精品解析：海南省2023-2024学年高三下学期高考数学全真模拟卷(七)

2023－2024学年海南省高考全真模拟卷（七） 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，为底面圆的一条直径，且，则直角圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、选择题（本题其3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 的单调递增区间为 D. 在上恰有3个零点 10. 已知数列满足：①；②，，，，则称数列为“类平方数列”，若数列满足：①数列不是“类平方数列”；②将数列中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列为“变换类平方数列”，则（ ） A. 已知数列，则数列为“类平方数列” B. 已知数列为：3，5，6，11，则数列为“变换类平方数列” C. 已知数列的前顶和为，则数列为“类平方数列” D. 已知，.则数列为“变换类平方数列” 11. 某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（ ） A. 若，，则甲最终获胜的概率为 B. 若，，记决赛进行了局，则 C. 若，，记决赛进行了局，则 D. 若比时对甲更有利，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分、共15分） 12. 已知复数满足，则______ 13. 已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，若的面积为，则______. 14. 已知中，，则______，的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 16. 某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表： 认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比 男性顾客 40 20 女性顾客 30 40 （1）依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关； （2）店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下（已知）： （天） （用餐人数） 32 52 73 95 经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明. 附：（i）在经验回归方程中，. （ii）相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好. （iii），其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知首项为1的数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在平面内的射影恰为点，直线，交于点. （1）求证：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线：的虚轴长为2，过的右焦点且不与轴垂直的直线与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为时，. （1）求的标准方程； （2）过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若直线，的交点恒在轴上，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年海南省高考全真模拟卷（七） 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示，及数量积的坐标表示列式计算即得. 【详解】由向量，，得，， 由，得， 所以. 故选：A 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 3. 《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，为底面圆的一条直径，且，则直角圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直角圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，直角圆锥的母线长，而圆锥底面圆半径为1， 所以直角圆锥的侧面积为. 故选：C 4. 已知函数，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象关于轴对称求出，再由必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】若函数的图象关于轴对称， 则， 可得，所以，可得， 当时，， 因为定义域为，， 所以是偶函数，图象关于轴对称， 当时，， 定义域为，定义域关于原点对称， ， 是偶函数，图象关于轴对称， 综上所述，若函数的图象关于轴对称，则； 又当时，，是偶函数，图象关于轴对称， 则“函数的图象关于轴对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得，进而求出离心率. 【详解】由以为直径的圆过椭圆的右焦点，得，即， 而，则，又， 由，得， 则，即，因此， 整理得，解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C 6. 将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法， 与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法， 所以不同填法种数是. 故选：B 7. 已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式先得长，根据正三角形与圆的对称性判定三点共线，再根据两圆的位置关系判定即可. 【详解】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 8. 若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设公切线与函数,的图象分别切于点，求出，，可得公切线方程为和，则有，可得，令，利用导数可得，则，即可解得实数的值. 【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得, 代入， 则， 整理得， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，， 则当时， 函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：因为函数与的图象有且只有一条公切线，设切点分别为，分别得出与的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到关于和的关系后，利用导数得到关于的函数的最大值，即可得到的值. 二、选择题（本题其3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 的单调递增区间为 D. 在上恰有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，由题设可得，故其最小正周期为， 故A正确. 对于B，，故不是的一个对称中心， 故B错误. 对于C，令，解得， 故的单调递增区间为， 故C正确. 对于D， 由可得， 而时，，故即或， 故D错误. 故选：AC 10. 已知数列满足：①；②，，，，则称数列为“类平方数列”，若数列满足：①数列不是“类平方数列”；②将数列中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列为“变换类平方数列”，则（ ） A. 已知数列，则数列为“类平方数列” B. 已知数列为：3，5，6，11，则数列为“变换类平方数列” C. 已知数列的前顶和为，则数列为“类平方数列” D. 已知，.则数列为“变换类平方数列” 【答案】CD 【解析】 【分析】利用“类平方数列”的定义判断AC；利用“变换类平方数列”的定义判断BD. 【详解】对于A，，，当时，不是正整数的平方，数列不为“类平方数列”，A错误； 对于B，，当时，， 即无论为数列的第几项，都不可能为正整数的平方，数列不为“变换类平方数列”，B错误； 对于C，当时，， 而满足上式，则，当时，， 数列为“类平方数列”，C正确； 对于D，数列的4项依次为，将此数列调整为时， 有，因此数列为“变换类平方数列”，D正确. 故选：CD 11. 某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（ ） A. 若，，则甲最终获胜的概率为 B. 若，，记决赛进行了局，则 C. 若，，记决赛进行了局，则 D. 若比时对甲更有利，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最终获胜的概率即可判断；对于B，由条件求的分布列，再求其期望及方差即可判断，对于C，由条件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判断，对于D，分别求，时甲获胜的概率，列不等式确定的范围即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以甲获胜的概率为，A正确. 对于B，因为，， 由已知的取值有， ，， 所以， 所以，B正确. 对于C，因为，， 又的可能取值有， 所以， ， ， 所以，C错误； 对于D，当时，甲获胜的概率为， 当时，甲获胜的概率为， 若比时对甲更有利，则， 所以， 所以，又， 所以，D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：求随机变量的分布列的关键在于确定其可能的取值，准确理解取各值所对应的事件，结合概率的求法确定取各值的概率. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分、共15分） 12. 已知复数满足，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再结合共轭复数及复数模的意义求解即得. 【详解】由，得，， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，若的面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可知，直线的方程为，将其与抛物线的方程联立，写出韦达定理，根据三角形的面积列方程，即可解出. 【详解】由已知，直线的方程为，设，， 联立，可得， 且，， 于是， ，所以. 故答案为：. 14. 已知中，，则______，的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用诱导公式、同角公式及二倍角的正弦求出，再由诱导公式及辅助角公式计算得解. 【详解】在中，由，得， 即，则，而， 于是，解得，所以； ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 【答案】（1）； （2）极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得. （2）把代入，利用导数求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 依题意，，所以. 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 16. 某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表： 认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比 男性顾客 40 20 女性顾客 30 40 （1）依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关； （2）店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下（已知）： （天） （用餐人数） 32 52 73 95 经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明. 附：（i）在经验回归方程中，. （ii）相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好. （iii），其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）无关 （2）拟合效果非常好 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算，比较其与临界值大小，给出结论. （2）由条件，结合公式求相关系数即可判断. 【小问1详解】 零假设为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别独立， 由已知， 又， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此，可以认为成立，即认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别无关. 【小问2详解】 因为经验回归方程为， 所以，， 又， 所以， ， 所以， 所以该经验回归方程的拟合效果非常好. 17. 已知首项为1的数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在平面内的射影恰为点，直线，交于点. （1）求证：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为点在平面内的射影恰为点， 所以平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面，平面， 所以， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据面面垂直性质定理证明平面，再证明，，结合线面垂直的判定定理和定义证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，所以， 又由已知可得平面，平面， 所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又向量为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 19. 已知双曲线：的虚轴长为2，过的右焦点且不与轴垂直的直线与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为时，. （1）求的标准方程； （2）过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若直线，的交点恒在轴上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合虚轴长的定义求，利用设而不求法求弦长，列方程求； （2）设，联立方程组，利用设而不求法可求，由条件结合三角形相似的性质列方程求. 【小问1详解】 因为双曲线的虚轴长为， 所以，故， 设双曲线的半焦距为， 则， 因为直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点， 故直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，化简可得， 方程的判别式， 设， 则，且， 所以， 所以当直线的倾斜角为时，即时，， 由已知，解得或，又， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，化简可得， 方程的判别式， 设， 则，且， 设，， 由已知，设， 则， 所以，所以， 所以， 所以， 故， 所以. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把它们的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $