15.2 分式的运算（2） 讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

分式的运算(2) 15.2 目录 探究1 整数指数幂 2 探究2 科学记数法 4 探究3 分式的化简求值 7 探究1 整数指数幂 整数指数幂: 若m,n为正整数,a≠0,则. 又因为,所以. 一般地,当n是正整数时,,这就是说,是的倒数. 【例1】 (2024春•裕华区期末)可以表示为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据分析判断即可. 【解答】解:, 故选:. 【例2】 (2024春•驻马店月考)计算:的结果是 . 【答案】5. 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的定义,有理数的加法运算法则进行计算. 【解答】解:. 故答案为:5. 【例3】 (2024春•高邮市校级月考)已知:,,,则,,大小关系是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂将各数化简,再比较大小即可. 【解答】解:, , , , , 故选:. 1.正整数指数幂的运算性质: (1); (2); (3); (4); (5). 上述式子中,m,n均为正整数. 2.根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,,,因此,即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.特别地,,所以,即商的乘方可以转化为积的乘方.这样,整数指数幂的运算性质可以归结为: (1); (2); (3); 探究2 科学记数法 科学记数法的两种形式: ①大数:把一个绝对值大于10的数表示成的形式,其中是正整数,; ②小数:利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数,即的形式,其中是正整数,. 【例4】 (2024春•上蔡县期末)欢乐六一,多彩童年,每年6月1日这天,孩子们都会用各种形式欢度自己的节日,还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗?已知泡泡的厚度约为0.000000326米,数据“0.000000326”用科学记数法表示为 A. B. C. D. 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数,熟知表示方法是解题的关键.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:, 故选:. 【例5】 (2024•港南区四模)近年来我国芯片技术突飞猛进.在这领域常使用长度单位纳米纳米毫米),将数据“5纳米”用科学记数法表示为 A.毫米 B.毫米 C.毫米 D.毫米 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式,其中,为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可求得答案. 【解答】解:5纳米毫米毫米, 故选:. 【例6】 (2023秋•巴东县期末)巴东博物馆珍贵藏品虎钮錞于,2022年出土于清太坪,为巴人中晚期军乐器(如图).虎钮錞于通高,椭圆盘首,肩部突出,腹部向下收缩,作椭圆柱形,中空.盘首面径;宽,作猛虎形,器壁厚.上述数据中,科学记数正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式,其中,为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此进行判断即可. 【解答】解:; ; ; ; 故选:. 1.用科学记数法表示小于1的正数时,要注意小数点位置的变化,即小数点向右移了几位,10的指数就是负几. 2.运用科学记数法的数字,它的精确度以a的最后一个数在原数中的数位为准. 3.科学记数法的好处在于能够精确且方便地表示位数较多的数, 避免了使用常规方法时可能遇到的浪费空间和时间的问题. 探究3 分式的化简求值 分式的化简求值,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,在运算过程中要注意正确地运用运算法则,灵活地运用运算律,使运算尽量简便. 【例7】 (2024•莘县一模)如果,那么代数式的值是 A. B. C.1 D.3 【答案】 【分析】先化简所求的式子,再根据,可以得到,然后代入化简后的式子即可. 【解答】解: , , , 原式, 故选:. 【例8】 (2024春•淮安期末)代数式的值为.则为整数值的个数有 A.0个 B.7个 C.8个 D.无数个 【答案】 【分析】先将分式进行化简,然后根据题意确定为整数的的值,即可确定的值的个数. 【解答】解: , 代数式的值为,且为整数, 为整数, 的值为:1,8,4,,,,,共7个, 对应的值有7个. 故选:. 【例9】 (2024•兰州)先化简,再求值:,其中. 【答案】,. 【分析】利用分式的混合运算的法则化简后,将代入运算即可. 【解答】解:原式 , 当时, 原式. 分式化简求值的三种类型方法: (1)直接代入求值:直接将所给定的字母的值代入到化简后的式子中计算即可; (2)选取合适的字母的值代入求值:要保证原分式中分母不为0,也要保证除法运算时,除数不为0; (3)整体代入求值:已知条件是一个式子的值,需根据其结构特征进行整理,然后再整体代入求值. 牛刀小试 1.(2024春•玄武区校级期中)若,,,,则,,,的大小关系为 A. B. C. D. 2.(2024春•莱芜区期中)若,则的值可以是 A.4 B. C. D.5 3.(2024春•霍邱县期末)埃格斯特朗,简称埃,符号是一个长度单位.它不是国际制单位,但是可与国际制单位进行换算,即米,即纳米的十分之一.将数据0.0000000001用科学记数法表示为 A. B. C. D. 4.(2024•高要区二模)已知.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句:“苔花如米小,也学牡丹开”.其中苔花的花粉直径约为,则用科学记数法表示为 A. B. C. D. 5.(2024•丰南区模拟)若为正整数,则表示的值的点落在 A.段① B.段② C.段③ D.段④ 6.(2024春•顺德区校级月考)已知,且,求的值是 A. B. C. D. 7.(2024春•太湖县月考)若且,,均不为0,则的值为 A. B. C.0 D.2 8.(2024春•寿县期末)若实数、满足,则 . 9.(2024•沙坪坝区校级三模)在中国科研团队的努力下,氮化镓量子光源芯片问世,将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右.将0.0000000256用科学记数法表示应为 . 10.(2024春•双流区校级月考)如果时,那么代数式的值 . 11.(2024春•莱西市校级月考)计算: (1); (2). 12.(2024春•徐汇区校级期末)计算:. 13.(2023春•万柏林区校级期中)“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根据有关理论,当一颗恒星衰老时,其中心的燃料(氢已经被耗尽,在外壳的重压之下,核心开始坍缩,直到最后形成体积小、密度大的星体.如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍,那么就会引发另一次大坍缩.当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后,其引力就会变得相当强大,以至于光也不能逃脱出来,从而成为一个看不见的星体一黑洞.施瓦氏半径(单位:的计算公式是.,其中,为万有引力常数;表示星球的质量(单位:;,为光在真空中的速度. 已知太阳质量为,计算太阳的施瓦氏半径. 14.(2024春•共青城市校级月考)世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂,体长仅0.021厘米,其质量也只有0.000005克. (1)用科学记数法表示上述两个数据. (2)一个鸡蛋的质量大约是50克,多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等? 15.(2024•阳新县校级模拟)先化简,再求值:,其中. 16.(2024春•西峡县期末)先化简:,再从,0,1,2中选择一个合适的数作为的值代入求值. 参考答案 1.【答案】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简,进而比较大小即可. 【解答】解:,,,, . 故选:. 2.【答案】 【分析】根据零指数幂的底数不等于零的条件进行解题即可. 【解答】解:, , 、; 、; 、; 故、、项不符合题意,只有项符合题意; 故选:. 3.【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为,其中,为整数,确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,是正整数,当原数绝对值小于1时,是负整数,表示时关键是要正确确定及的值. 【解答】解:将数据0.0000000001用科学记数法表示为, 故选:. 4.【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为,其中,为整数,确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,是正整数,当原数绝对值小于1时,是负整数,表示时关键是要正确确定及的值. 【解答】解:, 故选:. 5.【答案】 【分析】先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解,然后进行约分化简,再根据同分母分式加减法进行计算,并结合为正整数,确定结果的取值范围. 【解答】解:原式 , 又为正整数, , 故原式的值落在段②, 故选:. 6.【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案. 【解答】解:, , , , , , , . 故选:. 7.【答案】 【分析】由已知得:,,,再将所求的式子去括号后,同分母加在一起,分别将所求的式子整体代入约分即可. 【解答】解:, ,,, , , 故选:. 8.【答案】. 【分析】首先根据题意,可得,,所以,,据此求出、的值,然后把求出的、的值代入计算即可. 【解答】解:实数、满足, ,, ,, 解得,, . 故答案为:. 9. 【分析】科学记数法的表现形式为,其中,为整数,确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,是正整数,当原数绝对值小于1时,是负整数,表示时关键是要正确确定及的值. 【解答】解:, 故答案为:. 10.【答案】. 【分析】先根据分式的加法法则进行计算,再根据分式的乘法法则进行计算,最后代入求出答案即可. 【解答】解: , 当时,原式. 故答案为:. 11.【答案】(1); (2). 【分析】(1)根据负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可; (2)根据负整数指数幂、零指数幂运算法则,绝对值意义,进行计算即可. 【解答】解:(1) ; (2) . 12.【答案】48. 【分析】根据负整数指数幂,二次根式的性质进行计算即可解答. 【解答】解: . 13. 【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数. 【解答】解:. 答:太阳的施瓦氏半径为. 14.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:(1)0.021厘米用科学记数法表示为厘米, 0.000005克用科学记数法表示为克; (2)设只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等,根据题意,得 , 解得, 答:只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等. 15.【答案】,. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把的值代入进行计算即可. 【解答】解: , 当时,原式. 16.【答案】,时,原式. 【分析】先根据分式的运算法则进行化简,然后根据分式有意义的条件找出符合题意的的值,最后代入化简后的式子即可求出答案. 【解答】解:原式 , ,,, ,,, 取,原式. 学科网(北京)股份有限公司 $$