24.1 圆的有关性质小结与复习课件2024-2025学年人教版九年级上册

第24章 圆的有关性质 小结与复习 教材分析 圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。它是常见的几何图形之一,在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例,与其它知识的综合性较强。本节课的内容是对已学过的圆的知识的巩固与复习,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的基础。 【复习目标】 掌握圆的有关概念、弧弦圆心角的关系、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接四边形。 【重点】 垂径定理及其推论 【难点】 圆的有关性质综合运用 教材重、难点的处理 学情分析 九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识,初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在,这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。但对圆的相关性质掌握较少,对知识的转化能力较差,所以重在要学生参与,主动探究,增加解决实际问题的能力。 教法分析 《新课标》指出:要“在掌握基础知识的同时,感受数学的意义”,提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学、理解数学”,使学生感受到数学就在我们身边,我采用迁移法,通过观看老师制作的关于圆的图片,把学生的思维带进有圆存在的地方,充分调动学生已有的知识,再用“引导法”与导学案相结合,让学生学习圆的定义及相关知识。 学法分析 充分利用导学案,引导学生采用动手操作、自主探究、合作交流等学习方法进行学习,充分发挥学生的主体作用,使知识和能力得到内化。 一、与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连结圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆的圆弧. 5.优弧:大于半圆的圆弧. 知识点回顾 6.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心,角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上,角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素:圆心决定位置,半径决定大小.(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 9.弦心距:圆心到弦的距离. 8.弓形、弓形高 二、 圆的基本性质 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,它的任意一条_所在的直线都是它的对称轴;圆也是中心对称图形,具有旋转不变性. 直径 2. 有关弦、弧、圆心角的性质. (1)在同圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 (2)垂径定理的推论:知二推三 注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 3.垂径定理及其推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径;②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 两条弧 4.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3)推论2:90 的圆周角所对的弦是直径. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”;“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”;“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”. (4)推论3:圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对弧相等. 考点一 圆周角定理 例1 在图中,BC是 O的直径,AD⊥BC,若∠D=36 ,则∠BAD的度数是( ) A. 72 B.54 C. 45 D.36 B A B C D 135 1.如图a,四边形ABCD为 O的内接正方形,点P为劣弧BC上的任意一点(不与B,C重合),则∠BPC的度数是 . C D B A P O 图a 针对训练 2.(2018•聊城)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60 ,∠ADC=85 ,则∠C的度数是( ) A.25 B.27.5 C.30 D.35 针对训练 D 3.(2018•菏泽)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32 , 则∠OBA的度数是( ) A.64 B.58 C.32 D.26 针对训练 D 考点二 垂径定理 例2 已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm或 cm C 提示:在无图形的情况下。注意端点的互换 针对训练 B 4.如图,AB是 O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC DB,OC=  ,那么 图中阴影部分的面积是( ) A. B.2 C.3 D.4 5.如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( ) A.10cm B.16cm C.24cm D.26cm C 6.(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm. 2或14 例3 已知 ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC= ,求CD的长 考点三 直径所对的圆周角 7. 如图,在 ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC. (1)求证:四边形ABFC是菱形; (2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积. 针对训练 方法总结 当图中出现圆的直径时,一般方法是作出直径所对的圆周角,从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形,为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件. 考点四 圆的内接三角形、四边形 例4 如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40 ,则∠ADC的度数 是 ( ) A.130 B.140 C.150 D.160 B 针对训练 8.如图,分别延长圆内接四边形ABDE的 两组对边,延长线相交于点F,C.若∠F=27 ,∠A=53 ,则∠C的度数 为( ) A.30 B.43 C.47 D.53 C 1. 如图,AB是⊙O的直轻,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA= . 30 达标检测 2.同圆中,已知弧AB所对的圆心角是100 ,则弧AB所对的圆周角是 . 3. 如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40o,∠C=20o, 则∠B= . 4.如图,在 ABC中,AB=AC,以AB为直径的 O 交AC于D,交BC于E,连接AE,DE,则下列结论中 不一定正确的是( ) A.AE⊥BC B.BE=EC C.ED=EC D.∠BAC=∠EDC 5.如图,在5 5正方形网格中,一条圆弧 经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3), 点C 的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆 的圆心坐标是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(-1,-1) 6.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD交 AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=30 , 求CD的长. 7.如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=30 ,AB=10,以AB为直径的⊙O交BC于点D, 交AC于点E,连接DE,过点B作BP平行 于DE,交⊙O于点P,连接CP、OP. (1)求证:点D为BC的中点; (2)求AP的长度; 8.如图,已知四边形ABCD内接于 O, AE⊥AC于A,与 O及CB的延长线交于 点F、E,且弧BF=弧AD. (1)求证: ADC∽ EBA; (2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.   常用作辅助线方法 1.做弦心距,利用垂径定理与勾股定理计算 2.遇到直径时,利用直径所对的圆周角是直角 总结与反思 $$