（15分）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题 目：“计算：49 ×（－5）.”有两名同学的解法如下： 小明：49 ×（－5）＝－ ×5＝－ ＝－249 . 小军：49 ×（－5）＝ ×（－5）＝49×（－5）＋ × （－5）＝－249 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 对于以上两种解法，谁的解法较好？ 解：（1） 小军的解法较好 （2） 你还有更好的解法吗？如果有，请把它写出来. 解：（2） 有更好的解法　49 ×（－5）＝（50－ ）×（－5）＝ 50×（－5）－ ×（－5）＝－250＋ ＝－249 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 用你认为最合适的方法计算：19 ×（－8）. 解：（3） 19 ×（－8）＝（20－ ）×（－8）＝20×（－8）－ ×（－8）＝－160＋ ＝－159 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$2.2　有理数的乘法与除法 第3课时　有理数的除法法则 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. 计算1÷ 时，除法变为乘法正确的是（　D　） A. 1× B. 1× C. 1× D. 1× D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 下列计算中，正确的是（　A　） A. ÷ ＝－1 B. －3÷ ＝1 C. （－5）×0÷0＝0 D. 2÷3× ＝2 A 3. 若两个非零有理数的和为0，则它们的商是（　B　） A. 0 B. －1 C. 1 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 若a＋b＜0， ＞0，则下列结论成立的是（　B　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0 C. a＞0，b＜0 D. a＜0，b＞0 5. ★如果把2÷2÷2记作2③，（－4）÷（－4）记作（－4）②，那么 （－3）④×9的结果为（　A　） A. 1 B. 3 C. D. B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题6分，共36分） 6. 化简：（1） ＝ ； （2） ＝ 　 　. 7. 计算： ÷9＝ 　－11 　. 8. 我国某企业拥有全球最领先的自动化生产线.如果该自动化生产线在 电路板上插入1个某种零件的时间为0.01秒，那么1分钟可以插入该种零 件 个. －7　 　 －11 　 6000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知｜x｜＝3，｜y｜＝ ，且xy＜0，则 的值为 ⁠. 10. 在－2，－3，4，5中，任取两个数相除，商最小是 ⁠. 11. ★已知 ＞0，则 ＋ ＝ ⁠. －15　 － 　 ±2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共39分） 12. （16分）计算： （1） ÷ ； 解：原式＝（－ ）×（－ ）＝6 （2） ÷ ； 解：原式＝ ×（－ ）＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） ÷ ； 解：原式＝（－ ）×（－ ）＝ （4） 0÷ . 解：原式＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （8分）计算： （1） （－8）÷ × ÷（－9）； 解：原式＝－8× × × ＝－2 （2） （－81）÷ × ÷ . 解：原式＝－81× × × ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （15分）若a＞0，b＞0，且 ＞1，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ＞1，则a＜b.以上这种比较大小的方法叫作“作商比较法”.试用“作 商比较法”比较－ 与－ 的大小. 解：因为－ ＜0，－ ＜0，且－ ÷（－ ）＝ × ＝ ＞1， 所以－ ＜－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$2.2　有理数的乘法与除法 第4课时　有理数的加减乘除混合运算 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题6分，共24分） 1. 计算（－1）＋（－1）－（－2025）×（－2024）×0的结果是 （　D　） A. －1 B. 1 C. 0 D. －2 2. 计算12－7×（－4）＋8÷（－2）的结果是（　A　） A. 36 B. －20 C. 6 D. －24 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 某水库上午8时的水位是45m，随后水位以每小时0.6m的速度上涨， 中午12时开始开闸泄洪，之后水位以每小时0.3m的速度下降，则当天下 午6时，该水库的水位是（　B　） A. 45.4m B. 45.6m C. 45.8m D. 46m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. ★如果a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为2，那么 ｜m｜－c×d＋ 的值为（　A　） A. 1 B. －2 C. 1或－3 D. 或 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每小题6分，共30分） 5. 当a＝2，b＝－4，c＝5时，（a＋b）÷（b－c）的值是 ⁠. 6. 若A是最小的正整数，B是最大的负整数，C是绝对值最小的数，则 （A－B）×C＝ ⁠. 7. 如图所示为计算机的一个计算程序.若开始输入的数是－2，则最后输 出的结果是 ⁠. 第7题 　 0　 －14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （烟台中考改编）在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重 复，将四个数－2，4，－6，8组成算式，每个数都使用且只能使用一 次，使运算结果为24，则列出的算式为 ⁠ （写出一种）.（答案不唯一） 9. ★定义一种新运算：a※b＝当x＝－4时，（3※x） －（－5※x）的值是 ⁠. 8×（－6）÷[4÷（－2）]＝ 24　 （答案不唯一） 19　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共46分） 10. （20分）计算： （1） 25÷5× ÷ ； 解：原式＝25× × × ＝ （2） ×24－ ÷ －｜－25｜； 解：原式＝ ×24－ ×24＋ ×8－25＝15－16＋2－25＝－24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 1 ÷ ； 解：原式＝ ÷（ × ＋ × ）＝ ÷［（ ＋ ）× ］＝ ÷（4× ）＝ × ＝ （4） ÷ － × － ÷（－4）. 解：原式＝－ × － × ＋ ＝（－ － ＋1）× ＝0× ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （10分）阅读下面的解题过程，并回答问题： 计算：（－15）÷ ×6. 解：原式＝（－15）÷ ×6（第一步） ＝（－15）÷（－1）（第二步） ＝－15（第三步）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 上面的解题过程中有两处错误，第一处是第 ⁠步，错误的原 因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ⁠ ⁠. （2） 把正确的解题过程写出来. 解：（－15）÷（ － ）×6＝（－15）÷（－ ）×6＝（－15）× （－6）×6＝90×6＝540 二　 运算顺序错误　 三　 符号错 误　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （16分）小华在课外书中看到这样一道题：“计算： ÷ ＋（ ＋ － － ）÷ .”他发现，这个算式反映的 是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系， 他顺利地解答了这道题. （1） 前后两部分之间存在着什么关系？ 解：（1） 前后两部分互为倒数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分. 解：（2） 先计算后一部分比较方便 ÷ ＝ ×36＝ ×36＋ ×36－ ×36－ ×36＝9＋3－14－1＝－3 （3） 利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果. 解：（3） ÷ ＝－ （4） 根据以上分析，求出原式的结果. 解：（4） 原式＝－ ＋（－3）＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$2.3　有理数的乘方 第1课时　乘　方 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. （温州中考）计算（－2）2的结果是（　A　） A. 4 B. －4 C. 1 D. －1 2. 下列各数中，属于负数的是（　D　） A. B. － C. D. － A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 下列各组数中，相等的是（　C　） A. 43和34 B. － 和 C. （－3）3和－33 D. － 和 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 在（－1）3，（－1）2，－22，（－3）2这四个数中，最大的数与最 小的数的和为（　D　） A. 6 B. －5 C. 8 D. 5 5. ★《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤.堤有九木，木有九枝， 枝有九巢……”大意如下：现在有人出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9 棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有 （　C　） A. 93个 B. 103个 C. 94个 D. 104个 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题6分，共36分） 6. 把 × × 写成乘方的形式为 　 　，其结果 是 ⁠. 7. （1） 在－34中，底数是 ，指数是 ，读作 ⁠ ，值为 ⁠； （2） 在（－3）4中，底数是 ，指数是 ，读作 ⁠ ，值为 ⁠. 　 － 　 3　 4　 负的3的4次 方　 －81　 －3　 4　 负3的4次 方　 81　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 若x，y互为倒数，则（－xy）2025＝ ⁠. 9. 规定一种新运算：a※b＝ab，例如：3※2＝32＝9，则（－2）※5 ＝ ⁠. 10. 若一个数的平方等于4，则这个数的立方为 ⁠. 11. ★已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝ 2187，38＝6561，…，则32024的个位上的数字是 ⁠. －1　 －32　 ±8　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、 解答题（共39分） 12. （12分）计算： （1） 53； 解：原式＝5×5×5＝125 （2） （－7）3； 解：原式＝（－7）×（－7）×（－7）＝－343 （3） －（－6）3； 解：原式＝－（－6）×（－6）×（－6）＝6×6×6＝216 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （4） ； 解：原式＝（－ ）3＝（－ ）×（－ ）×（－ ）＝－ （5） － ； 解：原式＝－ ＝－ （6） . 解：原式＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （6分）若｜a｜＝5，b2＝9，且a＜b，求（a＋b）2的值. 解：因为｜a｜＝5，所以a＝±5.因为b2＝9，所以b＝±3.因为a＜b，所以a＝－5，b＝±3.所以a＋b＝－2或－8.所以（a＋b）2＝4或64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （9分） （1） 填空：1.22＝ ；122＝ ；1202＝ ⁠. （2） 根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位时，其平方 数的小数点怎样移动？ 解：（2） 当底数的小数点向右移动一位时，其平方数的小数点向右移 动两位 （3） 利用上述规律，解决问题： 已知3.252＝10.5625，则0.3252＝ ；若x2＝105625， 则x＝ ⁠. 1.44　 144　 14400　 0.105625　 ±325　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （12分）阅读材料： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了 解到：23＝2×2×2，24＝2×2×2×2.观察上述算式，有23×24＝ 2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到23×24＝27. 解决问题： （1） 102×105＝ ，a3×a5＝ ⁠. 107　 a8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 利用由特殊到一般的思想，可以得到am×an＝ （m，n 都是正整数）.我们把类似于am和an这样的式子叫作同底数幂，因此可 以得到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （3） 知识应用：x·x2·x2021＝ ，y2n·yn＋1＝ ⁠. （4） 已知xa＝3，xb＝6，则xa＋b的值是 ⁠. am＋n　 x2024　 y3n＋1　 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2.3　有理数的乘方 第2课时　有理数的混合运算 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. （杭州中考）计算（－2）2＋22的结果是（　D　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 2. 定义新运算“ ”，规定：a b＝a2－｜b｜，则计算（－2） （－1）的结果是（　D　） A. －5 B. －3 C. 5 D. 3 D D ⊗ ⊗ ⊗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若x，y互为相反数，c，d互为倒数，｜m｜＝9，则 － （－cd）2024＋m的值为（　D　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 8或－10 4. 计算－1＋（－1）2＋（－1）3＋（－1）4＋…＋（－1）2023＋（－ 1）2024＋（－1）2025的结果是（　B　） A. 1 B. －1 C. 0 D. －1或0 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. ★如图，若输入的值为－4，则输出的值为（　D　） A. 44 B. 4 C. － D. －84 第5题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每小题5分，共25分） 6. （桂林中考）计算：｜－3｜＋（－2）2＝ ⁠. 7. （南京中考）计算23×44× 的结果是 　－ 　. 8. （甘肃中考）定义一种新运算“*”，规定运算法则为m*n＝mn－mn （m，n均为整数，且m≠0）.例：2*3＝23－2×3＝2，则（－2）*2 ＝ ⁠. 9. 若34＋34＋34＝3m，45＋45＋45＋45＝4n，则m－n的值为 ⁠. 7　 － 　 8　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. ★（资阳中考）计算机的二进制数据是用0和1来表示的数，进位规 则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制数 01011011换成十进制数为0×27＋1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋ 1×21＋1×20＝91.依此算法，二进制数01001001换成十进制数为 ⁠. 73　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共50分） 11. （20分）计算： （1） （钦州中考）23× ÷（1－3）； 解：原式＝8× ÷（－2）＝4×（－ ）＝－2 （2） 2×（－3）3－4×（－3）＋15； 解：原式＝2×（－27）＋12＋15＝－54＋12＋15＝－27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） －32－2 × －48÷（－2）× ； 解：原式＝－9－ × －48× × ＝－9－5－12＝－26 （4） （－32）÷ －（－2）3× －5× ÷4. 解：原式＝（－9）÷（－ ）－（－8）× －5× × ＝9× ＋ 8× －5× ＝（9＋8－5）× ＝12× ＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （12分）琪琪发现一道题目：“计算：（－9）× －33.”其 中有一个数被墨水污染了. （1） 琪琪猜测被污染的数是 ，请计算：（－9）× －33； 解：（1） 原式＝－9× －27＝ －27＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 琪琪的妈妈看到该题的参考答案是－9，请通过计算求出被污染 的数. 解：（2） －（－9＋33）÷（－9）＝ －（－9＋27）÷（－9）＝ －18÷（－9）＝ －（－2）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. （18分）观察下列三行数： －3，9，－27，81，－243…… －5，7，－29，79，－245…… －1，3，－9，27，－81…… （1） 探索第一行数中的规律，并用含n的式子表示第n个数： ⁠. （－ 3）n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 第二、三行数与第一行数中对应位置的数分别有什么关系？ 解：（2） 对比第一、二行数中对应位置的数，可以发现：第二行数是 第一行对应位置的数减2，即－3－2，（－3）2－2，（－3）3－2， （－3）4－2，（－3）5－2……对比第一、三行数中对应位置的数，可 以发现：第三行数是第一行对应位置的数除以3，即（－3）÷3， （－3）2÷3，（－3）3÷3，（－3）4÷3，（－3）5÷3…… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 分别取每行数的第6个数，计算这三个数的和. 解：（3） 三行数中的第6个数的和是（－3）6＋[（－3）6－2]＋ （－3）6÷3＝729＋727＋243＝1699 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$2.3　有理数的乘方 第3课时　科学记数法 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. （长沙中考）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至 2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000， 建设和应用规模居世界第一.数据1290000000用科学记数法表示为 （　C　） A. 1.29×108 B. 12.9×108 C. 1.29×109 D. 129×107 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 党的二十大指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体 系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖 十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.数据十亿四 千万用科学记数法表示为（　C　） A. 104×107 B. 10.4×108 C. 1.04×109 D. 0.104×1010 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （泰安中考）据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接 待进山游客超860万人次，同比增长301.36％，刷新了历年游客量最高 纪录.数据860万用科学记数法表示为（　D　） A. 8.6×107 B. 86×105 C. 0.86×107 D. 8.6×106 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 在科学记数法中，把一个大于10或小于－10的数表示成a×10n的形 式，则a的取值范围是（　D　） A. 0＜｜a｜＜10 B. 1＜｜a｜＜10 C. ｜a｜大于或等于1且小于9 D. ｜a｜大于或等于1且小于10 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （泰安中考）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球 样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的 年龄是20.3亿年.数据20.3亿用科学记数法表示为（　B　） A. 2.03×108 B. 2.03×109 C. 2.03×1010 D. 20.3×109 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题5分，共25分） 6. （苏州中考）在比例尺为1∶8000000的地图上，量得A，B两地在地图 上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米.数据28000000用科学 记数法表示为 ⁠. 7. 用科学记数法表示北京故宫的占地面积约为7.2×105m2，则7.2×105 的原数是 ⁠. 2.8×107　 720000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 国庆假期期间，某景区同步设置的“我为祖国点赞”装置共收集约 63.9万个“赞”.数据63.9万用科学记数法表示为 ⁠. 9. （上海中考）科学家研发了一种超凡唱片，一张超凡唱片的容量约为 2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则一张超凡唱片的容量约 是一张普通唱片的 倍（用科学记数法表示）. 10. ★比较大小：1.1×102025 9.9×102024（填“＞”“＜”或 “＝”）. 6.39×105　 8×103　 ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共50分） 11. （8分）用科学记数法表示下列各数： （1） 7000000； （2） －92000； 解：7×106 解：－9.2×104 （3） －63000000； （4） 304000. 解：－6.3×107 解：3.04×105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （12分）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ （1） 2×106； （2） －9.6×102； 解：2000000 解：－960 （3） 7.58×107； （4） －4.31×105. 解：75800000 解：－431000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （16分）一粒大米微不足道，平时总会在饭桌上掉下几粒，甚至有 些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食的现象，老师组织 同学们进行了实际测算，测得500粒大米约重10克. （1） 1粒大米约重多少克？ 解：（1） 10÷500＝0.02（克），所以1粒大米约重0.02克 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 按我国现有人口约14亿人，每年365天，每人每天三餐计算，若 每人每天每餐节约1粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学 记数法表示）？ 解：（2） 0.02×1×3×365×1400000000÷1000＝3.066×107（千 克），所以一年大约能节约大米3.066×107千克 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 若把（2）中一年节约的大米卖掉，按每千克4元计算，则大约可 卖得多少元（用科学记数法表示）？ 解：（3） 4×3.066×107＝1.2264×108（元），所以大约可卖得 1.2264×108元 （4） 对于山区儿童，学杂费按每人每年500元计算，则（3）中一年节 约的大米卖得的钱大约可供多少人上一年学（用科学记数法表示）？ 解：（4） 1.2264×108÷500＝2.4528×105（人），所以一年节约的大 米卖得的钱大约可供2.4528×105人上一年学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （14分）先计算，然后根据计算结果回答问题： （1） 计算（用科学记数法表示）： ① （1×102）×（2×104）＝ ⁠； ② （2×104）×（3×107）＝ ⁠； ③ （3×107）×（4×104）＝ ⁠； ④ （4×105）×（5×1010）＝ ⁠. 2×106　 6×1011　 1.2×1012　 2×1016　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 已知式子（a×10n）×（b×10m）＝c×10p成立，其中a， b，c均为大于或等于1且小于10的数，m，n，p均为正整数，则m， n，p之间存在怎样的等量关系？ 解：（a×10n）×（b×10m）＝ab×10m＋n＝c×10p.因为a，b，c 均为大于或等于1且小于10的数，m，n，p均为正整数，所以易知ab 大于或等于1且小于100.所以当ab大于或等于1且小于10时，m＋n＝ p；当ab大于或等于10且小于100时，m＋n＋1＝p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$2.3　有理数的乘方 第4课时　近 似 数 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题6分，共24分） 1. 下列数据中，是准确数的为（　C　） A. 上海科技馆的建筑面积约为98 000 m2 B. 某冬奥会冠军的体重约为73 kg C. 我国目前共有34个省级行政区 D. 某市某年的生产总值约为372.5亿元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 用四舍五入法对1.06042取近似值，其中错误的是（　C　） A. 1.1（精确到0.1） B. 1.06（精确到0.01） C. 1.061（精确到千分位） D. 1.0604（精确到万分位） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 某校女生的平均身高约为1.6m，则该校女生的平均身高的范围是 （　B　） A. 大于1.55m且小于1.65m B. 不小于1.55m且小于1.65m C. 大于1.55m且不大于1.65m D. 不小于1.55m且不大于1.65m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. ★下列说法中，正确的是（　A　） A. 近似数1.7和1.70表示的意义不同 B. 2.0万精确到万位 C. 近似数8万和80000的精确度相同 D. 近似数0.15和0.150的精确度相同 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每小题6分，共24分） 5. 有下列数据：我国约有14亿人口；第一中学有68个班级；直径10 cm 的圆，它的周长约为31.4 cm.其中，是准确数的为 ⁠，是近似 数的为 ⁠. 6. 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1） 3.0688（精确到0.01）≈ ⁠； （2） 19992（精确到十位）≈ ⁠（用科学记数法表示）； （3） 23489（精确到千位）≈ （用科学记数法表示）. 68，10　 14亿，31.4　 3.07　 1.999×104　 2.3×104　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 太阳的直径约为1392000千米，用科学记数法表示约为 ⁠ 千米（精确到万位）. 8. 用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ；近似数3.0×106 精确到 位. 1.39×106　 3.142　 十万　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共52分） 9. （16分）下列用四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ （1） 43.0； （2） 0.03080； 解：十分位 （3） －300； （4） 2.4万； 解：个位 （5） 13亿； （6） 1.60； 解：亿位 （7） 3.10×104； （8） 5.0×104. 解：百位 解：十万分位 解：千位 解：百分位 解：千位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （12分）车工小王加工了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质 检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到 2.80m，一根为2.76m，另一根为2.82m，怎么不合格？” （1） 图纸要求精确到2.80m，合格轴的长度范围是多少？ 解：（1） 设合格轴的长度为am，则a大于或等于2.795且小于2.805 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难他，请说明 理由. 解：（2） 小王加工的轴不合格　理由：由（1），得a大于或等于 2.795且小于2.805，所以一根为2.76m，另一根为2.82m的轴都不符合要 求.所以小王加工的轴不合格. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （12分）某飞船在太空中绕地球飞行，飞行时离地面的高度约为400 千米，每秒约飞行7.8千米，该飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时 （地球的半径约为6400千米，结果保留两位小数）？ 解：2×π×（6400＋400）÷7.8÷60÷60≈1.52（时），所以该飞船绕 地球飞行一周大约需要1.52小时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （12分）西周的城邑（都城）为正方形规制，《周礼》记载：天子 城邑为九里之城，公爵城邑可为七里之城，侯伯爵城邑可为五里之城. 若按1周尺≈20厘米计算，一里为1800周尺，则九里之城的边长约为 3240米.请你根据上面的信息，推算出侯伯爵城邑的实际大小约是多少 平方千米（结果保留一位小数）. 解：5×1800×20＝180000（厘米），180000厘米＝1.8千米， 1.8×1.8≈3.2（平方千米），所以侯伯爵城邑的实际大小约是3.2平 方千米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二章 有理数的运算 小专题（一) 有理数混合运算的简便技巧 类型一运用乘法交换律和结合律 1.计算： (1) (-2.5)×38×（-4)÷(-19); 解：原式=（-2.5)×38×(-4)×(-)=-(2.5×4)× (38×g)=-10×2=-20 (2) (-1.25)×号×(-4)×(-) 解：原式=I(-125)×(-4)1×[号×(-)]=5×（-1)=-5 3456 类型二 互为倒数的两数结合 2.计算： (1)4×(-1用)×(-16)×()： 解：原式=4×(-16)×(-)×(-)=-×16××？=-4 (2)()×()×(-2)×(-) 解：原式=品×是×号×至-吾×号×吕×是= 13 3456 类型三正用分配律 3.计算： (1)-24×(吾+日-)： 解：原式=-8×（-24)+×（-24)-2×（-24)=20-9+2 12 =13 456 (2)(-+)÷(-) 解：原式=（传-计）×（-2)=×（-2)-×（-2)+日 ×(-72)=-32+18-20=-34 456 类型四 逆用分配律 4.计算： (1)-15.45×2+4.05×(-2)-65×(-2): 解：原式=（-1545-4.05+6.5)×君-13×君=-31 13 (2)-2024×号+2024×(-)+2024×号 解：原式=2024×(-号-+)=2024×(-1)=-2024 3456 类型五 拆项后再用分配律 5.计算： (1)24号×(-8)； 解：原式=(（25-)×（-8)=25×(-8)-2×(-8)=-200 +2-198号 346 (2)-99号×34 解：原式=(（-100+)×34=-100×34+号×34=-3400+4= -3396 (3)48号÷（-48). 解：原式=(48+)×()=48×()+若×()=-1一品 50 3467 类型六 先求原式的倒数，再求原式的值 6.计算：50÷（传-+） 解法1：原式=50÷号-50÷+50÷=50×3-50×4+50×12. 12 上述解题过程 错误 （填“正确”或“错误”) 解法2：先计算原式的倒数 ,(（目-+)÷50=（目-+动）×品= ×品一品+立×品=， 所以原式=300. 45012 345 请你用解法2的方法计算：（-动)÷（仔-6+名） 解：先计算原式的倒数， (后0+名)÷(0)=（后品+名） ×(-30)=号×（-30)-0×(-30)+后×(-30)-号× (-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12)=-20+3-5十12= -10,所以原式=一。 345第二章小测 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 下列算式中，运算结果最小的是（　C　） A. －2＋3 B. －2－3 C. －2×3 D. －2÷3 2. （包头中考）若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值为 （　B　） A. B. C. 2 D. 4 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 下列计算错误的是（　B　） A. －3－5＝－8 B. 3÷9× ＝－3 C. 3×23＝24 D. 8÷ ＝－32 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （北京中考）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心 的建设.截至2024年5月，北京数字经济算力中心已部署上架和调试的设 备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位）， 整体投产后，累计实现的算力将是已部署上架和调试的设备的算力的5 倍，达到mFlops，则m的值为（　D　） A. 8×1016 B. 2×1017 C. 5×1017 D. 2×1018 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示，则有（　A　） A. a＋b＞0 B. b－a＜0 C. ab＞0 D. ｜a｜＞b 第5题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. ★（宜宾中考）如果一个数等于它的全部真因数（含1，不含它本 身）的和，那么这个数称为“完美数”.例如：6的真因数是1，2，3， 且6＝1＋2＋3，则称6为“完美数”.下列各数中，属于“完美数”的是 （　C　） A. 8 B. 18 C. 28 D. 32 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题6分，共30分） 7. 矿井下A，B，C三处的海拔分别是－37m，－129m，－71.3m，那 么最高处比最低处高 ⁠m. 8. 如果｜a－2024｜＋（b＋1）2＝0，那么ba的值是 ⁠. 9. 若a，b互为相反数，m，n互为倒数，则2024a＋2023b＋mnb的值 为 ⁠. 10. 定义一种新运算：a*b＝－2a＋b2－ab.如：2*3＝－2×2＋32－2×3 ＝－1，则4*（－7）＝ ⁠. 92　 1　 0　 69　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 观察下面两行数： 第一行：2，4，6，8，10，12，…. 第二行：2，5，8，11，14，17，…. 通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2个相同的数是8……则第 2024个相同的数是第一行的第 个数. 6070　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共40分） 12. （16分）计算： （1） 3 － ＋2 ＋ ； 解：原式＝3 ＋ ＋2 － ＝ ＋ ＝3＋3＝6 （2） （－3）2－（－66）× ； 解：原式＝9－［（－66）× －（－66）× ］＝9－（－33＋10） ＝9－（－23）＝32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） ÷ ； 解：原式＝ ×（－42）＝－ ×（－42）＋ ×（－42） － ×（－42）＝12＋（－7）＋9＝14 （4） －14÷3× － ×｜2－（－3）2｜. 解：原式＝－1× × － ×｜2－9｜＝－ － ×7＝－ － ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （12分）小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油 量，某天上午，他从单位出发，在沿着南北方向行驶时详细记录了行车 的路程情况.他规定向南为正，向北为负，下面是他这天上午行驶的路 程记录（单位：千米）：＋21，－16，＋4，－5.2，－3.8，－3.4，－ 12.6，＋14. （1） 已知该出租车这天上午共耗油9.6升，则该出租车每千米的耗油量 是多少？ 解：（1） ｜＋21｜＋｜－16｜＋｜＋4｜＋｜－5.2｜＋｜－3.8｜＋ ｜－3.4｜＋｜－12.6｜＋｜＋14｜＝80（千米），9.6÷80＝0.12（升）.所以该出租车每千米的耗油量是0.12升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 上午运营结束后，小东的爸爸应该向 行驶 ⁠千米返回 单位. 南　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （12分）观察等式：2－ ＝2× ＋1，5－ ＝5× ＋1，给出定义： 我们称使等式a－b＝ab＋1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如： ， 都是“共生有理数对”. （1） 通过计算判断（1，2）是不是“共生有理数对”； 解：（1） 因为1－2＝－1，1×2＋1＝3，所以1－2≠1×2＋1.所以数对 （1，2）不是“共生有理数对” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 若（m，n）是“共生有理数对”，则（－n，－m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3） 若（m，n）是“共生有理数对”，且m－n＝4，求（－5）mn 的值. 解：（3） 因为（m，n）是“共生有理数对”，所以m－n＝mn＋1. 因为m－n＝4，所以mn＝3.所以（－5）mn＝（－5）3＝－125 是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$阶段检测（2.1～2.2） 第二章　有理数的运算 一、 选择题（每小题6分，共30分） 1. 下列算式的结果等于1的是（　D　） A. （－2）＋（－2） B. （－2）－（－2） C. －2×（－2） D. （－2）÷（－2） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 观察算式（－4）× ×（－25）×28，在解题过程中，能使运算变得 简便的运算律是（　D　） A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 分配律 D. 乘法交换律、结合律 3. 已知4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 （　A　） A. 1个或3个 B. 1个或2个 C. 2个或4个 D. 3个或4个 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 两个有理数的商是正数，关于这两个有理数，下列判断正确的是 （　C　） A. 和是正数 B. 差是正数 C. 积是正数 D. 以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 对于从左到右依次排列的三个数a，b，c，在a与b之间、b与c之 间只添加一个四则运算符号（“＋”“－”“×”“÷”）组成算式 （不添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对 数a，b，c进行“四则操作”.例如：对数4，5，6的“四则操作”可以 是4＋5÷6＝ ，也可以是4－5－6＝－7；对数2，－1，－2的一种“四 则操作”可以是2－（－1）＋（－2）＝1.若对数2，－5，3进行“四则 操作”，则所有的结果中最大的是（　A　） A A. 17 B. 10 C. 21 D. 6.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每小题6分，共30分） 6. 计算：3－（－2）＋｜－4｜＝ ⁠. 7. 计算：（－2）÷（－5）× ＝ 　 　. 8. 已知｜x｜＝5，｜y｜＝1，且 ＞0，则x－y＝ ⁠. 9. 有四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积为9，则a＋b＋c＋ d的值是 ⁠. 9　 　 ±4　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. ★（自贡中考）如图，某餐厅把网络密码做成了数学题.小红在该餐 厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了该餐厅的网络. 她输入的密码是 ⁠. 第10题 244872　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共40分） 11. （18分）计算： （1） ÷6； 解：原式＝（－36－ ）× ＝－36× － × ＝－6－ ＝－6 （2） － ； 解：原式＝－15 ＋13 ＋31 －14＝－2－14＋31 ＝－16＋ 31 ＝15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） －4÷ × ； 解：原式＝4× × ＝ （4） －8× ＋12× －4× ； 解：原式＝（－8＋12－4）×（－ ）＝0×（－ ）＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （5） ÷ ； 解：原式＝（ － ＋ ）×（－36）＝－ ×36＋ ×36－ ×36＝ －8＋9－2＝－1 （6） －5－（－5）× ÷ ×（－5）. 解：原式＝－5＋5× ×10×（－5）＝－5－25＝－30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （10分）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查 了一名送餐员一个星期的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖 称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”，该送餐员 一个星期的送餐量如下表： 星　期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋7 ＋12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1） 该送餐员这个星期平均每天送餐多少单？ 解：（1） 由题意，得50＋[（－3）＋（＋4）＋（－5）＋（＋14）＋ （－8）＋（＋7）＋（＋12）]÷7＝50＋3＝53（单），所以该送餐员 这个星期平均每天送餐53单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 送餐员每天的工资由底薪60元和送单补贴构成，送单补贴的方案 如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超 过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元.该送餐 员这个星期的工资是多少元？ 解：（2） 由题意，得（50×7－3－5－8）×2＋（4＋7＋10×2）×4 ＋（4＋2）×6＋60×7＝1248（元），所以该送餐员这个星期的工资是 1248元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. （12分）若a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数.如：2的 差倒数是 ＝－1，－1的差倒数是 ＝ .已知a1＝－ ，a2是a1 的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推. （1） 分别求出a2，a3，a4的值； 解：（1） 因为a1＝－ ，所以a2＝ ＝ ，a3＝ ＝4，a4＝ ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 求a1＋a2＋a3＋…＋a3600的值. 解：（2） 由（1），得每三个数为一个循环组.因为a1＋a2＋a3＝－ ＋ ＋4＝ ，3600÷3＝1200，所以a1＋a2＋a3＋…＋a3600＝ ×1200 ＝5300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$