专题2.8 用因式分解法求解一元二次方程（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.6 用公式法求解一元二次方程（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2024九年级上·全国·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A． B．13 C．11或8 D．11和13 4．（2024九年级上·全国·专题练习）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的解是（　　） A． B． C．和4 D．和4 7．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 8．（2024·河南·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 10．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果，则的值是 ． 15．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）若，那么 ． 16．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 17．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）关于x的分式方程的解是 ． 18．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 20．（8分）（2024·广西河池·一模）解方程：． 21．（10分）（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 22．（10分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有实数根； （2）设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 23．（10分）（22-23八年级上·山西太原·期末）阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 24．（12分）（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：． 2．A 【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去． 因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去． 解：当时，即，原方程化为：， ∵， ∴，（舍去）， ∴， 当，即时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴． 则． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 因为三角形两边的长分别为3和6， 所以第三边的长必须大于3， 故周长． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由题意得出，求出的值，从而得出方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个根是， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点， 掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．根据解一元二次方程、一元二次方程跟的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A．由的，故A选项没有实数根，符合题意； B．由的解为，故B选项有实数根，不符合题意； C．由方程的解为，故C选项有实数根，不符合题意； D．由的解为，故D选项有实数根，不符合题意． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 10．A 【分析】利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值． 【详解】解：令，则可得， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键． 11．，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及一元二次方程的求解，掌握同类二次根式的定义以及一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出等式，移项化简，再根据十字相乘法解得的两个值，再将的两个值代入与检验是否是最简二次根式与同类二次根式即可． 【详解】由题意得： 或 解得：，． 当时， ， ． 当时，与不是最简二次根式， （不合题意，舍去） 当时， ， ， 当时，与是最简二次根式， ． 13．0或6/6或0 【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵方程无解， ∴， ∴或， 当时，，当时，； 故答案为：0或6． 14．或 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题的关键． 设，原方程化为，用求根公式解得，换回，检验，即得． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， 经检验适合原方程， ∴，， 故答案为：或． 15．或1 【分析】本题考查解一元二次方程，令，求出的值后再检验． 【详解】解：， ， 令 ， 或， 或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解， 故答案为：或1． 16．3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程可得的值，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因式分解，得， 解得或， 经检验，不是原分式方程的解，是原分式方程的解， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 19．(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 20． 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 21．(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 22．(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（）利用根的判别式求出即可； （）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为，，； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 综上所述，的值为或． 23．4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 24．(1)；；； (2)， 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； （1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； （2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可； 【详解】（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． （2）设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验：，是原方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$