2024-2025学年人教版八年级数学上点拨训练第02讲 三角形的高、中线与角平分线

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第02讲 三角形的高、中线与角平分线（解析版） 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法. 4.掌握三角形中线的性质。 老师告诉你 面积法是一种重要的常用的数学解题思想方法，它利用同一图形面积相等、等地等高面积相等、三角形的中线分三角形为面积相等的两部分、分割后的图形面积之和等于原图形面积等性质解决有关数学问题。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 三角形高线中的一些注意点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【新知导学】 例1-1．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【对应导练】 1．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ） A. 线段CD是ABC的AC边上的高线 B. 线段CD是ABC的AB边上的高线 C. 线段AD是ABC的BC边上的高线 D. 线段AD是ABC的AC边上的高线 【答案】B 【解析】根据高线的定义注意判断即可． ∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴A错误，不符合题意； ∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴B正确，符合题意； ∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴C错误，不符合题意； ∵线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】根据三角形的高的概念解答即可． 解：图中以AD为高的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC共6个， 故选：D． 知识点2.三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图一 图二 图三 三角形中线中的一些注意点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【新知导学】 例2-1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　） A. 线段DE B. 线段BE C. 线段EF D. 线段FG 【答案】B 【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线， 故选：B． 【对应导练】 1．如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（　　）处，这块薄板就能保持平衡． A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高线所在直线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可得出答案． 解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡． 故选：B． 2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10． 解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴2＜BC＜22-BC， 解得2＜BC＜11， 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴AC=为整数， ∴BC边长为偶数， ∴BC=4，6，8，10， 即BC的长可能值有4个， 故选：A． 3．如图，AD是△ABC的中线，AB=4，AC=3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 _____． 【答案】9 【解析】由AD是△ABC的中线，得BD=CD，又△ACD的周长为8，AC=3，可得BD+AD=5，而AB=4，即得AB+BD+AD=9． 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵△ACD的周长为8， ∴AC+CD+AD=8， ∵AC=3， ∴BD+AD=5， ∵AB=4， ∴AB+BD+AD=9． 故答案为：9． 4．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）直接写出△ABE的面积为 _____． 【答案】4 【解析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可； （2）根据三角形中线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可． 解：（1）如图所示，线段AD即为所求； （2）如图所示，线段BE即为所求； （3）S△ABC=BC•AD=4×4=8． ∴△ABE的面积=S△ABC=4， 故答案为：4． 知识点3.三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 三角形角平分线中的一些注意点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【新知导学】 例3-1．如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得． 解：是中线， ，，故A、D说法正确； 是角平分线， ， ，故C说法错误； 是的高， ， ，故B说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键． 【对应导练】 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积=△BCE的面积； ②∠AFG=∠AGF； ③∠FAG=2∠ACF； ④AF=FB． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④． 解：∵BE是△ABC的中线， ∴AE=CE， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确； ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵CF为△ABC的角平分线， ∴∠ACF=∠BCF=∠ACB， ∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD， ∴∠AFC=∠AGF=∠AFG， 故②正确； ∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF，故③正确； 根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误， 故选：C． 2．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． 【答案】 ①. ②. 【解析】根据三角形内角和定理求得，根据三角形外角的性质得出，根据三角形高，以及三角形内角和定理即可得． 解：由题意可知，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵, ∴, 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形角平分线，高的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高相关计算，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． 【解析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC=∠ACD-∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数． 解：∵∠B=26°，∠ACD=56° ∴∠BAC=30° ∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=15° ∴∠AED=∠B+∠BAE=41°． 2、 题型训练 1.三角形的中线在求线段长度中的应用 1.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．8或10 【答案】C 【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用． 解：设AB＝BC＝2x，AC＝y， ∵AD为BC边上的中线， ∴则BD＝CD＝x， ∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分， ∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时， 则2x＋x＝15，且y＋x＝12， 由2x＋x＝15解得：x＝5， ∴y＋5＝12， 解得：y＝7， ∴三边长分别为10，10，7（符合题意）， ∴AC＝7； 当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时， 则2x＋x＝12，且y＋x＝15， 由2x＋x＝12解得：x＝4， ∴y＋4＝15， 解得：y＝11， ∴三边长分别为8，8，11（符合题意）， ∴AC＝11， 综上所述：AC的长为7或11， 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 2.三角形的高、中线在计算中的应用 2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为中线，求△ABD与△ACD的周长之差（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差． 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差为： （AB+BD+AD）-（AC+CD+AD） =AB+BD+AD-AC-CD-AD =AB-AC =5-3 =2． 故选：B． 3．如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 26 D. 29 【答案】D 【解析】根据三角形中线的定义可得AD=CD，由△ABD的周长为35，AB=15，求出AD+BD=20，进而得出△BCD的周长． 解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD=CD， ∵△ABD的周长为35，AB=15， ∴AD+BD=35-AB=35-15=20， ∴CD+BD=AD+BD=20， ∵BC=9， ∴△BCD的周长=BC+CD+BD=9+20=29． 故选：D． 4．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． 【答案】 ①. ②. 【解析】根据三角形内角和定理求得，根据三角形外角的性质得出，根据三角形高，以及三角形内角和定理即可得． 解：由题意可知，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵, ∴, 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形角平分线，高的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高相关计算，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线． （1）若AB比AC长4cm,则△ABM的周长比△ACM的周长多_____cm. （2）若△AMC的面积为12cm2，则△ABC的面积为_____cm2． （3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程） 【答案】(1)4;(2)24; 【解析】（1）△ABM的周长与△ACM的周长的差，实际为AB与AC的差； （2）因为BC=2CM，所以△ABC的面积是△AMC的面积的2倍； （3）由∠AMB=130°，易得∠AMD=50°，又AD既是高，又是角平分线，易得△ADM≌△ADC，即可证得∠AMC=∠ACB=50°． （1）解：∵△ABM的周长=AB+BM+AM，△ACM的周长=AC+CM+AM，BM=CM， ∴△ABM的周长-△ACM的周长=AB-AC=4cm. 故答案为：4； （2）解∵S△ABC=BC•AD，S△AMC=CM•AD，BC=2CM， ∴S△ABC=2S△AMC=2×12=24cm2． 故答案为：24； （3）证明：∵AD是高线， ∴∠ADM=∠ADC， ∵AD又是△AMC的角平分线， ∴∠MAD=∠CAD， 在△ADM和△ADC中 ∴△ADM≌△ADC （SAS）， ∴∠AMD=∠ACD， ∵∠AMB=130°， ∴∠AMD=50°， ∴∠ACB=50°． 3.三角形角平分线的应用 6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，求∠C的度数． 【解析】根据三角形的内角和得出∠BAD=20°，再利用角平分线得出∠BAC=76°，利用三角形内角和解答即可． 解：∵AD是高，∠B=70°， ∴∠BAD=20°， ∴∠BAE=20°+18°=38°， ∵AE是角平分线， ∴∠BAC=76°， ∴∠C=180°-70°-76°=34°． 7．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． 【解析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC=∠ACD-∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数． 解：∵∠B=26°，∠ACD=56° ∴∠BAC=30° ∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=15° ∴∠AED=∠B+∠BAE=41°． 三、牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知． 解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D． 故选：D． 2．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部； 三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上． 解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误． 所以正确的有1个． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①． 解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确； ②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确； ③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个． 故选：D． 4．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10． 解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴2＜BC＜22-BC， 解得2＜BC＜11， 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴AC=为整数， ∴BC边长为偶数， ∴BC=4，6，8，10， 即BC的长可能值有4个， 故选：A． 5．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　） A. 线段DE B. 线段BE C. 线段EF D. 线段FG 【答案】B 【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线， 故选：B． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，则∠DAE的度数是（　　） A. 70° B. 35° C. 18° D. 17° 【答案】D 【解析】由∠B+∠C+∠BAC=180，得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°．由AD平分∠BAC，得∠BAD==35°，故∠ADE=∠B+∠BAD=73°．由AE是△ABC的高，得∠AEC=90°．由∠AEC=∠ADE+∠DAE，得∠DAE=∠AEC-∠ADE=17°． 解：∵∠B+∠C+∠BAC=180， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-72°=70°． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD==35°． ∴∠ADE=∠B+∠BAD=38°+35°=73°． ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°． 又∵∠AEC=∠ADE+∠DAE， ∴∠DAE=∠AEC-∠ADE=90°-73°=17°． 故选：D． 7．如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得． 解：是中线， ，，故A、D说法正确； 是角平分线， ， ，故C说法错误； 是的高， ， ，故B说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键． 8 .如图，在中，，，分别是，，的中点，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查三角形的中线，以及三角形的面积，根据三角形中线的概念和三角形面积公式得出各个三角形之间的关系是解题关键根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分分析即可． 【解答】 解：是的中点，， ， 是的中点， ，， ， 是的中点， ． 故选B．   二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，AD为△ABC的中线，AB=13cm,AC=10cm.若△ACD的周长28cm,则△ABD的周长为_____． 【答案】31cm 【解析】根据三角形的中线的概念得到BD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=DC， ∵△ACD的周长28cm, ∴AC+AD+CD=28（cm）， ∵AC=10cm, ∴AD+CD=18（cm），即AD+BD=18（cm）， ∵AB=13cm, ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=31（cm）， 故答案为：31cm. 10．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，AB=3，AD=1.8，BD=2.4，DC=3.2，BC=4，则点A到BD的距离是_____． 【答案】1.8 【解析】根据点到直线的距离的概念解答即可． 解：∵BD⊥AC，AD=1.8， ∴点A到BD的距离为1.8， 故答案为：1.8． 11．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． 【答案】 ①. ②. 【解析】根据三角形内角和定理求得，根据三角形外角的性质得出，根据三角形高，以及三角形内角和定理即可得． 解：由题意可知，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵, ∴, 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形角平分线，高的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高相关计算，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 12.如图，为的中线，为的中线，若的面积为20，，则中边上的高为___________． 【答案】4 【分析】根据中线的性质可得，则，设中边上的高为h，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴， 设中边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分． 13 .如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．6.5 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则 ，则，然后利用 即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ； 故选：D． 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（9分）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 15 .（9分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 16 .（6分）如图，，分别是的高，，，，求的长．    【答案】． 【分析】根据三角形的面积公式即可求得． 解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高． 17 .（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60° ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°， ∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°， ∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°， ∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°． 故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°． 18 .（8分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小． （2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由． 解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80° ∵AE是角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝40° ∵AD是高，∠C＝70° ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20° ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣20°＝20°； （2）由（1）知，∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）① 把∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得 ∠EAD＝∠C﹣∠B， ∴2∠EAD＝∠C﹣∠B． 19.（8分）如图，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，点E在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长； （2）图中共有 　_______________条线段； （3）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值． 解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵△BDE与四边形ACDE的周长相等， ∴BE+BD+DE＝AE+AC+CD+DE， ∴BE＝AE+AC， ∵AB＝10m，AC＝6cm， ∴BE＝8cm， ∴AE＝AB﹣BE＝2cm； （2）图中线段有：BE、BA、EA、BD、BC、DC、DE、AC共8条， 故答案为：8； （3）∵图中所有线段长度的和是53cm， ∴BE+BA+EA+BD+BC+DC+DE+AC＝2BA+2BC+DE+AC＝53cm， ∴2BC+DE＝27cm， ∴BC+DE＝cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第02讲 三角形的高、中线与角平分线 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法. 4.掌握三角形中线的性质。 老师告诉你 面积法是一种重要的常用的数学解题思想方法，它利用同一图形面积相等、等地等高面积相等、三角形的中线分三角形为面积相等的两部分、分割后的图形面积之和等于原图形面积等性质解决有关数学问题。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 三角形高线中的一些注意点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【新知导学】 例1-1．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 【对应导练】 1．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ） A. 线段CD是ABC的AC边上的高线 B. 线段CD是ABC的AB边上的高线 C. 线段AD是ABC的BC边上的高线 D. 线段AD是ABC的AC边上的高线 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 知识点2.三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图一 图二 图三 三角形中线中的一些注意点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【新知导学】 例2-1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　） A. 线段DE B. 线段BE C. 线段EF D. 线段FG 【对应导练】 1．如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（　　）处，这块薄板就能保持平衡． A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高线所在直线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3．如图，AD是△ABC的中线，AB=4，AC=3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 _____． 4．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）直接写出△ABE的面积为 _____． 知识点3.三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 三角形角平分线中的一些注意点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【新知导学】 例3-1．如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【对应导练】 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积=△BCE的面积； ②∠AFG=∠AGF； ③∠FAG=2∠ACF； ④AF=FB． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ③④ 2．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． 3．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． 2、 题型训练 1.三角形的中线在求线段长度中的应用 1.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．8或10 2.三角形的高、中线在计算中的应用 2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为中线，求△ABD与△ACD的周长之差（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 26 D. 29 4．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． 5．如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线． （1）若AB比AC长4cm,则△ABM的周长比△ACM的周长多_____cm. （2）若△AMC的面积为12cm2，则△ABC的面积为_____cm2． （3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程） 3.三角形角平分线的应用 6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，求∠C的度数． 7．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． 三、牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　） A. 线段DE B. 线段BE C. 线段EF D. 线段FG 6．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，则∠DAE的度数是（　　） A. 70° B. 35° C. 18° D. 17° 7．如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 8 .如图，在中，，，分别是，，的中点，，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，AD为△ABC的中线，AB=13cm,AC=10cm.若△ACD的周长28cm,则△ABD的周长为_____． 10．如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，AB=3，AD=1.8，BD=2.4，DC=3.2，BC=4，则点A到BD的距离是_____． 11．如图，、分别是的角平分线和高，，，则________度，_____度． , 12.如图，为的中线，为的中线，若的面积为20，，则中边上的高为___________． 13 .如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．6.5 B．6 C．5 D．4 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（9分）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 15 .（9分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 16 .（6分）如图，，分别是的高，，，，求的长．    17 .（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 18 .（8分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小． （2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由． 19.（8分）如图，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，点E在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等． （1）求线段AE的长； （2）图中共有 　_______________条线段； （3）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$