第三章函数的概念与性质单元检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质（单元检测） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数y＝|x|在区间[－2，－1]上(　　) A.单调递减　　 B.单调递增 C.先减后增　　 D.先增后减 2.设函数f (x)＝则f (f (3))＝(　　) A.　　　B.3　　　C.　　　D. 3.若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a的值是(　　) A.1　　　 B.0　　　 C.－1　　　 D.2 4.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，1] B.[－2，0] C.[0，2] D.[－2，2] 5.函数y＝的值域是(　　) A. B. C.[0，1] D.[0，＋∞) 6.若幂函数f(x)＝的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则整数m＝(　 ) A.4　　 B.3 C.2　　 D.1 7.函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.0或1 D.1或2 8.如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　) 　　　　　　 　　 10.如果函数f (x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　) A.>0 B.(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0 C.f (a)≤f (x1)<f (x2)≤f (b) D.f (x1)>f (x2) 11.定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是(　　) A.f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) B.f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) C.f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a) D.f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a的值为________ 13.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________ 14.已知幂函数f(x)＝(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（12分）党的二十大报告提到“坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理”，水资源是其中重要一环，严重制约我国经济发展、严重影响人民生活的程度．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)． 16.（15分）已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值． 17.（16分）设函数f (x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f (4)＝1．对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x1≠x2时，有>0． (1)求f (1)的值；(2)如果f (x＋6)＋f (x)>2，求x的取值范围． 18.（16分）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x＞0时，f(x)＞－1． (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4． 19.（18分）已知函数f(x)＝－x2＋mx－m． (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值． (2)若函数f(x)在 [－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围． (3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 参考答案及解析： 一、单选题 1.A 解析：函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0)，又因为[－2，－1](－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上单调递减． 2.D　解析：∵f (3)＝≤1，∴f (f (3))＝＋1＝．故选D． 3.A　解析：∵f (－1)＝a－1，∴f (f (－1))＝f (a－1)＝a(a－1)2－1＝－1， ∴a(a－1)2＝0，∴a＝0或a＝1．又a>0，∴a＝1．故选A． 4.D　解析：依题意，可得或或解得－2≤a≤2． 5.A　解析：由题得y＝＝＝．∵0≤－＋≤，∴0≤y≤，即原函数的值域为．故选A． 6.C　解析：由题意可得幂函数f(x)＝为偶函数，所以m2－4m为偶数．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4，故m＝2． 7.C　解析：结合函数的定义可知，若f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应．由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点． 8.A　解析：由图象可知两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0．由曲线C1，C2的图象可知n＜m． 二、多选题 9.AD　解析：A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．故选AD． 10.AB　解析:由函数单调性的定义可知，若函数y＝f (x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f (x1)－f (x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以无法判断f (x)的单调性，故C，D错误．故选AB． 11.AC　解析：由g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合得，当a＞b＞0时，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．又由f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．[f(b)－f(－a)]－[g(a)－f(－b)]＝f(b)－f(－a)－g(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝f(b)＋f(a)－f(a)＋f(b)＝2f(b)＜2f(0)＝0，即f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)，A正确，B错误；[f(a)＋f(－b)]－[g(b)－g(－a)]＝f(a)＋f(－b)－g(b)＋g(－a)＝f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝f(a)－f(b)－f(b)＋f(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，即f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)，C正确，D错误．故选AC． 三、填空题 12.答案：16　 解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1．又因为f(a)＝3，所以－1＝3，解得a＝16． 13.答案：[0，4]　 解析：∵f(x)的定义域为R，∴不等式ax2－2ax＋4≥0的解集为R，①a＝0时，4≥0恒成立；②a≠0时，解得0＜a≤4．综上所述，实数a的取值范围是[0，4]． 14.答案：2　 解析：因为幂函数f(x)＝(n∈Z)为偶函数，所以解得m＝1，且n＝1，3，5，…．因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1，则m＋n＝1＋1＝2． 四、解答题 15.解：由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x； 当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6； 当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4． 所以y＝ 16.解：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝＝． 因为x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝在[3，5]上单调递增． (2)由(1)知f(x)在[3，5]上单调递增，所以当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝； 当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝． 17.解：(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0． (2)设0<x1<x2，则x2－x1>0． 又因为当x1≠x2时，>0，所以f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)＞f (x1)， 所以f (x)在定义域内为增函数． 令x1＝x2＝4，得f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝1＋1＝2，即f (16)＝2． 当即x>0时， 原不等式可化为f [x(x＋6)]>f (16)． 又因为f (x)在定义域上为增函数，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8． 又因为x>0，所以x>2． 所以x的取值范围为(2，＋∞)． 18.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1． 证明如下：在R上任取x1＞x2， 则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1． 又因为f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以f(x)在R上是增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5． 由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4，得f(x2＋x＋1)＞f(3)． 又因为f(x)在R上是增函数， 所以x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1． 故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}． 19.解：(1)f(x)＝－－m＋， 则最大值为－m＋＝0，解得m＝0或m＝4． (2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在 [－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2． 故实数m的取值范围为(－∞，－2]． (3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在 [2，3]上单调递减， 则即此时无解； ②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增， 则即解得m＝6； ③当2＜＜3，即4＜m＜6时，f(x)在[2，3]上先单调递增，再单调递减，所以f(x)在x＝处取最大值， 则＝－＋m·－m＝3，解得m＝－2或m＝6，不符合题意，舍去． 综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在 [2，3]上的值域恰好是[2，3]． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$