精品解析：2024年江苏省扬州市中考数学模拟押题预测试题

2024年初中毕业生学业水平考试 数学模拟试卷 注意事项: 1.本试卷总分120分,考试时间120分钟． 2.答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上. 3.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答 非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效． 4.考试结束,监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ(选择题 24分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体的表面展开图，每个小正方形上都写有一个字．将它折叠成正方体后，使字在外表面，如果“认”在左面，“真”在前面，那么在上面的是（ ） A. 点 B. 你 C. 能 D. 行 4. 八年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是分，方差分别是，，，，这四名学生成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知正六边形的半径为6，则这个正六边形的面积为（ ） A. 54 B. C. 36 D. 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） A. 图象顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 当时，二次函数的图象与有2个交点 D. 当时， 卷Ⅱ(非选择题 126分) 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为______ 10. 因式分解：________． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 若方程组的解是二元一次方程的一个解，则_______． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为_______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是______． 15. 如图，在中，，，，是的角平分线，是斜边的中点，过点作于，交于点，连接，则线段____________． 16. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为________ m． 17. 如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 18. 如图，在正方形中， ， 点是线段上一点， 沿直线折叠，使点落至处，分别交线段于点． 则线段的最大值为______ 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中． 20. 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 21. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 22. 在一个不透明盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，，卡片除了实数不同外，其余均相同 （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． 23. 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 24. 商贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？ 25. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26 如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． （1）求抛物线与直线的表达式； （2）点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 27. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 28. 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中毕业生学业水平考试 数学模拟试卷 注意事项: 1.本试卷总分120分,考试时间120分钟． 2.答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上. 3.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答 非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效． 4.考试结束,监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ(选择题 24分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方．运用合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则进行计算，即可选出正确答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：B． 3. 如图是一个正方体的表面展开图，每个小正方形上都写有一个字．将它折叠成正方体后，使字在外表面，如果“认”在左面，“真”在前面，那么在上面的是（ ） A. 点 B. 你 C. 能 D. 行 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“认”字对面的字是“你”， “真”字对面字是“能”， “点”字对面的字是“行”， ∵“认”在左面，“真”在前面，在上面的是“行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 4. 八年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩平均分都是分，方差分别是，，，，这四名学生成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，根据方差越小，越稳定即可得到答案. 【详解】解：∵在平均数相同的情况下，方差越小，越稳定. ∴这四名学生成绩最稳定的是甲 故选：A 5. 如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键． 【详解】解：如图， 直尺的两边互相平行， ， ， 故选：． 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限， 故选：C． 7. 已知正六边形的半径为6，则这个正六边形的面积为（ ） A. 54 B. C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先证明是等边三角形，再求出，进而得出答案． 【详解】连接正六边形的中心O和两个顶点D，E，得到． ∵，， ∴是等边三角形， ∴. 作，交于点H． 在中，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 故选：B． 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） A. 图象的顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 当时，二次函数的图象与有2个交点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，设二次函数为，结合表格数据可得，，从而可得二次函数为，再结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，设二次函数为，结合表格数据可得， ， ． 二次函数为． 顶点为在第四象限，故A错误，故本选项不符合题意； 又当时，取最小值为， ∴B错误，故本选项不符合题意； 又令， ，其时，方程有两个不等的实数根， 即时，方程有两个不等的实数根． 当时，二次函数的图象与有2个交点，故C正确，故本选项符合题意； 令， 或． 又抛物线开口向上， 当时，或，故D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 卷Ⅱ(非选择题 126分) 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．首先用一根头发丝的直径乘，求出这个孔的直径，再根据，把金属片上这个孔的直径化成以为单位的量，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：． ， 故答案为：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若方程组的解是二元一次方程的一个解，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解，能求出是解此题的关键． 得出，根据方程组的解是二元一次方程的一个解得出，再求出即可． 【详解】解： ，得， ∵方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．根据垂直平分线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由平行四边形的性质可得：，， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， 的周长． 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由是的直径可得，进而得，再由圆内接四边形的性质即可求出的度数，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，是的角平分线，是斜边的中点，过点作于，交于点，连接，则线段____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，证明得到，，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，是斜边的中点， ∵是斜边的中点， ∴． 故答案为：． 16. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为________ m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，令，得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：9． 17. 如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再得出轴， 可得点，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ，四边形的面积为8， ， 解得：． 故答案为：． 18. 如图，在正方形中， ， 点是线段上一点， 沿直线折叠，使点落至处，分别交线段于点． 则线段的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形的三边性质，连接，易得，即可得到，再证明，可得，进而得到，作的外接圆，连接，过作于，易得，进而得出的最小值为，由于长为定值，故的最大值为，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 而，故最大， 由题可得， 如图所示，作的外接圆，连接，过作于， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 即最小值为， 又∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先利用负整数指数次幂，零指数次幂，三角函数计算，然后合并解题即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 20. 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，整数解的和为14 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； ∴整数解的和为：． 21. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 【答案】（1）7.5，7，7.5 （2）八年级，理由见解析 （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可得出m、n、p的值； （2）从中位数、众数的角度回答即可； （3）求出七、八年级的总体合格率，利用总体乘以合格率计算即可即可． 【小问1详解】 解：由条形图得：（分）， 七年级20名学生的测试成绩排序为： 5、5、6、6、6、7、7、7、7、7、7、8、8、8、9、9、9、9、10、10， 七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即n=7； 八年级学生成绩是20名学生测试成绩中位数位于，11两个位置数据的平均数， 从小到大排列后处在中间位置的两个数的测试成绩为7分，8分 平均数为（分）， 因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即p=7.5； 故答案为：7.5，7，7.5； 【小问2详解】 解：根据表格七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 7 八年级 7.5 8 7.5 ∵七年八年学生测试成绩平均数相同，八年级学生测试成绩中位数与众数都比七年级学生测试成绩高 ∴八年级学生掌握垃圾分类知识较好； 【小问3详解】 解：∵6分及6分以上为合格 七年级与八年级学生测试成绩合格人数分别为：18人, 占七八年各随机抽取20名学生的测试成绩的百分比为： 该校七、八年级共400名学生参加此次测试活动成绩合格的学生有（人）， 答：我校七、八年级400名学生中测试成绩合格的大约有360人． 【点睛】本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是正确解答的前提． 22. 在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，，卡片除了实数不同外，其余均相同 （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，画出相应的树状图． （1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为4，，，直接利用概率公式求解即可求得答案． （2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表即可求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：抽出一张卡片是无理数的概率是， 理由：三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有张， 抽出一张卡片是无理数的概率是； 【小问2详解】 解：列表得 被减数 减数 差 一共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有种可能的结果， 差为有理数． 23. 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等准备条件，利用平行线的性质准备条件，根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再添加矩形的特殊条件即可． 【小问1详解】 ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 【小问2详解】 填加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 24. 商贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？ 【答案】今年月份每辆车的销售价格是万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设今年月份每辆车的销售价格是万元，则去年每辆车的销售价格为万元，利用数量总价单价，结合今年月份销售数量与去年一整年的相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格是万元，则去年每辆车的销售价格为万元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：今年月份每辆车的销售价格是万元． 25. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形为平行四边形并根据其性质即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴． ∵，，， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 26. 如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． （1）求抛物线与直线的表达式； （2）点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 27. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求求出，长，确定点坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）求出的长，确定的长，根据三角形面积公式求得； （3）求出的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据求得． 【小问1详解】 在中， ， 可设，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， 即：， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 设的解析式是：， ， ， ， 平移后的函数解析式是：， 由得， ， ，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题． 28. 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合，得出，即可作答； （2）连结交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答； （3）连结交于点，延长交的延长线于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，最后由，得，列式代入数值，计算即可作答； 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 可得， 即； （2）如图2，连结交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 则 则 ∴ （3）．过程如下： 如图3，连结交于点，延长交的延长线于点． ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 则． ， ． ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ 得， ， ∵ ∴ ∴ ， 即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，综合性强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$