精品解析：2024年江苏省南京市中考三模冲刺训练数学试题

2024江苏省南京市九年级中考数学三模冲刺训练试卷 本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值（ ） A. 在3到4之间 B. 在4到5之间 C. 在5到6之间 D. 在2到3之间 4. 扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 化简+结果是（ ） A. x﹣2 B. C. D. 6. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 函数的自变量的取值范围是______． 8. 中国国家图书馆馆藏实体资源数为43300000，这个数用科学记数法可以表示为________． 9. 计算的结果是___________． 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______． 12. 沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为______°． 13. 若一个数a小于它倒数，结合和的图像，可知a的取值范围为______． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________． 15. 如图，在中，E是线段的中点，交于点F，则______． 16. 如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB=10，BC=16，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18 解方程． 19. 化简． 20. 如图，对角线，相交于点．是的中点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 21. 为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，青岛市某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息： 七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88 八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75 七、八年级抽取学生完成作业时间统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 72 75 b 八年级 75 a 75 根据以上信息，解答下列问题： （1）___，___； （2）若要绘制七年级作业时间情况扇形统计图，在“60分钟”对应的圆心角为___． （3）请补全条形统计图； （4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？ 22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 23. 如图，学校环保社成员想要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20米，DE的长为10米，请求出树AB的高度. 24. 某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800． （1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定多少元？ （2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求直径． 26. 已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 27. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， （1）如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． （2）如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． （3）如图3，当时，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024江苏省南京市九年级中考数学三模冲刺训练试卷 本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：A 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方，同底数的乘法、整式的加减、完全平方公式进行计算，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．与不是同类项不能进行合并，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方，同底数的乘法、整式的加减、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 估计的值（ ） A. 在3到4之间 B. 在4到5之间 C. 在5到6之间 D. 在2到3之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算即可得． 【详解】， ，即， 即的值在5到6之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题关键． 4. 扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的定义及中位数的定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 将数据排列可得，， ∴中位数是， 平均数为：， 故选B； 【点睛】本题考查平均数的定义及中位数的定义，解题的关键是熟练掌握两个定义． 5. 化简+结果是（ ） A. x﹣2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把分母因式分解，再通分，然后进行计算，最后约分即可解答． 【详解】解：+ ＝+ ＝ ＝； 故答案为C． 【点睛】本题考查了分式的加法运算,掌握分式的通分、约分以及加减运算是解答本题的关键． 6. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题， 角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即， 根据分式的意义可知：，即， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是二次根式的意义和分式的意义，解题的关键在于熟练掌握相关意义．二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分母不为0． 8. 中国国家图书馆馆藏实体资源数为43300000，这个数用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成，其中，n等于原数整数位数减1． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法表示；理解科学记数法的定义是解题的关键． 9. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的减法运算．熟练掌握二次根式的性质，正确的化简和计算，是解题的关键． 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标． 【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b； 点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点 得 得 点B的横坐标是6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键． 12. 沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆的半径为得到扇形的弧长，再利用弧长公式即可解答． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为， ∴圆锥的底面圆周长为：， ∴扇形的弧长， ∵圆锥的母线长为， ∴扇形的半径为， ∴设扇形的圆心角为， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 13. 若一个数a小于它的倒数，结合和的图像，可知a的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围． 【详解】解：令，解得， ∴函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时， 一次函数的图象在反比例函数的下方， ∴根据图象可知a的取值范围是或 故答案为∶ 或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可 【详解】解：连接OA， ∵C是的中点， ∴ ∴ 设的半径为R， ∵ ∴ 在中，，即， 解得， 即的半径为5cm 故答案为：5 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键． 15. 如图，在中，E是线段的中点，交于点F，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16. 如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB=10，BC=16，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可求出PE=6，从而得出PF=4，设，则FN=8-x，在中，由勾股定理列出方程可求出x的值，即可得出结论． 【详解】解：由矩形ABCD的对折可知：，， ，，， ，，， 设，则 在中， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换的知识，有一定难度，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得x＜3， ∴原不等式组的解集为， ∴将不等式组的解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键． 18. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验：将代入中得，， ∴是该分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等． 19. 化简． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式＝． 先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简． 20. 如图，的对角线，相交于点．是的中点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证； （2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 21. 为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，青岛市某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息： 七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88 八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75 七、八年级抽取学生完成作业时间统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 72 75 b 八年级 75 a 75 根据以上信息，解答下列问题： （1）___，___； （2）若要绘制七年级作业时间情况扇形统计图，在“60分钟”对应的圆心角为___． （3）请补全条形统计图； （4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）75，78 （2）54 （3）见解析 （4）545 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）用乘以“60分钟”所占的百分比，即可； （3）按给出数据计算出B时段的数据然后补全即可； （4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：将八年级抽取20名同学完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段， 而C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75， 按从小到大排列为：72，74，75，75，75，75，76，78， 则第10，11个数均为75，所以中位数． 将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是78分，即， 故答案为：75，78， 【小问2详解】 解：在“60分钟”对应的圆心角为； 故答案为：54 【小问3详解】 解：八年级B时间段人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问4详解】 解：七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为， 所以七、八年级作业管理为优秀的人数为（人）， 答：七、八年级时间管理优秀的大约有545人． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提． 22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）并不是等可能事件，所以不能选用树状图法做，选用概率分步原理解题即可 【详解】解：（1）画树状图得， ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； （2）由概率分步原理解题， 第一次拿出红球的概率为：，不放回，再拿出白球的概率为 第一次拿出白球的概率为，放回后，再拿出白球的概率为 故两次摸出的球都是白球的概率是： 故答案为： 【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，学校环保社成员想要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20米，DE的长为10米，请求出树AB的高度. 【答案】树AB的高度为30m. 【解析】 【分析】求AB的长度，在中就必须知道一个边，而BC边同时在中，通过计算可知为直角三角形，而CD边已知，利用特殊角的三角函数值则BC可求，进而AB可求. 【详解】 ∵DF∥EA 在中， 在中， 【点睛】本题主要考查解直角三角形，合理使用特殊角的三角函数值是解题的关键. 24. 某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800． （1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？ （2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）80 （2）售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元 【解析】 【分析】（1）由总利润=每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可； （2）先算出x的范围，再根据总利润=每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： （x-60）（-20x+2800）=24000， 解得x1=120或x2=80， ∵尽量给顾客实惠， ∴x=120，不符合题意，舍去， 答：售价应定为80元； 【小问2详解】 解：∵每件利润不允许超过每件进价的50%， ∴x-60≤60×50%，解得x≤90， ∴60≤x≤90， 根据题意得 W=（x-60）（-20x+2800）=-20x2+4000x-168000=-20（x-100）2+32000， ∵-20<0， ∴当x≤100时，W随x的增大而增大， ∴当x=90时，W取最大值，最大值为-20×（90-100）2+32000=30000（元）， 答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 25. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求直径． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）5 【解析】 【分析】(1)连接OE，由AC是圆的切线得到∠AEO=90°=∠ACB，进而得到OE∥BC，得到∠F=∠DEO；再由半径相等得到∠ODE=∠DEO，进而得到∠F=∠ODE即可证明BD=BF； (2)连接OE，由求出EC=2，证明∠CEB=∠F进而由求出BC=4，从而可得BD=BF=BC+CF=4+1=5． 【小问1详解】 证明：连接OE，如下图所示： ∵AC为圆O的切线， ∴∠AEO=90°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴OE∥BC， ∴∠F=∠DEO， 又∵OD=OE， ∴∠ODE=∠DEO， ∴∠F=∠ODE， ∴BD=BF． 【小问2详解】 解：连接BE，如下图所示： 由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F， ∴，代入数据：， ∴EC=2， 又BD是圆O的直径， ∴∠BED=∠BEF=90°， ∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB， ∴∠F=∠CEB， ∴，代入数据：， ∴BC=4， 由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5， ∴圆O的直径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中切线的性质、三角函数求线段长度等，熟练掌握圆的切线的性质及圆周角定理是解题的关键． 26. 已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得， 根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 27. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°， （1）如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长． （2）如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长． （3）如图3，当时，求的值 【答案】（1）； （2）1； （3） 【解析】 【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解； （2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可； （3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解． 【小问1详解】 解：∵四边形AOBC是的正方形， ∴DEBC， ∴AE：AC＝DE：BC 设正方形边长为x，则AE＝3－x， ∴（3－x）：3＝x：4， 解得 x＝， 即这个正方形边长为； 【小问2详解】 解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2， ∵tan∠DCF＝， ∴DG：CG＝1：2 设DG＝y，则CG＝2y， ∴BG＝4－2y， ∵DGAC， ∴DG：AC＝BG：BC， ∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ， BG＝4－2y＝1.6， ∵∠EDF＝， ∴∠CDG＋∠GDF＝， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＋∠DCG＝， ∴∠GDF＝∠DCG， ∵tan∠DCF＝， ∴tan∠GDF＝， ∴， ∵DG＝1.2， ∴FG＝0.6， ∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1； 【小问3详解】 解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3， ∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝， ∴∠MDN＝， ∴∠MDE＋∠EDN＝， ∵∠EDF＝， ∴∠FDN＋∠EDN＝， ∴∠MDE＝∠FDN， ∴Rt△DME∽Rt△DNF， ∴＝， ∵=， ∴=， 设DM＝z，则DN＝2z， ∵DMBC ， ∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB， ∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝， ∴：4＝AD：5 ， ∴AD＝，BD＝5－＝， ∴＝． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；熟练掌握相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$