24.1圆的有关性质复习小结课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 24.1圆的有关性质复习小结 本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，理解圆周角和圆心角关系等。近 5 年试题规律：主要以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心角圆周角之间的关系，难度不大。特别地，虽然考纲已经不要求垂径定理，但近几年总有考查。 考纲要求 【考点分析】 1. 相关角相等或互补： ①圆内接四边形的对角互补； ②圆周角与圆心角的关系定理及其推论； ③同弧或等弧所对的圆周角相等；④平行两弦所夹的弧相等（需证明）； O A B C D 2. 垂直关系： ①垂径定理； ②直径所对的圆周角是直角； ③直角的圆周角所对的弦是直径； ④切线的性质与判定； ⑤垂直两弦（圆内接四边形的两条对角线互相垂直）； O A C D B P 【考点分析】 3. 结合一些特殊图形的性质与判定进行说理与计算： ①平行四边形；②等腰三角形（含等边、等腰直角）；③相似三角形；④三角函数等. 4. 四点共圆：①圆定义；②三角形（外心）；③对角互补(都是直角)的四边形. 5. 考察的思想方法： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建 “ 射影定理 ” 等基本图形研究线段 （已知任意两条线段可求其它所有线段长）； （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等 关系建立方程，解决问题； （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形 的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出 隐藏的线段之间的数量关系. 知识框架 知识运用 为什么车轮是圆的 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的数学原理． 细节辨识 O 细节辨识 A B C D O 细节辨识 A B C D O 细节辨识 A B C D O A B C D O 细节辨识 O D C A B A B C D E 圆心角相等 弦相等 弧相等 弦心距相等 垂直：特殊的位置关系 平分：特殊的数量关系 且平分弦所对的两条弧 O 盘点知识 二、垂径定理 例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． A B O E 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 盘点知识 二、垂径定理 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 基本模型：（多题一解） O A B D E 2 已知：AB=8， 半径为5， 求ED. 已知：CE=8， 半径为5， 求AB. 已知：DE=2， AB=8.求半径. 已知：OE=3， 直径为10， 求AB. B A O D E A B C D E O B A E O C 盘点知识 二、垂径定理 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 基本模型：（多题一解） A B C D O ３ ４ 还是求弦长 E ３ 盘点知识 二、垂径定理 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 基本模型：（多题一解） A O C B E D ３ １０ 5 O A B（６，０） 盘点知识 二、垂径定理 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 基本模型：（多题一解） C 盘点知识 二、垂径定理 遇弦连半径、作弦心距 构造直角三角形 复合模型：（多题一解） A B O E N A B O E N C D F C D A B O E N F 水面为1.6的情况有几种？ 盘点知识 三、旋转不变 已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角. O B A E C D A B O ４０° C 盘点知识 三、旋转不变 已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角. A B O C 120° 盘点知识 三、旋转不变 已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角. A B O C E D 圆心O为AD中点，C为AE中点，OC为三角形ADE中位线，所以OC即为半径又等于DE一半，所以DE=AD=2r=2，又因OC=OA=AC=1,所以三角形ACO为等边三角形，所以角A等于60度，所以三角形ADE为等边三角形,所以DE=2 盘点知识 四、圆周角 同弧或等弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半． 基础型：（多题一解） 变式１.如图，求∠C． A C B １００° １５０° O B C A 40° 盘点知识 四、圆周角 1.如果∠A=44°,则∠BOC=____. 2.如果∠BOC=44°,则∠A=____. 3.如果∠A=35°,则∠BDC=____. 4.看图想定理：把对应的定理拖到相应的图下面 垂径定理 同弧所对的 圆周角相等 同弧所对的圆周角 是圆心角的一半 同弧所对的 圆心角相等 直径所对的角是直角 盘点知识 四、圆周角 已知某角则想同弧所对的圆心角、圆周角. 基础型：（多题一解） A C B O P 60° 60° 60° 60° 盘点知识 四、圆周角 A B C D O 例8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求 BC，AD，BD 的长． 已知某角则想同弧所对的圆心角、圆周角. 10 6 1 2 解题技巧小结 整理归纳 １.遇弦则作弦心距、连半径，构造直角三角形． ２.遇直径连直角，构造直角三角形． ３.遇圆周角则找同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）． ６.勤画图，多从图形性质分析． ５.遇中点则想到垂径定理、垂直平分线、三角形中位线、中线． ４.由于半径都相等，圆的问题很多要结合等腰三角形． 圆中常见的辅助线 证明：(1)连接AC，OA，OD，OB，OC， ∵ AB ∥ CD， ∴ ∠BAC = ∠ACD， ∵ ∠AOD = 2∠ACD，∠BOC = 2∠BAC， ∴ ∠AOD =∠BOC， ∴ AD = BC， ∴ AD = BC，BD =AC， ∴ ∠BCD =∠ADC. (2)略. 【基本图形及相关结论证明】 例1 如图，四边形ABCD内接于☉O， （1）若AB∥ CD，求证：∠C =∠D，AD = BC； （2）若AD = BC，求证：AB∥ CD. E 方法2： 圆心角与圆周角的关系 方法3： 垂径定理 方法1：由∠A＋∠D = 180°，∠A＋∠C = 180°，得∠C = ∠D，…… 【基本图形及相关结论证明】 例2 如图，四边形ABCD内接于☉O，且AC⊥BD，垂足为P. （1）求证：∠PAD－∠PAB =∠PCD－∠PCB； （2）若AB = 1，C D = 3，求☉O的半径. E (1)证明：∵ AC⊥BD， ∴ ∠APD =∠BPC = 90°， ∴ ∠PAD＋∠PDA = ∠PAB＋∠PBA = 90°， ∵ AB = AB，AD = AD， ∴ ∠PDA =∠PCB，∠PBA =∠PCD， ∴ ∠PAD＋∠PCD= ∠PAB＋∠PCD， ∴ ∠PAD－∠PAB= ∠PCD－∠PCB. (2)解：作直径CE，并连接AE , DE，则 ∠CAE = ∠CDE = 90°，即AC⊥AE. ∵ AC⊥BD， ∴ AE ∥ BD. 易证 AB = ED = 1， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ☉O的半径为 【基本图形及相关结论证明】 变式：在“例2”的条件下，分别取弦AD，BC的中点E，F，求证：四边形OEPF为平行四边形. H 证明：延长EP交BC于点H， ∵ AC⊥BD，AE = DE， ∴ ，∠PBC＋∠PCB = 90°, ∴ ∠EPD =∠EDP. ∵ ∠BPH =∠EPD，∠EDP =∠BCP， ∴ ∠PBC＋∠BPH = 90°， ∴ EH⊥BC. ∵ BF = CF， ∴ OF⊥BC， ∴ EP ∥ OF， 同理，PF ∥ OE， ∴ 四边形OEPF是平行四边形. 若AD = 4，则OF = ; 若AB = 1，则圆心O到CD的距离为 . 练习题1： 求证：圆内接平行四边形是矩形. 已知：如图，□ABCD内接于☉O. 求证：□ABCD是矩形. A B C D O 【三年中考试题解析】 例3 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径， 点 P 在 CA 的延长线上，∠CAD = 45°. （Ⅰ）若AB = 4，求 CD 的长； （Ⅱ）若BC = AD，AD = AP，求证：PD是☉O的切线． (1)解：连接OC，OD，则 ∠COD = 2∠CAD = 2×45° = 90°. ∵ AB = 4， (2)证明： ∴ ∠AOD =∠BOC. ∵ ∠COD = 90°， ∴ ∠AOD = 45°. ∵ OA = OD， ∵ AD = AP， ∴ ∠ADP =∠P. ∵ ∠ADP ＋∠P =∠CAD = 45°， ∴ ∠ADP = 22.5°， ∴ ∠ODP =∠ODA＋∠ADP = 67.5°＋22.5° = 90°， ∴ OD⊥PD. 又∵ OD是☉O的半径，∴ PD是☉O的切线． 【三年中考试题解析】 例4 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC 为直径，DE⊥AB交AB于点E， 交⊙O于点F． （1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB = PC； （2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB = ，DH = 1，∠OHD = 80°， 求∠EDB的度数． 【三年中考试题解析】 例4 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC 为直径，DE⊥AB交AB于点E， 交⊙O于点F． （1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB = PC； （2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB = ，DH = 1，∠OHD = 80°， 求∠EDB的度数． (1)证明：∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠DAB＋∠BCD = 180°. ∵ ∠PCB＋∠BCD = 180°， ∴ ∠PCB =∠DAB. ∵ AC为直径， ∴ ∠ABC = 90°，即AB⊥BC， 又∵ DE⊥AB， ∴ DF ∥ BC， ∴ ∠PBC =∠F. ∵ ∠F =∠DAB， ∴ ∠PBC =∠PCB， ∴ PB = PC. 【三年中考试题解析】 例4 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC 为直径，DE⊥AB交AB于点E， 交⊙O于点F． （1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB = PC； （2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB = ，DH = 1，∠OHD = 80°， 求∠EDB的度数． (2)解：连接OD， ∵ AC是直径， ∴ ∠ADC = 90°，即CD⊥AD， ∵ BG⊥AD， ∴ CD ∥ BG，同理BC ∥ DE， ∴ 四边形BCDH是平行四边形. ∴ BC = DH = 1. 在Rt△ABC中，tan∠BAC = ∴ 锐角∠BAC = 30°. ∴ AC = 2，OD = DH = 1. ∵ ∠OHD = 80°， ∴ ∠OHE = 100°，∠DOH = 80°. ∴ ∠AOH = 360°－30°－100°－90°， = 140°， ∴ ∠AOD = 360°－140°－80° = 140°， ∴ ∠ABD = 70°， ∴ ∠EDB = 90°－∠ABD = 20°. 【三年中考试题解析】 例5 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB = AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的 延长线上，且DF = DC，连接AF、CF. （1）求证：∠BAC = 2∠DAC； （2）若AF = 10，BC = 4 ，求 tan∠BAD 的值. (1)证明：∵ AB = AC， ∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠BAC = 180°－2∠ACB. ∵ BD⊥AC， ∴ ∠DBC = 90°－∠ACB， ∴ ∠BAC = 2∠DBC. ∴ ∠DAC =∠DBC， ∴ ∠BAC = 2∠DAC. 【三年中考试题解析】 例5 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB = AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的 延长线上，且DF = DC，连接AF、CF. （1）求证：∠BAC = 2∠DAC； （2）若AF = 10，BC = 4 ，求 tan∠BAD 的值. H (2)解：作DH⊥AB，垂足为H. ∵ DF = DC， ∴ ∠BDC = 2∠CFD， ∵ ∠BAC = 2∠DBC，∠BAC =∠BDC， ∴ ∠CFD =∠DBC， ∴ CF = CB， 又∵ BE⊥AC，即AC是BF的垂直平分线， ∴ AC = AB = AF = 10. 设AE = x，则CE = 10－x， 由勾股定理，得 AB2－AE2 = BC2－CE2 = BE2， 解得 x = 6，即AE = 6，CE = 4. ∴ BE = 8. 易证 △AED∽△BEC， 由三角形面积可得 ∴ BH = ∴ tan∠BAD = 练习题： 1. 如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上位于AB异侧的两点． 下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 2. 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O 于点D，若∠ACB = 50°，则∠BOD = ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°， 3. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上， 且∠ACB = 55°，则∠APB等于 ( ) A.55° B.70° C.110° D. 125° 【预测试题】 1. 已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD交BD于点H. （1）过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F，如图①，求证：BD平分∠ADE； （2）在第(1)题的条件下，连接OC，过点D作DN∥ AC交⊙O于点N，如图②，若OC平分∠ACB， tan∠ADB = ， ，求 DN 的长. 【预测试题】 1. 已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD交BD于点H. （1）过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F，如图①，求证：BD平分∠ADE； （2）在第(1)题的条件下，连接OC，过点D作DN∥ AC交⊙O于点N，如图②，若OC平分∠ACB， tan∠ADB = ， ，求 DN 的长. 【预测试题】 2. 已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD交BD于点E，∠CAD = 2∠BAC，AO平分∠CAD. （1）求证：AC = AD； （2）过点O作OH⊥BD于点H， ①求证：BC = 2EH； ②若EH = ，CE = 4，求⊙O的直径. M N 【预测试题】 3. 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD交BD于点H. （1）如图①，连接OB，过圆心O作OE⊥AB，垂足为点E，若OB = BC，求证：OE = CH； （2）在(1)的条件下，如图②，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点F，若∠BAC =2∠DAC， 且CH = 1，求点 F 到圆心O 的距离. $$