精品解析：山东省滨州市沾化区2024年初中学生学业水平模拟考试数学试题　

滨州市沾化区2024年初中学生学业水平模拟考试数学试题 第I卷（选择题） 温馨提示: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相处、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相处、幂的乘方的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 下列几何体中，三视图不含圆的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A：俯视图中含有圆； B：主视图、左视图、俯视图中都含有圆； C：主视图、左视图、俯视图中都不含有圆； D：俯视图中含有圆； 故可知只有C选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三视图，熟知定义是解题的关键． 3. 如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：B． 4. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 5. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6. 如图，点A、B、C、D在上，，则的长（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，含30度的直角三角形，勾股定理，连接，易得 ，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，在，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点E．若，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知：垂直平分，利用线段的和差关系求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 8. 阅读材料：在平面直角坐标系中，点和直线（其中A、B不全为0），则点P到直线的距离d可用公式来计算．例如：求点到直线的距离．因为直线可化为，其中，所以点P到直线的距离为． 根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是3； ②若以点为圆心，以4为半径的圆与直线相交，则其弦长为； ③直线与直线的距离为； ④若点P是抛物线上的点，则点P到直线的距离最小值是． 正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，判断①，垂径定理，勾股定理求出弦长，判断②，求出原点到直线的距离判断③，设，根据点找到直线的距离公式，转换为二次函数求最值，判断④． 【详解】解：∵可变形为，则其中， 由公式可得 ∴点到直线的距离是3，故①正确； 由①可知：圆心到直线的距离，圆的半径， ∵ ∴直线与圆相交， 设弦长为 由图可知：，故②错误； ∵直线与直线平行，且点在直线上， ∴点到直线的距离，即为直线与直线的距离， ∵可变形为，则其中， ∴点到直线的距离为；故③正确； 设，直线可变形为：， 则点到直线的距离为： ∵， ∴， ∴的最小值为：；故④错误； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理等知识点，理解并掌握点到直线的距离公式，是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 计算： _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 10. 如图，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质成为解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解的：，则． 故答案为：． 11. 无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，所以（x-3）2≥9-m．通过偶次方（x-3）2是非负数可求得9-m≤0，则易求m的取值范围． 【详解】由题意，得 x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0， ∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0， ∴m-9≥0， ∴m≥9， 故答案为m≥9． 12. 如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了方差，先求出平均数，再根据方差的公式计算即可得出答案． 【详解】解：平均数为环， 方差为：， 故答案为：． 13. 如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∵的面积， ∴； 故答案为：10． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 15. 若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____． 【答案】2或-1 【解析】 【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可. 【详解】若8是直角边，则该三角形的斜边的长为：， ∴内切圆的半径为：； 若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为：， ∴内切圆的半径为：. 故答案为2或-1. 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键. 16. 如图，四边形是菱形，，点是边的中点，是对角线上一点，且，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，连接交于，连接，作于，由菱形的性质得出，，，求出，再证明，得出，分别表示出、，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接交于，连接，作于， ， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、反比例函数的特征、代数式求值等知识点，掌握分比例函数图像上的点的横纵坐标之积等于k成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后根据反比例函数上点的特征求得a的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ 是反比例函数 图像上的点， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式 = = 1． 18. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，， 整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1） ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． （4）成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率． 【答案】（1）；；乙 （2）甲 （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、方差、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义即可得出的值，根据乙校成绩在所占比例乘以即可得出圆心角度数，根据方差的意义即可得解； （2）根据中位数进行比较即可得解； （3）由样本估计总体的思想求解即可； （4）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：把甲校名学的数学从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数． 故答案为：； 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是， 故答案为：； 甲校成绩的方差乙校成绩的方差， 本次测试成绩更整齐的是乙校． 故答案为：乙； 【小问2详解】 解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生， 理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是，，故该学生是甲校的学生； 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：人， 答：估计甲校能参加第二轮比赛的人数约有人． 【小问4详解】 解：画树状图如图： 共有种等可能的结果数，其中甲校、乙校各一名同学的结果数为， 甲校、乙校各一名同学的概率． 19. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 20. 【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）； 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． （1）请根据上述过程完成下列问题： ①连接，如图，请判断的形状，并说明理由； ②请直接写出： ______． 【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①请在边上找一点，使， ②过点作，交于点，连接． 【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积． 【答案】 阅读思考：①为等边三角形，理由如下： 由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； ②； 实践操作：①点即为所求， ②如图，点即为所求， 拓展应用： 【解析】 【分析】阅读思考：①由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质结合折叠的性质即可得出答案； 实践操作：①先作的垂直平分线交于，交于，再以为圆心，为半径画弧交于，连接，再作的垂直平分线即可；②以为圆心，任意长度为半径画弧交于、，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交于，连接即可； 拓展应用：解直角三角形求出、的长，再根据面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：阅读思考：①略 ②∵为等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； 实践操作：①略 ②略 拓展应用：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、作图—复杂作图、解直角三角形、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答： 【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为； 【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与交于点，且，若正方形边长为10，求四边形的面积； 【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】问题一：；问题二：25；问题三：的长度为4或6或12或14 【解析】 【分析】问题一：利用判断出，即可得出答案； 问题二：先求出，再利用判断出，即可求出答案； 问题三：分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案． 【详解】解：问题一：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； 问题二：如图③， 连接， ∵点O是正方形的中心， ∴， ∵点O是正方形的中心， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 问题三：在直线上存在点P，使为直角三角形， ①当时，如图④，延长相交于点Q， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图⑤， 同①的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∴或； ③当时，如图⑥， 过点P作的平行线交的延长线于M，延长相交于N， 同①的方法得，四边形是矩形， ∴，，， 同①的方法得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同①的方法得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为4或6或12或14． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键． 22. 【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 【答案】【问题探究】；【问题解决】，当时，有最大值，． 【解析】 【分析】问题探究：由旋转的性质可得，得到，，，由圆内接四边形的性质得，即得，即得点、点、点三点共线，又由圆周角定理得，即可得，得到为等腰直角三角形，最后根据即可求解； 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，同理可得点，点，点三点共线，又由，，可得是等边三角形，进而根据 可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线， ∵是直径， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 当时，有最大值，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形和等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：阳信某小区一期有若干幢楼，每幢最底层窗台到地面高度均为．其中有南北两幢大楼，位于南侧的大楼共有12层，每层高为，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大楼最小楼间距为． 素材3：小明住在一期某大楼，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大楼，她在自家离地面高的窗台C处测得大楼顶部E的仰角为和大楼底部A的俯角为（如图所示）． （参考数据：，） 【任务探究】 （1）任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． （2）任务2：该小区二期约为多少m？（结果精确到） 【成果与反思】 （3）二期新建的大楼共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 【答案】（1）；（2）；（3）二期房屋存在违规建设，至少要拆除5个楼层 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意直接解题即可； （2）根据题意可得，根据锐角三角函数可求得的值，从而求得的值，即可得到新建的大楼高度的长； （3）根据题意求得最小楼间距即可判断二期房屋存在违规建设，设应拆除x个楼层，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由公式得， ∴ （2）解：由题意得， ∴， ∴， ∴大楼高． （3）解：由最小楼间距， ∴二期房屋存在违规建设． 设应拆除x个楼层，而每个楼层高为， 则，化简得， 解得， 为正整数， 至少为5，所以至少要拆除5个楼层． 24. 定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点． （1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式； （2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式； （3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1或 【解析】 【分析】（1）连接，由、可求，即．因为过点的切线，故有，再加公共角，可证，由对应边成比例可求的长，进而得点坐标，即可求直线解析式． （2）分别把点代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为，直线解析式可消去得．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于的方程有两个相等的实数根，即△，即求得的值． （3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子，可看作关于的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线．分类讨论对称轴在左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在左侧即时，由图象可知时随的增大而增大，所以时取得最小值，把、代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，时即取得最小值，得方程，解得：；③当对称轴在2的右侧即时，由图象可知时随的增大而减小，所以时取得最小值，把、代入即求得的值． 【详解】解：（1）如图1，连接，记过点的切线交轴于点 ， ， ， 设直线解析式为： ，解得： 过点的的切线的解析式为; （2）抛物线经过点 ，解得： 抛物线解析式： 直线经过点 ，可得： 直线解析式为： 直线与抛物线相切 关于的方程有两个相等的实数根 方程整理得： △ 解得： 直线解析式为； （3）函数的图象与直线相切 关于的方程有两个相等的实数根 方程整理得： △ 整理得：，可看作关于的二次函数， 对应抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，的最小值为 ①如图2，当时，在时随的增大而增大 时，取得最小值 ，方程无解； ②如图3，当时，时，取得最小值 ，解得：； ③如图4，当时，在时随的增大而减小 时，取得最小值 ，解得：，（舍去） 综上所述，的值为1或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含、的等式，转化为关于的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨州市沾化区2024年初中学生学业水平模拟考试数学试题 第I卷（选择题） 温馨提示: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，三视图不含圆的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，点A、B、C、D在上，，则的长（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 如图，在，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点E．若，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 4 8. 阅读材料：在平面直角坐标系中，点和直线（其中A、B不全为0），则点P到直线的距离d可用公式来计算．例如：求点到直线的距离．因为直线可化为，其中，所以点P到直线的距离为． 根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是3； ②若以点为圆心，以4为半径的圆与直线相交，则其弦长为； ③直线与直线的距离为； ④若点P是抛物线上的点，则点P到直线的距离最小值是． 正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 计算： _______． 10. 如图，，则______°． 11. 无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 12. 如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为__________． 13. 如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则_________． 14. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 15. 若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____． 16. 如图，四边形是菱形，，点是边的中点，是对角线上一点，且，则的值是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值． 18. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，. ，，，，，，，，，，， 整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1） ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． （4）成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率． 19. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 20. 【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）； 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． （1）请根据上述过程完成下列问题： ①连接，如图，请判断的形状，并说明理由； ②请直接写出： ______． 【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①请在边上找一点，使， ②过点作，交于点，连接． 【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积． 21. 在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答： 【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为； 【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与交于点，且，若正方形边长为10，求四边形的面积； 【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的长度；若不存在，说明理由． 22. 【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 23. 根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）． 素材2：阳信某小区一期有若干幢楼，每幢最底层窗台到地面高度均为．其中有南北两幢大楼，位于南侧的大楼共有12层，每层高为，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大楼最小楼间距为． 素材3：小明住在一期某大楼，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大楼，她在自家离地面高的窗台C处测得大楼顶部E的仰角为和大楼底部A的俯角为（如图所示）． （参考数据：，） 【任务探究】 （1）任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值． （2）任务2：该小区二期约为多少m？（结果精确到） 【成果与反思】 （3）二期新建的大楼共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 24. 定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点． （1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式； （2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式； （3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $