精品解析：河北省石家庄市无极县文苑中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试题

2024一2025学年度第一学期开学模拟检测 高二数学试卷 （本试卷满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.赛每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数是虚数单位),则 A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 4. 如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 5. 我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：）如下表： 上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40 下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37 则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（ ） A. 28与28.5 B. 29与28.5 C. 28与27.5 D. 29与27.5 6. 已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 正方形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则 A. B. C D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确是（ ） A. 若，则点是的重心 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则 D. 若，且，则的面积是面积的 10. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加 B. 各年的月接待游客量高峰期大致都在8月 C. 2017年1月至12月月接待游客量逐月增加 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，且，则______. 13. 在中,角所对的边分别为,角等于，若，则的长为__________. 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） 四、解答题：本题共5小题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求与的夹角； （2）当为何值时，向量的模长为？ 16 已知复数z=3+bi（bR），且（1+3i）·z纯虚数 （1）求复数z （2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w| 17. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题． 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 0.20 16 合计 50 1.00 （1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 18. 如图，在四棱锥中，面面，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求△ABC面积S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024一2025学年度第一学期开学模拟检测 高二数学试卷 （本试卷满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.赛每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量平行的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，，则， 又因为 ，则 ，解得. 故选：B. 2. 设复数是虚数单位),则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ ∴===选D． 3. 在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在平行四边形中，，若将其沿折起使平面平面，可得如图所示三棱锥： 其中，三棱锥镶嵌在长方体中，即三棱锥的外接球与长方体的外接球相同. ∵ ∴外接球的半径为 ∴三棱锥的外接球的表面积为 故选D. 点睛：本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常用方法有：①若三棱棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若平面（），则（为外接圆的半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 4. 如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接交于,连接,由于,所以平面,所以角为所求线面角,其正切值为.故选. 5 我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：）如下表： 上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40 下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37 则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（ ） A. 28与28.5 B. 29与28.5 C. 28与27.5 D. 29与27.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据，由中位数的定义求上、下班时间行驶时速的中位数即可. 【详解】上班时间行驶速度的中位数是， 下班时间行驶速度的中位数是. 故选：D 6. 已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数与方差的性质求解即可. 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：D. 7. 正方形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明出平面，可得出，计算出、，利用异面直线所成角的定义可知，与所成的角为或其补角，计算出即可. 【详解】连接，如下图所示： 四边形为正方形，则，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 在中，，，、分别是线段、的中点， ，，， ，所以，与所成的角为，且. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量减法的三角形法则，转化为和即可． 【详解】=﹣=+﹣=+﹣ =+（﹣）﹣ =﹣， 故选D． 【点睛】本题考查利用基底表示向量，解题关键理解向量加法、减法、数乘的几何意义,属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是的重心 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可. 【详解】对于A，，即， 则， 所以点是的重心； 对于B，若，则， 所以点在边的反向延长线上，故B错误； 如图对于C，延长到，使，同理， 因为，所以， 以为邻边作平行四边形，所以，则，即， 因为， 同理， ， 所以，故C正确； 如图对于D，设为中点， ，所以，即， 由，所以，所以三点共线， 所以.故D正确. 故选：A C D. 【点睛】关键点点睛：向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键. 10. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解． 【详解】由正六边形的结构特征可知， 与方向相同，长度相等，，故选项A正确， 与方向相反，，故选项B正确， 由正六边形的性质可知，，故选项C正确， 与不共线，所以不会相等，故选项D错误， 故选：ABC． 11. （多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加 B. 各年的月接待游客量高峰期大致都在8月 C. 2017年1月至12月月接待游客量逐月增加 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用折线统计图中的信息逐一判断即可. 【详解】解：对A，接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确； 对B，折线统计图可知，各年的月接待游客量高峰期大致都在8月，故B正确； 对C，2017年8月至9月月接待游客量呈下降趋势，故C错误； 对D，折线统计图可知，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，且，则______. 【答案】27 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可直接得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 在中,角所对的边分别为,角等于，若，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】因为角等于， ， 所以由余弦定理可得 ， 所以，故答案为. 【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由题若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，求出半径长再求表面积． 【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长， 即 所以 球形容器的表面积 【点睛】本题考查球体表面积，解题的关键是求出球体的半径． 四、解答题：本题共5小题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求与的夹角； （2）当为何值时，向量的模长为？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，结合数量积的运算律，求得，根据向量的夹角公式即可求得答案; （2）根据向量的模长为，结合模的计算以及数量积的运算律，可得到，求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 则， 得，由于 ，所以； 【小问2详解】 由于， 解得或，即x的值为或. 16. 已知复数z=3+bi（bR），且（1+3i）·z纯虚数 （1）求复数z （2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w| 【答案】（1）z=3+i（2） 【解析】 【分析】（1）计算得到，得到答案. （2），再计算模长得到答案. 【详解】（1），则为纯虚数， 故，解得，故. （2），故. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，复数的模，意在考查学生的计算能力. 17. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题． 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 0.20 16 合计 50 1.00 （1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 【答案】（1）填表见解析； （2）作图见解析； （3）234人. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据和频率的求解公式求解即可. （2）由（1）中表格中的数据完成频数分布直方图. （3）根据频率分布表可求出成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，从而可得成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，进而可求得获得二等奖的人数. 【小问1详解】 补全频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 008 8 0.16 10 0.20 16 0.32 12 0.24 合计 50 1.00 【小问2详解】频数分布直方图如下图所示： 【小问3详解】 成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的， 因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20， 所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10． 成绩在80.5～85.5分学生占80.5～90.5分的学生的． 因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32， 所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16， 所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26． ∵有900名学生参加了这次竞赛， ∴该校获得二等奖的学生有：0.26×900＝234， ∴该校获得二等奖的学生有234人. 18. 如图，在四棱锥中，面面，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）首先过A作，垂足为，以A为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，根据即可证明平面. （2）求出平面法向量为，再代入二面角公式计算即可得到答案. （3）首先假设线段上存在一点，设，，得到，根据直线与平面所成角的正弦值为，求得，以及. 【详解】（1）过A作，垂足为，则， 以A为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为 ，， 则，令，解得：. 因为，所以 又平面，所以平面 （2）设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，令，解得. 所以. 即平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）假设线段上存在一点，设，，. 因为，所以 则 因为平面的一个法向量 所以， 整理得：， 所以，因为，所以. 所以存在，且. 【点睛】本题主要考查利用立体几何向量法证明线面平行和二面角的求法，同时考查了线面角的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题.关键是建立适当的空间直角坐标系，并熟练掌握空间向量的有关计算，要特别注意掌握线段上的点的表示方法. 19. 已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求△ABC的面积S的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题及正弦定理可得，，利用诱导公式化简可得，即可求得； （2）先求出，利用三角形的面积公式直接求得. 【小问1详解】 对于， 由正弦定理可得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 因为，所以,. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$