精品解析：2024年浙江中考数学模拟题临考安心卷2

2024年中考数学模拟题临考安心卷（浙江专用） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2 “曙光4000A超级服务器”的峰值计算速度达到每秒8061000000000次，请将这个数据精确到千亿位并用科学记数法表示（　　） A. 8.061×1012 B. 8.06×1012 C. 8.1×1012 D. 8.0×1012 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 如图所示，在坡角为的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，那么这两棵树在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 某公司统计了今年3月销售部10名员工销售某种商品的业绩如表： 每人销售量/件数 510 250 210 120 人数（人） 1 2 5 2 则这10名销售人员在该月销售量的中位数和众数分别为（　　） A 250，230 B. 250，210 C. 210，230 D. 210，210 7. 不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 9. 如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：m2﹣2m=___． 12. 为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为米，在同一时刻测得水塔的投影长为24米，则水塔高为________米. 13. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是___°． 14 “十一”期间，某服装商场推出促销方案： ①一次性购物不超过1000元，不享受优惠； ②一次性购物超过1000元，但不超过2000元，一律打九折； ③一次性购物超过2000元，一律打八折．如果小丽在该商场一次性购物付款1620元，那么小丽购物的原价一定是_____元． 15. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形，拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.小颖将一粒米随机地撒在如图所示的正方形（“赵爽弦图”）地板上（落在大正方形外的除外）.若直角三角形的两直角边长之积为，大正方形的面积为，那么米粒最终停留在小正方形区域内的概率是____. 16. 如图，已知线段AB=20，C，D是AB上的两点，且AC=DB=4，P是线段CD上一动点，分别以AP、BP为对角线作正方形AEPF和正方形BGPH，Q为线段FH的中点，点P由点C移动到点D时，Q点移动的路径长度为_______ 三．解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 家庭年旅游消费金额x(元) 户数 A x≤4000 27 B 4000<x≤8000 a C 8000<x≤12000 24 D 12000<x≤16000 14 E x>16000 6 （1）本次被调查的家庭有户，表中a=； （2）本次调查数据的中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度； （3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？ 19. 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于AB两侧的村庄. （1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，在图中的公路AB上分别画出点P，Q位置. （2）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在请在图中AB上画出这一点，如果不存在请说明理由. 20. 新能源汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势．某油电混合动力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能为锂电池进行充电．该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时，满电满油可以行驶最大里程是720千米．如图为该汽车仪表盘显示电量 （单位：％），仪表盘显示油量 （单位：％）与某次行驶里程x（单位：千米）之间的函数图象． （1）______，______． （2）求关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围， （2）当时，设方程两个实数根分别为，求的值． 22. 【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，． （1）求证：． （2）当t为何值时，与相切？ （3）当t为何值时，为等腰三角形？ 23. 定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学模拟题临考安心卷（浙江专用） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：2024的相反数是， 故选B． 2 “曙光4000A超级服务器”的峰值计算速度达到每秒8061000000000次，请将这个数据精确到千亿位并用科学记数法表示（　　） A. 8.061×1012 B. 8.06×1012 C. 8.1×1012 D. 8.0×1012 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：8061000000000精确到千亿位并用科学记数法表示为8.1×1012， 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 =1 故选：A． 【点睛】本题考查同分母分式的加减，解题关键是掌握运算法则． 5. 如图所示，在坡角为的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，那么这两棵树在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴在中，， ∴； 故选A． 6. 某公司统计了今年3月销售部10名员工的销售某种商品的业绩如表： 每人销售量/件数 510 250 210 120 人数（人） 1 2 5 2 则这10名销售人员在该月销售量的中位数和众数分别为（　　） A. 250，230 B. 250，210 C. 210，230 D. 210，210 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：共计10个数据，因此中位数为排列后第5个和第6个数据的平均数， ∴这10名销售人员在该月销售量的中位数是， 由销售量为210件的人数为5人，得众数为210． 故选：D． 7. 不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组恰有两个整数解得出关于m的不等式组，求解即可． 详解】解：解不等式组得：m−1≤x＜1， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴−2＜m−1≤−1， ∴−1＜m≤0． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于m的不等式组． 8. 如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 垂直平分， ， 弓形的面积弓形的面积， ， 故选：A． 9. 如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作辅助线是解答此题的关键． 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：m2﹣2m=___． 【答案】． 【解析】 【分析】提公因式法进行因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为米，在同一时刻测得水塔的投影长为24米，则水塔高为________米. 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同一时刻，物高与影长成正比列式计算即可．理解题意，根据相似三角形的性质正确列式是解题关键． 【详解】由题意可知，再同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线，三者构成的两个直角三角形相似， 设物高为h米，根据题意，得， 解得， 故答案为：32． 13. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是___°． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可． 【详解】∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 14. “十一”期间，某服装商场推出促销方案： ①一次性购物不超过1000元，不享受优惠； ②一次性购物超过1000元，但不超过2000元，一律打九折； ③一次性购物超过2000元，一律打八折．如果小丽在该商场一次性购物付款1620元，那么小丽购物的原价一定是_____元． 【答案】1800或2025 【解析】 【分析】先根据题意判断出可能打折的情况,再分别算出可能的可能的原价． 【详解】解：设小丽购物的原价一定是x元， ①若1000＜x≤2000，则0.9x＝1620， 解得：x＝1800； ②若x＞2000，则0.8x＝1620， 解得：x＝2025； 故小丽购物的原价一定是1800或2025元． 故答案为：1800或2025． 【点睛】本题考查打折销售问题，掌握原售价×折数=折后售价，关键在于分类讨论． 15. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形，拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.小颖将一粒米随机地撒在如图所示的正方形（“赵爽弦图”）地板上（落在大正方形外的除外）.若直角三角形的两直角边长之积为，大正方形的面积为，那么米粒最终停留在小正方形区域内的概率是____. 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知两直角边长之积为，大正方形的面积为，可以得出小正方形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可得，小正方形的面积为， 米粒最终落在小正方形区域内的概率为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 16. 如图，已知线段AB=20，C，D是AB上的两点，且AC=DB=4，P是线段CD上一动点，分别以AP、BP为对角线作正方形AEPF和正方形BGPH，Q为线段FH的中点，点P由点C移动到点D时，Q点移动的路径长度为_______ 【答案】6 【解析】 【分析】分别延长AE、BF交于点M，易证四边形MFPH为平行四边形，得出Q为PM中点，则Q的运行轨迹为△MCD的中位线，运用中位线的性质求出IJ的长度即可． 【详解】解：如图，分别延长AF、BH交于点M， ∵以AP、BP为对角线作正方形AEPF和正方形BGPH， ∴∠FPA＝∠FAP＝45°，∠MBP＝∠HPB＝45°， ∴∠FPA＝∠MBP，∠HPB＝∠FAP， ∴AM∥PH，BM∥FP， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴四边形PFMH为平行四边形， ∴FH与MP互相平分． ∵Q为FH的中点， ∴Q正好为PM的中点， 即在P的运动过程中，Q始终为PM的中点， ∴Q的运行轨迹为△MCD的中位线IJ， ∵IJ＝CD＝×（20﹣4﹣4）＝6， ∴Q点移动的路径长度为6． 故答案为：6 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点Q点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数，算术平方根，负整数指数幂计算即可． （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数，算术平方根，负整数指数幂，分式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则和三角函数值，准确计算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 18. 随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 家庭年旅游消费金额x(元) 户数 A x≤4000 27 B 4000<x≤8000 a C 8000<x≤12000 24 D 12000<x≤16000 14 E x>16000 6 （1）本次被调查的家庭有户，表中a=； （2）本次调查数据中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度； （3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？ 【答案】（1）90，19；（2）B，24；（3）1320户 【解析】 【分析】(1)根据图表数据与百分率对应求得总人数，从而求得a值； （2）结合图表及数据可求得中位数和E所在的圆心角度数； （3）根据样本估计总体. 【详解】(1)∵A组共有27户，对应的百分率为30% ∴总户数为：（户） ∴（户） ； (2) ∵共有90户，中位数为第45,46两个数据的平均数，27+19=46， ∴ 中位数位于B组； E对应的圆心角度数为： (3) 旅游消费8000元以上的家庭为C、D、E组， 大约有：2700×=1320(户)． 【点睛】本题考查统计的相关知识，解题关键在于梳理统计图当中的条件信息. 19. 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于AB两侧的村庄. （1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，在图中的公路AB上分别画出点P，Q位置. （2）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在请在图中AB上画出这一点，如果不存在请说明理由. 【答案】（1）见详解，（2）存在，见详解. 【解析】 【分析】(1)过点M向AB作垂线,垂足P就是所求P点,过点N向AB作垂线,垂足Q就是所求Q点; (2)与MN的距离相等,即是在这个线段的垂直平分线上,所以做它的垂直平分线与AB的交点就是点H. 【详解】（1）过点M作AB的垂线，垂足为点P，点P即为所求；过点N作AB的垂线，垂足为点Q，点Q即为所求，如图所示： （2）存在，如图，连接MN，作MN的垂直平分线交AB于点H，则点H与村庄M、N的距离相等. 【点睛】本题主要考查了轴对称图形及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的知识. 20. 新能源汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势．某油电混合动力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能为锂电池进行充电．该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时，满电满油可以行驶最大里程是720千米．如图为该汽车仪表盘显示电量 （单位：％），仪表盘显示油量 （单位：％）与某次行驶里程x（单位：千米）之间的函数图象． （1）______，______． （2）求关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）120，270 （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式； （1）根据汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米可得，再根据满电满油可以行驶最大里程是720千米，故满油可以行驶最大里程数，即可得油可以行驶最大里程，即可求解； （2）用待定系数法求出解析式即可解答； 【小问1详解】 根据汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米可得：， 满电满油可以行驶最大里程是720千米，故满油可以行驶最大里程是千米， 故油可以行驶最大里程是千米， 故千米， 故答案为：120，270． 【小问2详解】 当时，设， 将和代入得， 解得， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围， （2）当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 22. 【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，． （1）求证：． （2）当t为何值时，与相切？ （3）当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1）见解析 （2）当时，与相切 （3）当或 时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形，，得，而，可得，即得，故即可得； （2）连接，当与相切时，，结合，得到 ，继而得到，结合，得到，结合，列式计算即可． （3）连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，则，证明，得四边形为菱形，可求出，，求出；分三种情况列方程可解得答案． 【小问1详解】 证明：由四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，当与相切时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【小问3详解】 ）解：连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，如图： 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴于点H， ∴； ∴，， ∴， ∴， 在菱形中， AC＝2AM＝2ABcos∠MAB＝2×6， ∴； 又， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得（舍去）或（舍去）； ③若，则t， 解得； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的应用，等腰三角形的分离计算，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，切线性质，分类思想是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）12； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 24. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】（1）30 （2）①，；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【小问1详解】 解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； 【小问2详解】 ①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$