第二十四章 圆单元测试2024-2025学年人教版数学九年级上册

单元质量评价(四)(第二十四章) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.已知☉O的半径是3 cm,则☉O中最长的弦长是( )　　　　 A.3 cm B.6 cm C.1.5 cm D. cm 2.已知☉O的半径为4,OA=5,则点A和☉O的位置关系是( ) A.点A在圆上 B.点A在圆外 C.点A在圆内 D.无法确定 3.如图,AB是☉O的直径,∠D=32°,则∠AOC等于( ) A.158° B.58° C.64° D.116° 4.(2023·南宁西乡塘区二模)如图,AB是☉O的直径,若∠BAC=30°,则∠ADC=( ) A.40° B.60° C.70° D.80° 5.如图,CD是☉O的直径,AB是非直径的弦,AB与CD相交于点M.从以下四个条件中任取一个,其中不能得到CD⊥AB的有( ) A.AM=BM B.OM=CM C.= D.= 6.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F, ∠B=90°,AB=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.(2023·防城港二模)如图,点A,B,C,D在☉O上,四边形OABC是平行四边形, 则∠D的度数是( ) A.45° B.50° C.60° D.65° 8.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若AB=4,AC=2,则O到AC的距离为( ) A.1 B.2 C. D.2 9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是( ) A.1米 B.(4-)米 C.2米 D.(4+)米 10.如图,☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于点E,连接AD,若AD=3,则☉O的半径为( ) A. B.2 C.3 D.3 二、填空题(每小题4分,共24分) 11.(2024·南宁江南区期中)如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB长5 cm,则∠ACB的度数为　　.  12.(2023·防城港二模)如图所示,在直角坐标系中,A点的坐标为(-3,4),☉A的半径为2,P为x轴上一动点,PB切☉A于点B,则PB的最小值是　　.  13.(2023·南宁模拟)如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,且 ∠B=22.5°,CD=10,则直径AB的长为　　.  14.(2023·柳州三模)如图,这是“太极”图案的一部分,也称为“阴阳鱼”,其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化,同时也蕴藏着很多的数学知识.该图案可以看作是三段弧线的组合,即以AB为直径的半圆弧AB,以BC为直径的半圆弧BC,以AC为直径的半圆弧AC.且满足=,A,B,C三点在同一直线上,若AB= 4 cm,则该图案的面积为　　 cm2.  15.(2023·南宁浦北县质检)如图,在每个小正方形的边长均为2的网格图中,一段圆弧经过格点A,B,C,格点A,D的连线交圆弧于点E,则图中阴影部分的面积为 　.  16.(2024·南宁质检)如图,抛物线y=ax2-8ax+4(a>0)交y轴于点A,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,点C是抛物线的顶点,△ABC的外接圆经过原点O,则a的值为 　.  三、解答题(共36分) 17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, (1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作☉P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)请你判断(1)中BC与☉P的位置关系,并证明你的结论. 18.(9分)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知大小,用锯子去锯这个木材,锯口深DE=1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),求这根圆柱形木材的直径. 19.(9分)如图,四边形ABDC是☉O的内接四边形,AD是对角线,过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E,AB=AC. (1)求证:∠ABE=∠ACD; (2)连接BC,若BC为☉O的直径,求证:BE=CD. 20.(10分)(2024·南宁西乡塘区质检)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于F,且CE=CF. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)若AB=10,BD=3,求AE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元质量评价(四)(第二十四章) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.已知☉O的半径是3 cm,则☉O中最长的弦长是(B)　　　　 A.3 cm B.6 cm C.1.5 cm D. cm 2.已知☉O的半径为4,OA=5,则点A和☉O的位置关系是(B) A.点A在圆上 B.点A在圆外 C.点A在圆内 D.无法确定 3.如图,AB是☉O的直径,∠D=32°,则∠AOC等于(D) A.158° B.58° C.64° D.116° 4.(2023·南宁西乡塘区二模)如图,AB是☉O的直径,若∠BAC=30°,则∠ADC=(B) A.40° B.60° C.70° D.80° 5.如图,CD是☉O的直径,AB是非直径的弦,AB与CD相交于点M.从以下四个条件中任取一个,其中不能得到CD⊥AB的有(B) A.AM=BM B.OM=CM C.= D.= 6.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F, ∠B=90°,AB=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r为(C) A.4 B.3 C.2 D.1 7.(2023·防城港二模)如图,点A,B,C,D在☉O上,四边形OABC是平行四边形, 则∠D的度数是(C) A.45° B.50° C.60° D.65° 8.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若AB=4,AC=2,则O到AC的距离为(C) A.1 B.2 C. D.2 9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是(B) A.1米 B.(4-)米 C.2米 D.(4+)米 10.如图,☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于点E,连接AD,若AD=3,则☉O的半径为(C) A. B.2 C.3 D.3 二、填空题(每小题4分,共24分) 11.(2024·南宁江南区期中)如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB长5 cm,则∠ACB的度数为　30°　.  12.(2023·防城港二模)如图所示,在直角坐标系中,A点的坐标为(-3,4),☉A的半径为2,P为x轴上一动点,PB切☉A于点B,则PB的最小值是　2　.  13.(2023·南宁模拟)如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,且 ∠B=22.5°,CD=10,则直径AB的长为　10　.  14.(2023·柳州三模)如图,这是“太极”图案的一部分,也称为“阴阳鱼”,其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化,同时也蕴藏着很多的数学知识.该图案可以看作是三段弧线的组合,即以AB为直径的半圆弧AB,以BC为直径的半圆弧BC,以AC为直径的半圆弧AC.且满足=,A,B,C三点在同一直线上,若AB= 4 cm,则该图案的面积为　8π　 cm2.  15.(2023·南宁浦北县质检)如图,在每个小正方形的边长均为2的网格图中,一段圆弧经过格点A,B,C,格点A,D的连线交圆弧于点E,则图中阴影部分的面积为 π　.  16.(2024·南宁质检)如图,抛物线y=ax2-8ax+4(a>0)交y轴于点A,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,点C是抛物线的顶点,△ABC的外接圆经过原点O,则a的值为 　.  三、解答题(共36分) 17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, (1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作☉P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 【解析】(1)如图所示,☉P为所求的圆; (2)请你判断(1)中BC与☉P的位置关系,并证明你的结论. 【解析】(2)BC与☉P相切,理由如下:过P作PD⊥BC,垂足为D,∵CP为∠ACB的平分线,且PA⊥AC,PD⊥CB,∴PD=PA,又∵PA为☉P的半径,∴PD为☉P的半径,∴BC与☉P相切. 18.(9分)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知大小,用锯子去锯这个木材,锯口深DE=1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),求这根圆柱形木材的直径. 【解析】延长DE,交☉O于点C,连接OA, 由题意知DE过点O,且OD⊥AB, ∵OD为☉O的半径, ∴AE=BE=AB=尺=5寸, 设半径OA=OD=r, ∵DE=1寸, ∴OE=(r-1)寸, 在Rt△OAE中,根据勾股定理可得: (r-1)2+52=r2. 解得r=13, ∴木材的直径为26寸. 19.(9分)如图,四边形ABDC是☉O的内接四边形,AD是对角线,过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E,AB=AC. (1)求证:∠ABE=∠ACD; 【证明】(1)∵四边形ABDC是☉O的内接四边形, ∴∠ABD+∠ACD=180°, ∵∠ABE+∠ABD=180°, ∴∠ABE=∠ACD; (2)连接BC,若BC为☉O的直径,求证:BE=CD. 【证明】(2)∵BC为☉O的直径, ∴∠BAC=90°, ∵AE⊥AD, ∴∠EAD=90°, ∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°, ∴∠EAB=∠CAD, 在△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(ASA). ∴BE=CD. 20.(10分)(2024·南宁西乡塘区质检)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于F,且CE=CF. (1)求证:DE是☉O的切线; 【解析】(1)连接OC, ∵AE⊥CD,CF⊥AB,又CE=CF, ∴∠1=∠2. ∵OA=OC, ∴∠2=∠3,∴∠1=∠3. ∴OC∥AE. ∴OC⊥CD. ∵OC是☉C的半径, ∴DE是☉O的切线. (2)若AB=10,BD=3,求AE的长. 【解析】(2)∵OC⊥ED,AB=10,BD=3, ∴OB=OC=5. CD==, ∵S△OCD=OC·CD=OD·CF, 即×5×=×(5+3)·CF, ∴CF=, ∴OF==, ∴AF=OA+OF=5+=, 在Rt△AEC和Rt△AFC中,CE=CF,AC=AC, ∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL), ∴AE=AF=. 学科网（北京）股份有限公司 $$