2.2 基本不等式 课时训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式——高一数学人教A版（2019）必修第一册课时优化训练 一、选择题 1.已知正实数x，y满足，则的最小值为( ) A.24 B.25 C.26 D.27 2.已知正实数a，b，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( ) A. B.或 C. D.或 4.已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为( ) A. B. C.5 D.2 5.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量( ) A.大于 B.等于 C.小于 D.无法确定 6.已知，，，则的最小值为( ) A. B.0 C.1 D. 7.（多选）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( ) A.的最小值为2 B.的最小值为1 C.的最大值为4 D.的最小值为2 8.（多选）已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9.（多选）以下结论正确的是( ) A.不等式恒成立 B.存在a，使得不等式成立 C.若，则 D.若正实数x，y满足，则 二、填空题 10.设，且满足：对实数x，当时，均有，则的最小值为________. 11.已知a、，且，则的取值范围是___________. 12.若正数m，n满足，则mn的最大值为__________． 三、解答题 13.已知，，且. （1）求ab的最小值； （2）求的最小值. 14.已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 15.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？ （2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种： ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元.如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？ 答案以及解析 1.答案：B 解析：因为正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为25.故选：B. 2.答案：B 解析：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误；若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件.故选：B 3.答案：D 解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或. 4.答案：A 解析：由得，即，令，则在R上单调递增，且，所以，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，故选A. 5.答案：A 解析：设天平左臂长为，右臂长为，且， ，，，， 故选：A. 6.答案：A 解析：，，， ，， ， 当且仅当，即，时等号成立，故选：A 7.答案：AD 解析：对于A，因为，，，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确.故选：AD. 8.答案：ABD 解析：A选项，由可知，即，故， 因为，所以，所以，故，A选项正确； B选项，由A选项可知，，又，故，当且仅当，时或，时取“=”，B选项正确； C选项，由A选项可知，，又，故， 令，有，令，解得，令，解得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，故，故，C选项错误； D选项，等价于，即，因为，又，，故，当且仅当，即，时，等号成立，故D选项正确. 故选：ABD. 9.答案：BC 解析：对于A，不等式恒成立的条件是，，故A错误； 对于B，当时，不等式成立，故B正确； 对于C，若，则，当且仅当时取等号； 对于D，若正实数x，y满足，则， 当且仅当，即，时取等号；故D错误.故选：BC 10.答案：1 解析：对实数x，当时，均有，设，由，则函数在上单调递增，所以，即，即，所以，所以，当且仅当时，取得等号. 所以，时，有最小值1.故答案为：1 11.答案： 解析：、，，，， ， 所以，即， ，解得.当且仅当时，；当且仅当时，. 因此，的取值范围是.故答案为：. 12.答案：10 解析：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故mn的最大值为10．故答案为：10. 13.答案：（1）4 （2） 解析：（1）因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为； （2）， 当且仅当即即，时，等号成立，所以的最小值为. 14.答案：（1）， （2）， 解析：（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 15.答案：（1）日加工处理80吨时平均成本最低，处于亏损状态； （2）选择方案二，日获利较多. 解析：（1）由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低， 又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态； （2）若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元， 由题意可得， 因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元， 若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元， 由题意可得， 因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元， 显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大. 学科网（北京）股份有限公司 $$