精品解析：2024年辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题2

辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题2 一．选择题 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入元记作元，则元表示（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 收入元 D. 支出元 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（　 ） A. B. C. D. 4. 如图，一、二两组同学将本组最近5次数学平均成绩分别绘制成折线统计图．由统计图可知，成绩进步幅度大的组是（ ） A. 一组 B. 二组 C. 一组、二组进步幅度一样大 D. 无法判断 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题 11. 方程的解为________． 12. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 13. 已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．若点是“新奇点”，则M的坐标为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，轴于点C，轴交于点D，，，，则k的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，取的中点E，将线段绕点A旋转得到线段，在旋转过程中，当时，______． 三．解答题（共9小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元． （1）求购买棵红枫和棵香樟各需多少元； （2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？ 18. 有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）： b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）： c．甲公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，． d．乙公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，，． e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下： 公司 甲公司 乙公司 平均数 73 73 中位数 n 75 众数 74 k 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中m=_____，n=_____，k=______； （2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量； （3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）． 19. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 共需费用（元） 购买数量（本） 3 4 288 购买数量（本） 5 2 270 素材二： 该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二： ①写出y关于x的关系式． ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？ 20. 某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到0.1m，参考数据：，）． 课题 民心河护坡的调研与计算 调查方式 资料查阅、实地查看了解 调查内容 功能 护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 护坡时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 … … … 21. 如图，已知点P为外一点，点A为上一点，直线与的另一个交点为点B，是的直径，的平分线交于点D，连接并延长交直线于点M，连接． （1）求证：； （2）若，的直径为4，求的长度． 22. 一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）直接写出图2中抛物线的解析式______； （2）倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； （3）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 23 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题2 一．选择题 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入元记作元，则元表示（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 收入元 D. 支出元 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数、负数表示相反意义的量，得出答案． 【详解】解：收入120元记作+120，则-70元表示“支出70元”， 故选：B． 【点睛】本题考查正数、负数表示相反意义的量，一个量用正数表示，则与之相反的量就用负数表示． 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则． 4. 如图，一、二两组同学将本组最近5次数学平均成绩分别绘制成折线统计图．由统计图可知，成绩进步幅度大的组是（ ） A. 一组 B. 二组 C. 一组、二组进步幅度一样大 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计结果，一组从开始的70分进步到了90，二组从开始的70分进步到了85，两者比较即可得出答案． 【详解】解：由统计图可知， 一组从开始的70分进步到了90，进步了20分， 二组从开始的70分进步到了85，进步了15分， 所以一组的进步幅度大， 故选：A． 【点睛】本题主要考查统计图的读图能力，能根据图分析出数据的变化情况是做本题的关键， 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图： 共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个， ∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为． 故答案为：A． 7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步， 依题意得：x（60-x）=864， 整理得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故C符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故D不符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴周长为， 故选；B． 10. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵图象的开口向下， ∴， ∵图象与y轴的交点为， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴①符合题意， ∵抛物线的对称轴为， ∴M关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随着x的增大而增大， 又∵， ∴， ∴②符合题意， 由题意得：， ∵当时，较小的一个根为， ∴， 解得：， ∴③不合题意， 当时，抛物线的解析式为， ∴， 取，得， 解得，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴④符合题意， ∴符合题意的有①②④， 故选：C． 二．填空题 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解： 两边同时乘以，得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1：， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 12. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体，熟练掌握利用样本所占百分比估计总体的方法是解题关键．先求出样本中有标记的鱼所占百分比，再利用100除以这个百分比即可得． 【详解】解：由题意可知，样本中有标记的鱼所占百分比为， 则可估计池塘里鱼的总数为（条）， 故答案为：2000． 13. 已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．若点是“新奇点”，则M的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义． 根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出的值，从而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点是“新奇点”， ∴． 解得：． ∴． ∴点M的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，轴于点C，轴交于点D，，，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长交轴于点，证明，求得点B纵坐标为，得到点B横坐标为，由，构造一元二次方程，求得，根据勾股定理列式，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， 轴 ∴， ∴点A的坐标为， ∴， 延长交轴于点，则， ∴， ∴， ∴，即点B纵坐标为， 则点B横坐标为， ∵， ∴， 整理得， 解得（舍去），， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴，， ∵， 由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，取的中点E，将线段绕点A旋转得到线段，在旋转过程中，当时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形． 由旋转可得，又，可得．分两种情况讨论：①若点在矩形的内部，过点作于点F，根据矩形的性质可求得，从而在中，通过解直角三角形得到，进而得到，因此根据勾股定理在中，即可求解．②若点在矩形的外部，同①即可求解． 【详解】∵点E是的中点， ∴， ∴由旋转可得 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①如图，若点在矩形的内部， ∵在矩形中，， ∴， 过点作于点F， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴在中，． ②如图，若点在矩形的外部， 过点作于点F， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，或． 三．解答题（共9小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，含乘方的有理数混合计算： （1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）先把括号内的式子通分，然后把除法变成乘法，最后约分化简即可． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元． （1）求购买棵红枫和棵香樟各需多少元； （2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？ 【答案】（1）购买棵红枫需元，购买棵香樟需元 （2）至少可以购买棵香樟 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用， （1）设购买棵红枫需元，购买棵香樟需元，根据“购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元”列出方程组，即可求解； （2）设购买香樟棵，根据“计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵”列出不等式，即可求解； 找到正确的数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买棵红枫需元，购买棵香樟需元， 由题意可得：， 解得：， 答：购买棵红枫需元，购买棵香樟需元； 【小问2详解】 设购买香樟棵， 由题意可得：， 解得：， ∵为正整数， ∴至少可以购买棵香樟． 18. 有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）： b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）： c．甲公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，． d．乙公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，，． e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下： 公司 甲公司 乙公司 平均数 73 73 中位数 n 75 众数 74 k 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中m=_____，n=_____，k=______； （2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量； （3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1），， （2）个 （3）答案不唯一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出乙公司被抽取的个鸡腿质量在B组对应的百分比，再根据百分比之和为1可得m的值，根据众数和中位数的定义可分别求得k和n的值； （2）总数乘以不低于克的数量所占百分比即可； （3）答案不唯一，合理即可，分析过程根据平均数、众数和中位数分别说明即可． 【小问1详解】 乙公司被抽取的个鸡腿质量在B组对应的百分比为， ∴， ∴； 乙公司被抽取的个鸡腿质量出现最多的是，即众数， 甲公司被抽取的个鸡腿质量的中位数； 故答案为；，， 【小问2详解】 根据题意可知乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为： ， 答：估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为55个． 【小问3详解】 我会选择采购甲公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但甲公司鸡腿质量的中位数克大于乙公司鸡腿质量的中位数克． 我会选择采购乙公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但乙公司鸡腿质量的众数克大于甲公司鸡腿质量的众数克． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法． 19. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 共需费用（元） 购买数量（本） 3 4 288 购买数量（本） 5 2 270 素材二： 该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二： ①写出y关于x的关系式． ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】任务一：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元 任务二：①；②当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元，根据“购进3本甲类图书和4本乙类图书共需288元；购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用4500元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为元，根据题意，列出关于函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价为元，乙类图书每本的进价为元， 根据题意，得，解得． 答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元． 任务二：①根据题意，得， ； ②根据题意，得， ， ∴随的增大而减小， ∵，且取整数， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元． 20. 某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到0.1m，参考数据：，）． 课题 民心河护坡调研与计算 调查方式 资料查阅、实地查看了解 调查内容 功能 护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 护坡时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 … … … 【答案】的长度约为1.4m，的长度约为4.2m 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 过点E作，在中求出和的长，在中求出和的长，再求即可． 【详解】解：过点E作，垂足为F， 由题意得：，， 在中，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴的长度约为1.4m，的长度约为4.2m． 21. 如图，已知点P为外一点，点A为上一点，直线与的另一个交点为点B，是的直径，的平分线交于点D，连接并延长交直线于点M，连接． （1）求证：； （2）若，的直径为4，求的长度． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）等腰三角形的性质可得，结合的平分线得即可求证； （2）连接由是的直径，得，由，的直径为4，可得结合（1）问可得，求出，根据同角的三角函数值相同即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 的平分线， ， ， ； 【小问2详解】 连接如图： 是的直径， ， 由（1）问可知 ， ，的直径为4， ， 中：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，三角形相似，三角函数等解题关键是熟记同角的三角函数值相同． 22. 一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）直接写出图2中抛物线的解析式______； （2）倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； （3）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先确定，，，的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，可得旋转前与水平方向的夹角为，即，求出点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，并与抛物线解析式联立，求出点的坐标，进而求出的长；把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度，联立和抛物线得到一元二次方程，根据有位于交点，利用根的判别式等于0，求出的值，确定的解析式，进而求出点的坐标，的长，利用三角函数求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意知：，，，，，， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 把点，代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：液面下降了cm， 此时液面距碗底距离为，即， 当时，， 解得（舍去），， 液面的宽度为cm； 【小问3详解】 解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，如图： 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤， 当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即， 设直线的解析式为，与轴交于点，如图： 由题意知：点，， ，， ， 即点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 由，解得或， ，， ． 把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度， 联立， 整理：， 只要一个交点， ， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 点， ， 与水平面的夹角为， 直线与水平面的夹角为，即， 在中， ， 即碗内面汤的最大深度为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数以及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】问题1：（1）；（2），证明见解析；问题2：①；②；问题3：． 【解析】 【分析】问题1：（1）由折叠的性质可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，再证即可得出结论； 问题2：①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，，然后在中根据勾股定理求出，即可解答； ②过点作于，交于．则四边形是矩形，得出，由三角形面积求出，然后证，得出，即可得出结论； 问题3：连接、，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形斜边中线的性质得，证明，由相似三角形的性质得出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：问题1：（1）∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 故答案为： （2）如图，连接， ∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． 问题2：①∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴． 故答案为： ②过点作于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵ ∴， ∴，， 解得：． 问题3：如图，连接、， ∵， ∴、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$