3.3 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性与对称性 讲义-2025届高三数学一轮复习

3.3 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性与对称性 目录 知识点一：函数的单调性 3 考点1：函数的单调性（单调区间）的确定 3 考点2：已知单调性求参数 5 考点3：解函数不等式问题 6 型 6  “数”型 7  “”型 7  “数”型 8 知识点二：函数的奇偶性 8 考点4：判断函数的奇偶性 9 考点5：函数奇偶性的应用 10  求解析式 10  求函数值 11  求参数 11 考点6：函数的奇偶性与单调性综合 12 考点7：“奇函数+常数”类型求解 14 知识点三：周期性 15 考点8：抽象函数的周期性 16 考点9：类周期函数 17 考点10：函数的奇偶性与周期性综合 19 知识点四：对称性 20 考点11：由对称性求函数的解析式 21 考点12：函数的对称性与单调性综合 21 考点13：函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用 22 考点14：函数奇偶性、对称性、单调性的综合应用 25 考点15：函数性质的综合应用 26 考点16：利用函数性质比较函数值的大小关系 27 【强化训练】 29 知识点一：函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 （2）单调区间的定义：如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做的单调区间． （3）单调性定义的等价形式 设，且 ①在上是增函数 ②在上是减函数 考点1：函数的单调性（单调区间）的确定 方法提炼 确定函数单调性的四种方法 （1）定义法 （2）图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. （3）性质法 ①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. ②函数在公共定义域内与的单调性相反． ③复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） （4） 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. 【例1.1.】 已知，判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【例1.2.】 若非零函数对任意实数均有，且当时，，求证：为上的减函数. 【例1.3.】 函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【例1.4.】 函数的单调递减区间是 _____． 【例1.5.】 函数的单调递减区间为 ． 考点2：已知单调性求参数 方法提炼 已知单调性求参数的三种情况： 1、根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))求参； 2、分段函数求参，每段单调性都要符合题意，相邻两段自变量衔接点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。 【例2.1.】 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.9.】 若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3：解函数不等式问题 方法提炼 利用函数单调性解答与函数有关的不等式问题， 主要体现在给出不等式求具体解集或已知不等式恒成立求参数范围. 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： ①根据已知不等式构造含有函数值的不等关系式； ②结合函数单调性的定义，使脱去函数符号，得到，或； ③ 运算求解，得到完整解答. · 型 【例3.1.】 ． 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．  【例3.4.】 已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知对，，，当时，都有 ，则实数的取值范围是 . · “数”型 【例3.6.】 已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． · “”型 【例3.8.】 设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． · “数”型 【例3.9.】 已知函数则不等式的解集为 . 【例3.10.】 已知函数，则不等式的解集为 . 知识点二：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫作偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫作奇函数 关于原点对称 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，. （6） 常见的奇函数与偶函数 1　 为偶函数； 2　 为奇函数； 考点4：判断函数的奇偶性 方法提炼 确定函数单调性的三种方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 【注】复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 【例4.1.】 判断的奇偶性. 【例4.2.】 若函数是奇函数，函数是偶函数，则下列说法中正确的是 （ ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【例4.3.】 判断分段函数的奇偶性. 考点5：函数奇偶性的应用 · 求解析式 方法提炼 求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式，可将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. 【例5.1.】 已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【例5.3.】 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． · 求函数值 【例5.4.】 函数的图象过原点，且，若，则 . 【例5.5.】 已知函数为定义在上的奇函数，则 ． 【例5.6.】 已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 · 求参数 方法提炼 方法①：根据或得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值. 方法②：对或中的取具体值而得到方程（组），进而求出参数的值.在解答题中用此方法时，需将所求得的值代入函数，验证函数确实为奇函数或偶函数． 【例5.7.】 已知为偶函数，若，则 ． 【例5.8.】 已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【例5.9.】 若是奇函数，则 ． 【例5.10.】 已知，函数是奇函数，则 ． 【例5.11.】 若函数为奇函数，则 ． 考点6：函数的奇偶性与单调性综合 方法提炼 （1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）； （2）奇函数利用 ，偶函数利用 ，结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程． 或对偶函数型不等式，结合函数图象，得出的大小关系． 【例6.1.】 （多选）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 【例6.2.】 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6.7.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.8.】 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.9.】 已知函数，若满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.10.】 设定义在上的奇函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例6.11.】 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【例6.12.】 已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【例6.13.】 已知函数是偶函数，不等式恒成立，则b的最大值为 ． 【例6.14.】 已知函数，关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例6.15.】 设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点7：“奇函数+常数”类型求解 方法提炼 已知，其中为奇函数，为常数，则 ① ②则 【例7.1.】 已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【例7.2.】 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【例7.3.】 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例7.5.】 已知函数，若，则的取值范围为 ． 【例7.6.】 已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【例7.7.】 已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.8.】 已知函数，则不等式的解集为 ． 知识点三：周期性 (1)周期函数：如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数T，使得对定义域内的任意值都成立，T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．（若不特别说明，T一般都是最小正周期） (3)如果函数的周期为T，则函数的周期为； 若为周期函数，则复合函数也是周期函数； (4)常用结论 对定义域内任一自变量的值x： 1　 若，则． 证明： 2　 若，则． 证明： 3　 若，则． 证明： 4　 若，则. 证明： 5　 若，则. 证明： （5） 有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得，∴ 考点8：抽象函数的周期性 【例8.1.】 已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．－2 【例8.2.】 已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【例8.3.】 设函数的定义域为，且，则（    ） A． B．0 C．4 D． 【例8.4.】 已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 考点9：类周期函数 1. 为非零常数) 迭代：． 2. 为非零常数) 迭代：． 3. 若为非零常数) 迭代： 4. 形如 迭代： 或 5. 类周期函数图像作法 我们往往知道其在（或）上的解析式，先作出函数在上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到，各个区间上的图像. 例： 【例9.1.】 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________. 【例9.2.】 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例9.3.】 定义在上的函数满足 . （i）___________. （ii）若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 【例9.4.】 已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 考点10：函数的奇偶性与周期性综合 方法提炼 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【例10.1.】 （多选）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 【例10.2.】 已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例10.3.】 已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 【例10.4.】 已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【例10.5.】 定义在R上的奇函数，满足，时，，则（　　） A． B． C． D． 【例10.6.】 已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2023 【例10.7.】 已知函数的定义域为，若，且，则 . 【例10.8.】 （多选）已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（    ） A． B． C． D． 【例10.9.】 已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（        ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【例10.10.】 （多选）已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 知识点四：对称性 （1）的图象关于直线对称． （2）的图象关于点对称． （3）若，则函数 图象关于点成中心对称， 则． （4） 原函数与导函数对称性之间的关系 1　 若函数的图像关于直线对称，则的图像关于点对称 2　 若函数的图像关于点对称，则的图像关于直线对称 3　 若函数的图像关于直线对称，则的图像关于点对称 4　 若函数的图像关于点对称，则的图像关于直线对称 考点11：由对称性求函数的解析式 【例11.1.】 （多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【例11.2.】 函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【例11.3.】 与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【例11.4.】 已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，则 . 考点12：函数的对称性与单调性综合 【例12.1.】 已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【例12.2.】 已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12.3.】 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例12.4.】 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【例12.5.】 设函数，则满足的的取值范围是 ． 考点13：函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用 方法提炼 1. 对称性与周期性的关系 若定义在上的函数具有“⑴对称性Ⅰ：中心对称或轴对称；⑵对称性Ⅱ：中心对称或轴对称；⑶周期性”中的任意两个条件，则第三个也必然成立．即在⑴⑵⑶中可以“知二求一”. ①若有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. ②若有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. ③若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 【注】可类比正弦（余弦）图像和性质方便记忆 2. 奇偶性与对称性的关系 ①若为偶函数，即，则的对称轴为 【将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称】 ②已知为奇函数，即，则的对称中心为 【将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称】 3. 奇偶性、对称性与周期的关系 ②若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为； ④若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 【例13.1.】 已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【例13.2.】 已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例13.3.】 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D． 【例13.4.】 已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【例13.5.】 （多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 【例13.6.】 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【例13.7.】 定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论： ①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例13.8.】 已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【例13.9.】 已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是的对称中心 C．2是的周期 D． 【例13.10.】 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 【例13.11.】 已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【例13.12.】 （多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 考点14：函数奇偶性、对称性、单调性的综合应用 【例14.1.】 已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例14.2.】 设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14.3.】 已知函数为偶函数，且当时，若，则（    ） A． B． C． D． 【例14.4.】 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点15：函数性质的综合应用 【例15.1.】 已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例15.2.】 已知定义在上的函数在区间 上 单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例15.3.】 （多选）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为周期函数 C．函数为上的偶函数 D． 【例15.4.】 （多选）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增，在上单调递减 D． 【例15.5.】 已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为 【例15.6.】 定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 考点16：利用函数性质比较函数值的大小关系 方法提炼 具体解题步骤为： ①根据已知函数解析式，将需要比较的数值转化为等价带有函数符号的形式； ②分别判断自变量中之间的大小关系，结合函数单调性，推断得到和的大小，对问题做出解答 【例16.1.】 定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例16.2.】 已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例16.3.】 已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 【例16.4.】 已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例16.5.】 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 3. 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 设函数则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 8. 已知是定义在上的奇函数，且满足.若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 9. （多选）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 10. 已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 11. 已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 12. 已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13. 已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 14. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 15. （多选）已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 16. （多选）定义在上的函数同时满足①；②当时，，则（ ） A． B．为偶函数 C．，使得 D． 17. （多选）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B． C． D． 18. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 19. 已知定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，．若，则实数的取值范围为 ． 20. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 21. (多选)已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 22. （多选）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 23. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 24. （多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$3.3 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性与对称性 目录 3知识点一：函数的单调性 3考点1：函数的单调性（单调区间）的确定 6考点2：已知单调性求参数 11考点3：解函数不等式问题 型 12  “数”型 15  “”型 16  “数”型 17 19知识点二：函数的奇偶性 19考点4：判断函数的奇偶性 22考点5：函数奇偶性的应用 22 求解析式 23 求函数值 24 求参数 27考点6：函数的奇偶性与单调性综合 41考点7：“奇函数+常数”类型求解 46知识点三：周期性 47考点8：抽象函数的周期性 50考点9：类周期函数 54考点10：函数的奇偶性与周期性综合 63知识点四：对称性 64考点11：由对称性求函数的解析式 65考点12：函数的对称性与单调性综合 69考点13：函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用 83考点14：函数奇偶性、对称性、单调性的综合应用 86考点15：函数性质的综合应用 94考点16：利用函数性质比较函数值的大小关系 98【强化训练】 知识点一：函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D上单调递增 当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 （2）单调区间的定义：如果函数 在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做 的单调区间． （3）单调性定义的等价形式 设 ，且 ① 在 上是增函数 ② 在 上是减函数 考点1：函数的单调性（单调区间）的确定 方法提炼 确定函数单调性的四种方法 （1）定义法 （2）图象法 如果 是以图象形式给出的，或者 的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用 . （3）性质法 ①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. ②函数 在公共定义域内与 的单调性相反． ③复合函数的单调性：函数 在函数 的定义域上，如果 与 的单调性相同，那么 单调递增；如果 与 的单调性相反，那么 单调递减．（简记：“同增异减”） 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. 已知 ，判断 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】 在区间 上为严格增函数，证明见解析 【分析】根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【详解】 在区间 上为严格增函数． 证明如下： 定义域为 设任意 ，则 ， 由 ，得 ， 即 ， ， ， 所以 ，即 ， 故 在区间 上为严格增函数． 若非零函数 对任意实数 均有 ，且当 时， ，求证： 为 上的减函数. 【解析】 证明：令 且 ，则 故 ，则 又 ，所以 即 为 上的减函数 函数 的单调递减区间是（    ） A． B． 和 C． D． 和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】 ， 则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ； 当 ， 的单调递减区间为 ， 故 的单调递减区间是 和 . 故选：B 函数 的单调递减区间是 _____． 【答案】[1,+∞) 【详解】 ，解得 或 ， 即函数 的定义域为 令 ，可知 在 上单调递减，在 上单调递增. 故 函数在 上单调递减，在 上单调递增. 由于函数 在 上是减函数， 所以 的单调递减区间是 [1,+∞) 函数 的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用导数求出 的单调区间，从而可求出函数的减区间 【详解】当 时， ，则其在 上递减， 当 时， ，则 ， 当 时， ，所以 在 上递减， 综上， 的单调递减区间为 ， 故答案为： 考点2：已知单调性求参数 方法提炼 已知单调性求参数的三种情况： 1、根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))求参； 2、分段函数求参，每段单调性都要符合题意，相邻两段自变量衔接点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性分析得 在 上单调递减，根据 单调性即可得到答案. 【详解】设 ，易知函数 是增函数， 因为 在区间 上单调递减， 所以由复合函数单调性可知， 在 上单调递减. 因为函数 在 上单调递减， 所以 ，即 . 故选：D. 已知函数 且 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对数函数的单调性与底数有关，分 和 两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间 上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得 的取值范围. 【详解】设函数 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． ①若 ，则 在定义域上单调递减． 又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递增，故 对任意的 恒成立． 又 ，所以对任意的 显然成立． 又因为 对任意 恒成立，所以 0，故 ． ②若 ，则 在定义域上单调递增． 又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，故 对任意的 恒成立． 因为抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的开口向上，所以 不可能对任意的 恒成立． 所以 的取值范围为 ． 故选：A． 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得 即 在 上恒成立，构造函数 ， ，由二次函数的性质求出 的最值即可解决问题. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ， ，变形得 ，因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时， ，所以 . 故选：A． 函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令 ，则 ． 当 时， 在 上单调递增， 则由复合函数的单调性可知 在 上单调递增， 且 在 上恒成立， 所以 ，解得 或 （舍去）． 所以 在 上单调递增， 则 ，解得 ． 当 时， 在 上单调递减， 则由复合函数的单调性可知 在 上单调递减， 且 在 上恒成立， 所以 ，解得 或 （舍去）． 所以 在 上单调递减， 则 ，解得 ，与 矛盾． 综上所述， . 故选：C． 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论，当 时直接代入可得函数递减；当 时，求导，构造函数， ，再由 得到抽象函数 ，求出 ，最后再讨论 时的情况，综合得出结果. 【详解】当 时，函数 在 上单调递减，不符合题意，所以 ， 由题可知 恒成立，即 .令 ， 则 ，所以 在 上单调递增，由 ， 可得 ，即 ，所以 ，所以 ， 当 时， ，不符合题意，故 的取值范围是 . 故选：B 已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于 的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当 时， ，可得 在 上递增， 要使得函数 是 上的单调函数， 则满足 ，且 ，解可得 ， 所以实数 的取值范围为 . 故选：B. 已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数 的图象对称轴为 ，依题意， ，得 ， 所以 的取值范围为 . 故选：C 若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析 的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 又函数 在区间 上不单调，所以 ， 故选：B． 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数 的导函数，利用换元法将题目条件转化为 在 上恒成立；再构造函数 ，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立. 令 ， 则 ， 所以 在 上恒成立. 又因为 在 上单调递增， 所以当 时 ， 故 . 故选：D. 考点3：解函数不等式问题 方法提炼 利用函数单调性解答与函数有关的不等式问题， 主要体现在给出不等式求具体解集或已知不等式恒成立求参数范围. 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： ①根据已知不等式构造含有函数值的不等关系式； ②结合函数单调性的定义，使 脱去函数符号，得到 ，或 ； ③ 运算求解，得到完整解答. 型 ． 已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：判断函数 的单调性，再利用单调性解不等式即可. 解法二：特值排除法. 【详解】解法一：函数 的定义域为R，函数 分别是R上的增函数和减函数， 因此函数 是R上的增函数，由 ，得 ，解得 ， 所以原不等式的解集是 . 故选：A 解法二：特值当 时， ，排除B，D，当 时， ，排除C， 对A：当 时， ，因为函数 是R上的增函数，所以 ，故A成立. 故选A． 已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数 的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】 ，易知 在 单调递减， 在 单调递减，且 在 处连续，故 在R上单调递减， 由 ，则 ，解得 , 故不等式 的解集为 . 故选：A 已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数图象，根据单调性得到不等式解出即可. 【详解】画出 的图象如图所示，由图可知 在 上单调递增， 又 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ，解得 . 故选：D.    已知函数 ， ，其中 是函数 的导函数，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导判断 的单调性，将 转化为 ，分离参数 ，构造新函数求新函数的单调性以及最值，从而求出实数 的取值范围. 【详解】由题意知 ，所以 ， 又 ，所以 在 上单调递增. 因为 ，所以 ，故 ， 所以 对任意的 恒成立. 令 ，则 ，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以 ，即实数 的取值范围是 . 故选：C. 已知对 ， ， ，当 时，都有 ，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数 ，可知 在 上单调递增，即 恒成立，可知 ，构造函数，求导，判断函数的单调性与最值，可得参数范围. 【详解】由已知 ，且 ， 则 ， 即 ， 设 ，可知可知 在 上单调递增， 即 恒成立， 即 ， 设 ，则 ， 令 ，解得 ， 则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 则 ， 所以 ， 故答案为： . “ 数”型 已知函数 的定义域为 ，且 若 ，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当 时，判断函数单调性，由单调性可知 ；当 时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知 单调递增，可得 ，然后将原不等式转化为 即可得解. 【详解】当 时， ， 由复合函数的单调性可知 在 上单调递减， 所以 ； 当 时， ， 因为 在 上单调递增， 为增函数， 所以 在 上单调递增， 又 在 上为增函数，所以 在 单调递增， 所以 . 综上， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号. 所以不等式 ， 解得 且 且 ，即原不等式的解集为 . 故选：D 已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， .若 ， ，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得当 时， 的单调性和最值，进而结合 以及恒成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：当 时， ， 可知 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 的最小值为 ； 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， . 令 ，解得 或 ， 因为 ， ，所以 ， 故选：D. “ ”型 设函数 是定义在 上的奇函数，且对于任意的x， ，都有 .若函数 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合 ，及单调性的定义可判断 单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求． 【详解】 ， ， 由于 是定义在 上的奇函数，即 ， ，故 为奇函数， 对于任意的 ， ，有 ， ， 当 时，有 ， 即 ， ， 单调递增， ， ， ， 整理可得， ， 解可得， 或 ， 故选：D “ 数”型 已知函数 则不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得 在 上单调递增，令 ，不等式为变为 ，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数 在 上单调递增， 又 在 上单调递增，又 ， 所以 在 上单调递增. 设 ，可得 在 上单调递增. 又 ，所以原不等式可化为 ， 所以原不等式的解集为 . 故答案为： . 已知函数 ，则不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】要先证明函数的中心对称性，即 ，这样原不等式就可以化为 ，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果. 【详解】由已知得： ， 所以 ，即 则不等式 等价于 ， 再由 ， 可得 在 上单调递增，所以 ，解得 ， 故答案为： . 知识点二：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数 的定义域为I，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫作偶函数 关于 轴对称 奇函数 一般地，设函数 的定义域为I，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫作奇函数 关于原点对称 函数 具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； 若奇函数 在 处有定义，则必有 ； 偶函数 必满足 ； 既是奇函数又是偶函数 ，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； 若函数 的定义域关于原点对称，则 为偶函数， 为奇函数， . 常见的奇函数与偶函数 为偶函数； 为奇函数； 考点4：判断函数的奇偶性 方法提炼 确定函数单调性的三种方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在 的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数， 为偶函数 为偶函数， 为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 【注】复合函数 的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 判断 的奇偶性. 【详解】函数 的定义域为 因为 则 所以函数 是奇函数. 若函数 是奇函数，函数 是偶函数，则下列说法中正确的是 （ ） A．函数 是奇函数 B．函数 是奇函数 C．函数 是奇函数 D．函数 是奇函数 【答案】B 【分析】四个选项中的函数均是由 组合成的函数，需运用性质法求解. 【详解】因为函数 是奇函数，函数 是偶函数 所以 ， 则 所以函数 是奇函数，故选B. 判断分段函数 的奇偶性. 【详解】由题意可知函数的定义域为 ，关于原点对称 在直角坐标系中作出函数的图像，如下图所示 观察此图像可知，函数图像关于 轴对称，所以分段函数 是偶函数. 考点5：函数奇偶性的应用 求解析式 方法提炼 求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式，可将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. 已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用 时， 和 可求得 的解析式. 【详解】设 ，则 ， 所以 ， 又函数 是奇函数，所以 ，即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， . 即 . 故选：C 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当 时要单调独验证. 【详解】解：当 ，又因为 为 上的奇函数， 所以 ，解得 ， 又 ，所以当 ． 故答案为： . 已知 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数， ，则 ． 【答案】27 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数 的解析式，即可得解. 【详解】因为 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数， 而 ，① 所以 ，即 ，② 由① ②得 ，所以 ． 故答案为： . 求函数值 函数 的图象过原点，且 ，若 ，则 . 【答案】 【分析】由对数运算性质以及奇函数的性质运算即可得解. 【详解】由题意 ，所以 ，所以 的定义域为 ， 且 ，且 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 故答案为： . 已知函数 为定义在 上的奇函数，则 ． 【答案】4051 【分析】由已知可得函数 关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数 为定义在R上的奇函数，则 , 且函数 关于中心对称，所以 , ． 故答案为：4051 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 （    ） A．0 B．105 C．210 D．225 【答案】C 【分析】根据题意，由奇函数的性质以及 ，分析可得 ，求出 ， ，即可求解. 【详解】因为 是奇函数，所以 ．由 ，可得 ，则 ． 因为 是奇函数，所以 ，则 ， ， ， ，又 ，则 ， ， ， ， 所以 ． 故选：C 求参数 方法提炼 方法①：根据 或 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值. 方法②：对 或 中的 取具体值而得到方程（组），进而求出参数的值.在解答题中用此方法时，需将所求得的值代入函数，验证函数确实为奇函数或偶函数． 已知 为偶函数，若 ，则 ． 【答案】 或 【分析】由导数判断出 的单调性，当 ，求解方程 ，结合偶函数的性质，即可求得 的值． 【详解】因为 为偶函数，所以 ， 当 时， ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 若 ， ，解得 ， 由 为偶函数得，当 时， ， 故 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 已知函数 为奇函数，则 （    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得 ，结合对数的运算性质计算即可求解. 【详解】因为 为R上的奇函数，所以 ， 即 ， 整理得 ，解得 . 故选：C 若 是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到 ，即可求出 的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质 ，求出 的值，即可得到结果. 【详解】因为 是奇函数， 定义域关于原点对称， 由 ,可得 ， 所以 且 ， 所以 ，解得 ， 所以函数的定义域为 ， 则 ，即 ，解得 ， 此时 ， 符合题意， 所以 . 故答案为： . 已知 ，函数 是奇函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数得 和 ，代入求得 ， ，再代入解析式检验即可. 【详解】因为函数定义域为 且 是奇函数，所以 ，所以 ， 所以 ，由 知 ， 即 ，又因为 ，所以 ， 把 代入 ，满足题意， 所以 . 故答案为： 若函数 为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数得到 ，然后利用方程求解 ，即可得解． 【详解】因为函数 为奇函数， 所以 ， 当 时，则 ， 则 ， 即 ， 所以 ，解得 ， 所以 . 故答案为： . 考点6：函数的奇偶性与单调性综合 方法提炼 （1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）； （2）奇函数利用 ，偶函数利用 ，结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程． 或对偶函数型不等式 ，结合函数图象，得出 的大小关系． （多选）定义在R上的函数 （ 且 ， ），若存在实数m使得不等式 恒成立，则下列叙述正确的是（    ） A．若 ， ，则实数m的取值范围为 B．若 ， ，则实数m的取值范围为 C．若 ， ，则实数m的取值范围为 D．若 ， ，则实数m的取值范围为 【答案】BD 【分析】先判断函数 为奇函数，再分 和 讨论 的单调性，分 和 讨论函数 的单调性，根据复合函数的单调性判断得出 的单调性，利用单调性将 进行等价转化成含参数 的不等式，求解即得. 【详解】对于函数 ，因 EMBED Equation.DSMT4 ，则函数 是奇函数. 不妨设 ，则 ， 对于A项，当 时， 在定义域内为增函数， 因 ，则 在R上也是增函数，故 在R上也是增函数. 由 ，则 ，即 （*）， ①当 时，此时恒成立；② 当 时，由（*）可得 ，解得 ，综上可知， ，故A项错误； 对于B项，当 时， 在定义域内为减函数，因 ，则 在R上也是减函数，故 在R上是增函数， 由A项分析可得， 恒成立可得， ，故B项正确； 对于C项，当 时， 在定义域内为增函数，因 ，则 在R上是减函数，故 在R上是减函数， 由 ，则 ，即 （*）， ①当 时，无解；② 当 时，由（*）可得 ，解得 或 ，综上可知， ，故C项错误； 对于D项，当 时， 在定义域内为减函数，因 ，则 在R上也是增函数，故 在R上是减函数， 由C项分析可得， 恒成立可得， ，故D项正确. 故选：BD. 已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】 ，所以 ，即 为偶函数， 对函数 ， ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 ，所以 ， ，所以 ，故 在 上恒成立. 所以函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增. 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，解得 或 ． 故选：B 设函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数 的定义域为 ， 且 ，所以 为偶函数， 当 时 ，因为 与 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 则 在 上单调递减，不等式 ， 即 ，等价于 ，解得 或 ， 所以不等式的解集为 . 故选：C 设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时， ，且对于任意的实数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，根据题意，可证 为 上的偶函数，且 在 上单调递增，在 上单调递减，又由 转化为 ，即 ，即可得解. 【详解】因为 ， 设 ， 则 ， 即 为 上的偶函数， 又当 时， ， 则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为 ， 所以 ， 即 ，所以 ，即 ， 解得 . 故选：B 已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对任意的 ，都有 ，得 在 上单调递减，由函数 是定义在 上的奇函数得 ， ， 在 上单调递减，画出 的简图，即可求解． 【详解】对任意的 ，都有 ， 所以 在 上单调递减， 因为函数 是定义在 上的奇函数， ， ， 所以 在 上单调递减，则可画出 的简图，如图所示，    所以 ， 则 或 或 ， 即 或 或 ， 解得 ， 故选：D． 已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得. 【详解】令 ，则 ，原函数化为 ， 令 ，显然 ， 即函数 是奇函数，又函数 都是 上的增函数， 因此函数 是 上的增函数，不等式 ， 则 ， 于是 ，解得 ， 所以 的取值范围是 . 故选：A 已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得 ，可将 转化为 ，结合导数可得 在 上单调递增，即可得 . 【详解】由题可得 ， 所以 ， 即有 ，即 ， 故不等式 等价于 ， 又 ， 当 时， ，故 ， 当 时， ， ，故 ， 即 恒成立，故 在 上单调递增， 故由 可得 ，即 . 故选：A. 已知 是定义在 上的奇函数， 也是定义在 上的奇函数，则关于 的不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 为奇函数及 为偶函数可求 ，利用导数可判断 为 上的减函数，从而可求不等式的解. 【详解】因为 ，故 ， 故 ， 因为 是定义在 上的奇函数，故 ， 故 ，故 ，故 ， 此时 ，故 为 上的减函数， 而 等价于 ， 即 即 ，故 或 故选：A . 已知函数 ，若满足 ，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数 的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为 ，再利用奇偶性和单调性求解即可. 【详解】 的定义域为 ， ， 为偶函数， ， ， 当 时， ， ， ， ， 在 上单调递增， ， 即 ， 即 ，也就是 ， 在 单 调递增且为偶函数， ， ，即 ，解得 . 实数 的取值范围为 . 故选：B. 设定义在 上的奇函数 ，其中 为自然对数的底数，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性用导数先证明 单调递增，再由 ，且 单调递增，得到 是 上单调递增的奇函数，再利用抽象函数解不等式即可. 【详解】函数 是定义域为 的奇函数，设 ， 则 单调递增， 所以当 时， ，且 单调递增， 当 时， ，且 单调递增， 因此 是 上的增函数， 结合 是 上的奇函数，可得 是 上单调递增的奇函数． 由 ， 可得 ， 因此 ， 解得 ， 故选：A． 已知 是定义域为 的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到 ，联立方程组，求得 ，结合题意转化为 成立，构造 ，得到 在 单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为 是奇函数， 是偶函数，满足 ， 可得 ， 联立方程组 ，解得 ， 又因为对任意的 ，都有 成立， 所以 ，所以 成立， 构造 ， 所以由上述过程可得 在 单调递增， (i)若 ，则对称轴 ，解得 ； (ii) 若 ， 在 单调递增，满足题意； (iii) 若 ，则对称轴 恒成立； 综上可得， ，即实数 的取值范围为 . 故答案为： . 已知函数 的定义域 ，对任意 ，恒有 ，且当 时， 恒成立， ，则不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，构造 ，利用 的奇偶性和单调性，将问题转化成求解 ，即可求出结果. 【详解】由 ，得 ， 设 ，则 ，取 ，得 ， 取 ，得 ；取 ，得 ， 所以 是偶函数，所以 ， 因为当 时， ，两边同时乘以 ， 得 ，两边同时除以 ，得 ， 即 ，即 ，所以 在 上单调递减. 由 ，得 ，由 ，得 ， 所以 可化为 ， 即 ，所以 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 ， 故答案为： . 已知函数 是偶函数，不等式 恒成立，则b的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据函数 的奇偶性求出 的值，得出 的单调性，再由不等式 解出 ，再令新函数，根据单调性求出 的取值范围，即可求得最大值. 【详解】因为函数 是偶函数， 所以 ， 所以 ，即 ， 化简得 ， 解得 或 ， 又因为 且 ，所以 ， 所以 . 经检验， 对任意 恒成立，所以 . 又因为 ，且 为偶函数， 所以 时， 单调递增， 时， 单调递减， 所以 在 单调递减，在 单调递增. 因为 恒成立， 所以 恒成立. 令函数 ， ， 所以 时， ，函数 单调递减； 时， ，函数 单调递增， 所以 ， 所以 恒成立， 所以 恒成立， 即 恒成立. 令函数 ，所以 所以 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 ， 所以 恒成立. 又因为 ，且 ， 所以存在 ，使得 ， 所以 的解集为 ， 所以b的最大值为1. 故答案为：1 已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，则 （    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性可得：不等式 等价于 ，分 和 两种情况，结合函数单调性可得 ，进而可得结果. 【详解】因为 ，则 ，可知 的定义域为 ， 且 ， 所以 为偶函数； 当 ，则 ，即 ， 可得 ，可知 在 内单调递增， 又因为 ，结合偶函数性质可知： ， 此时 ，可得 ， 若 ，则 ，即 ， 构建 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增， 则 ，即 符合题意； 若 ，则 ，即 ， 构建 ， 因为 在 内单调递增，则 在 内单调递增， 且 ， 可知 在 内存在唯一零点 ， 由 解得 ； 综上所述：不等式 的解集为 ， 此时 ，可得 ， 所以 . 故选：B. 设定义域为 的偶函数 的导函数为 ，若 也为偶函数，且 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令 ，判断 的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为 为偶函数， 所以 ，所以 ， 令 ， 因为 为偶函数， 则 ，即 ， 即 ， 所以 ， 当 时， ，即 在 上单调递减，则 在 上单调递增， 由 ，即 ， 所以 ，即 ，解得 或 ， 即实数 的取值范围是 ． 故选：A． 考点7：“奇函数+常数”类型求解 方法提炼 已知 ，其中 为奇函数， 为常数，则 ① ②则 已知函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，则 （   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数 ，证明 为奇函数，从而得到 ，即可求出 的值. 【详解】令 ，定义域为 ， 因为 在 上的最大值和最小值分别为 ， ， 所以 在 上的最大值和最小值分别为 ， ， 因为 ， 所以 为奇函数， 的图象关于原点对称， 所以 的最大值和最小值互为相反数，即 ， 所以 ， 故选：A. 已知函数 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得 的值. 【详解】 定义域为 ，令 ， 则 ， ∴ 是 上的奇函数， ∴ ， 即 ， 故选：A． 已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后结合基本不等式可得 在 上单调递增，令g ，从而可得 在 上单调递增，且 为奇函数，从而可化为 ，求解即可. 【详解】 ， 在 上单调递增. 令 ， EMBED Equation.DSMT4 在 上单调递增， 因为 ，所以 为奇函数， 则 化为 所以 ，解得 ， . 故选：C 已知函数 ，对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得 ， 在 上单调递减，所以不等式 恒成立，等价于 在 恒成立，即 恒成立，设 ， ，利用导数求出函数 在 的最值即可得答案． 【详解】解：因为 ， ，易知 在 上单调递减， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又因为对于任意的 ，不等式 恒成立， 即对于任意的 ，不等式 恒成立， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． 由 ，知 ， ， 所以当 ，上式等价于 恒成立． 设 ， ， ，开口向上，对称轴为 ， 当 时， ，所以 在 内单调递减，而 ， 所以 ，所以 ，即 ． 故选：C. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可. 【详解】由条件知 ，令 ， 则 ， 易知 ，即 为奇函数， 又 ， 易知 在 时单调递减， 由复合函数的单调性及奇函数的性质得 在R上单调递减， 对于 ， 所以 . 故答案为： . 已知函数 ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数单调性和奇偶性，然后结合单调性及奇偶性求解不等式. 【详解】由已知 ， 因为 ，令 ，则定义域为R， 则 ，故 为奇函数， 又 在 上单调递增， 则 在 上单调递增，又其为奇函数， 故 在 上单调递增， 所以 ，即 ， 所以 ，即 . 故选：A. 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的奇偶性、单调性求解即可. 【详解】由题， ． 设 ， 则 ， ， 所以 为奇函数，且是增函数． 而 ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ， 所以 ，解得 ． 故选：B． 已知函数 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】设函数 ，得到关于函数 的不等式，判断函数 的性质，利用函数性质得到简单的一元一次不等式，解不等式，得结果. 【详解】设函数 ，则 ， ， ， 所以 ， 化简得 ． 因为 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ， ， 所以 为奇函数， 当 时，函数 单调递增，又函数 在其定义域上单调递增，所以 单调递增，又函数 单调递增，故函数 单调递增，又 为奇函数， 所以 在 上单调递增， 故 ，得 ， 解得: ，即原不等式的解集为 ． 故答案为： . 知识点三：周期性 (1)周期函数：如果函数 是周期函数，那么能找到一个非零常数T，使得 对定义域内的任意 值都成立，T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．（若不特别说明，T一般都是最小正周期） (3)如果函数的周期为T，则函数 的周期为 ； 若 为周期函数，则复合函数 也是周期函数； (4)常用结论 对 定义域内任一自变量的值x： 若 ，则 ． 证明： 若 ，则 ． 证明： 若 ，则 ． 证明： EMBED DSEquations \* MERGEFORMAT 若 ，则 . 证明： 若 ，则 . 证明： 有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得 ，∴ 考点8：抽象函数的周期性 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则 （    ） A．1 B．2 C． D．－2 【答案】B 【分析】先求出 的周期，再结合函数 的解析式，即可求解. 【详解】由 ，可得 ， 所以 是以周期为4的周期函数，所以 ， 因为当 时， ，所以 ，即 ， 故选：B 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】借助赋值法可得 ，结合题意计算可得函数的周期，即可得解. 【详解】因为 ，取得 ，即， 又 ，取得 . 由 得 ， 所以函数 的一个周期为 ，故 . 故选：B. 设函数 的定义域为 ，且 ， 则 （    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【分析】令 结合 得 ，令 得 ，令 ， ，得，令 ，分别令 可以得到 ，令 ， 得 的周期为 ，所以 . 【详解】因为 ，令 ，有 ，则 或 ． 若 ，则令 ，有 ，得，与已知 矛盾，所以 ． 令 ，有 ，则 ，得 ． 令 ， ，有 ，得． 令 ， ，有 ，得 EMBED Equation.DSMT4 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ， ，有 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ，有 ，得 ， 令 ，有 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 所以 ，故 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 的周期为 ， 所以 ． 故选：B． 已知函数 与 是定义在上的函数，它们的导函数分别为和 ，且满足 ，且 ，则 （    ） A．1012 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】根据 得到 ，故 ，求导得到 ， 两边求导得到 ，从而得到 ，故 ，故 是 的一个周期，其中 ，根据周期性求出答案. 【详解】由于 ，则 ， 两式相加得 ， 故 ， 所以 ， 故 ，即 ， 其中 两边求导得， ， 故 ， 故 ， 将 替换为 得 ， 又 ， 故 ， 将 替换为 得 ， 则 ， 故 是 的一个周期， 其中 ， 故 ， 故 . 故选：D 考点9：类周期函数 为非零常数) 迭代： ． 为非零常数) 迭代： ． 若 为非零常数) 迭代： 形如 迭代： 或 类周期函数图像作法 我们往往知道其在 （或 ）上的解析式，先作出函数在 上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到 ， 各个区间上的图像. 例： 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________. 【答案】 【分析】 由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值. 【详解】 由题设知， 当时，，故， 同理：在上，， ∴当时，.函数的图象，如下图示. 在上，，得或. 由图象知：当时，.故答案为：. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项． 【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，， 故选：B． 定义在 上的函数 满足 . （i） ___________. （ii）若方程 有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 （i）根据解析式，利用递推法即可得出； （ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得. 【详解】 （i） ; （ii）时，所以的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示.已知; 由图可知若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是， 故答案为：； 已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】 构造函数g（x）＝f（x）-a＝ 作出函数g（x）的图象, 若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点， 结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数 有两个交点. 故答案为 考点10：函数的奇偶性与周期性综合 方法提炼 ①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为： ②已知 为奇函数， 为偶函数，则 的周期为： （多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为 的周期，则 为奇函数 B．若 为奇函数，则2为 的周期 C．若4为 的周期，则 为偶函数 D．若 为偶函数，则4为 的周期 【答案】ABD 【分析】对于A：由已知可得 ，结合周期可得 可判断A；由奇函数可得 ，可判断B；结合已知可得结论 EMBED Equation.DSMT4 ，可判断C；由已知可得 ，可判断D. 【详解】对于A：若2是 的周期，则 ， 由 ，可得 ， 所以 ，所以 为奇函数；故A正确； 对于B：若 为奇函数，则 ， 由 ，可得 ，所以2是 的周期，故B正确； 若4是 的周期，设 ，则 ， 该函数的最小周期为 ，故 为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确； 对于D：若 为偶函数，则 ， 由 ，可得 ，所以 ， 所以 ，所以4是 的周期，故D正确. 故选：ABD. 已知函数 的定义域为 ，若函数 为奇函数，为偶函数，且 ，则 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性推出 的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可. 【详解】因为函数 为奇函数，所以有 ， 又因为 为偶函数，所以 ， 于是有 ， 所以函数 的周期为4，因为 ， 所以 ， 所以 ， 于是 ， 故选：B. 已知 是定义域为 的偶函数， ， ，若 是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得 的周期为 ，再由 是偶函数，得到 ，进而求得 的值. 【详解】因为 是偶函数，又因为 ，其中 为奇函数， 所以 必为奇函数，既有 ， 又因为 ，所以 ， ， 所以函数 的周期为 ， 由函数 是偶函数，可得 ，即 ， 所以 . 故答案为： . 已知 是定义域为 的奇函数且满足 ，则 （ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得 ，得到 是周期为2的周期函数，结合 ，即可求解. 【详解】由 是定义域为 的奇函数，则 ，且 ， 又由 满足 ，即 ， 则有 ，可得 ，即函数 是周期为2的周期函数， 故 . 故选：B. 定义在R上的奇函数 ，满足 ， 时， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合奇函数性质可求m，然后结合奇偶性及周期性即可求解． 【详解】因为定义在R上的奇函数 ，满足 ， 所以 ， 故 的周期为 ，当 时， ， 则 ，所以 ， 所以 ． 故选：C． 已知 为定义在 上的奇函数，设 为 的导函数，若 ，则 （    ） A．1 B． C．2 D．2023 【答案】C 【分析】根据 进行 奇偶性和周期性的推导，得到 是周期为4的偶函数，从而算出 的值. 【详解】因为 ，所以两边求导，得 ， 即 ① 因为 为定义在 上的奇函数，则 ， 所以两边求导，得 ，所以 是定义在 上的偶函数， 所以 ，结合①式可得， ， 所以 ，两式相减得， ， 所以 是周期为4的偶函数， 所以 . 由①式，令 ，得 ，所以 . 故选：C. 已知函数 的定义域为 ，若 ，且 ，则 . 【答案】 【分析】通过赋值法解出 ，由 解出；进而求出 ，再证明函数为偶函数，进而证出 ，结合偶函数得出函数周期，求出 最后求解即可. 【详解】令 ，得 ， 再令 ，得 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 令 ，得 ， 所以 ，即 ， 若 ，则代入 中， ， 由 ，所以 ，即 ，且 ， 令 ，得 ， 由 ，，所以 ， 所以 为偶函数，所以 ， ， 令 ，得 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 为周期函数，周期为4， 所以 ， ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 故答案为： . （多选）已知可导函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数， ，且对任意 ，恒有 ，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出： 是上的奇函数，周期为 ，是上的偶函数，周期为 ；再逐项分析即可解答. 【详解】因为 是上的奇函数， 所以 ， 则 ，即是上的偶函数. 令 ，由 得： ，① 令 取 ，得 ， 结合 是上的奇函数，是上的偶函数，得 ，② 结合 ，由① ②可得： ，即 . 所以 ， 又因为 是上的奇函数， 所以 ， 则 ， 所以函数 ，是周期为 的函数. 对于选项A：因为 ， ， 所以令 ，得 ， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B：因为 是上的奇函数，周期为 ， 所以 ，故选项B正确； 对于选项C：因为 ， 所以 ，故选项C错误； 对于选项D：因为是上的偶函数，周期为 ， 所以 . 令 ， ，由 得： ，解得： ， 所以 ，故选项D正确. 故选：ABD. 已知函数 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ，则（        ） A． 为奇函数 B． 为奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】A选项，根据已知条件推出 是周期为4的周期函数，故 也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出 ；B选项，由得 ，故B错误；D选项，计算出， ，故 ，结合函数的周期得到答案. 【详解】A选项，因为 ，所以 ， 又 ，则有 ， 因为 是奇函数，所以 ， 可得 ，即有与 ， 即 ， 所以 是周期为4的周期函数，故 也是周期为4的周期函数. 因为 且. 所以， 所以 为偶函数. 故A错误， C选项，由 是奇函数，则， 因为，所以， 又 ， 是周期为4的周期函数， 故 ， 所以 ，所以C错误； B选项，由得 ，故 不是奇函数，所以B错误； D选项，因为 ，所以 ， . 所以 ， 所以 ，所以D选项正确 故选：D （多选）已知定义域为R的函数 满足 ， ，且 为奇函数，则（    ） A． B．函数 的一个周期为4 C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇函数的性质得到 ，利用赋值法判断A，令 ，结合 ，即可得到 为偶函数，推出 的周期，即可判断B、C，再由 利用并项求和判断D. 【详解】因为 为定义域为R上奇函数，所以 ，即 ， 在 ，令 ，可得 ，故A错误； 令 ，因为 ，所以 ，即 ， 所以 为偶函数， 又 为奇函数，所以 ， 即 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ，则 ，所以 ， 所以 是以 为周期的周期函数， 所以 ，则 ，故B、C正确； 由 与 得 ， 所以 ， 所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ，故D错误. 故选：BC 知识点四：对称性 （1） 的图象关于直线 对称． （2） 的图象关于点 对称． （3）若 ，则函数 图象关于点 成中心对称， 则 ． 原函数与导函数对称性之间的关系 若函数 的图像关于直线 对称，则 的图像关于点 对称 若函数 的图像关于点 对称，则 的图像关于直线 对称 若函数 的图像关于直线 对称，则 的图像关于点 对称 若函数 的图像关于点 对称，则 的图像关于直线 对称 考点11：由对称性求函数的解析式 （多选）已知函数 的图象的对称轴方程为 ，则函数 的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足 即可. 【详解】若 的图象的对称轴方程为 ，则 ； 对于A， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C， ， ， ， 即 不恒成立，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：BD. 函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【答案】ln （4－x） 【分析】利用对称的定义求解即可. 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即 , 故答案为： 与曲线 关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线 关于原点对称的曲线上任取一点 ，可知点 在曲线 ，将点 的坐标代入曲线 的方程，化简可得结果. 【详解】在与曲线 关于原点对称的曲线上任取一点 ， 则点 关于原点的对称点 在曲线 上，所以， ， 化简得 ， 因此，与曲线 关于原点对称的曲线为 . 故选：A. 已知函数 是定义在R上的偶函数，且对任意实数 都有 ，当 时， ，则 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出当 时的解析式，再根据周期性即可求出 . 【详解】由于 是偶函数，∴当 时， ； 由 得 ，关于 点对称， 当 时， ， ， 并且函数的周期 ， ， ， ， ∴ ； 故答案为： . 考点12：函数的对称性与单调性综合 已知函数 ，则满足不等式 的 取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先推导出 关于直线 成轴对称，令 ， ，对 ， 求导，可得 的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】函数 的定义域为 ，且 ， 所以 ， 所以 关于直线 成轴对称， 因为 ，当且仅当 ， 时取等号， 令 ， ， 则 ， ， 当 时， ， ， 单调递增， 单调递增， 所以 ， ，所以 ， 所以 在区间 上单调递增，则在区间 上单调递减， 又当 时 ， ，所以 ， 当 或 时 ， ，所以 ，且 ， 所以要使得 成立，则 ，解得 ， 故不等式 的 取值范围为 ． 故选：B． 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，即可判断 为奇函数，又 ，可得 图象的对称中心为 ，则 ，再判断 的单调性，不等式 ，即 ，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设 ， ，则 ，所以 为奇函数． 又 ， 则 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的， 所以 图象的对称中心为 ，所以 ． 因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增， 因为 ， 所以 ，所以 ，解得 ， 故满足 的 的取值范围为 ． 故选：B 已知函数 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点 中心对称；通过求导判断导函数为正得 在 上单调递增；再利用对称性将 进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ，即 的图像关于点 中心对称． EMBED Equation.DSMT4 （当且仅当 时等号成立）． 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增． 由 ，得 ． 由 可得 ，即 ， 所以 ，解得 ． 故选：D． 已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数解析式可令 ，且 是 上的增函数并关于点 成中心对称，将不等式变形即可求得 ，解得 . 【详解】易知函数 在 上为单调性递增， 即可得 是 上的增函数， 令 ，则 是 上的增函数， 易知 ，可得 , 即 的图象关于点 成中心对称， 由 可得 ， 即 ，由 可得 ； 所以 ，利用 是 上的增函数可得 ， 解得 . 即 的取值范围是 . 故答案为： 设函数 ，则满足 的 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出函数 ，利用函数图象的平移变换法则得到 ，由导数大于0得函数 单调递增，利用 的单调性去掉“ ”，将原不等式转化为关于 的不等式． 【详解】设 ，则 的定义域为 ， 又 ，故 为奇函数． ， 则 的图象是由 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的， 故 图象的对称中心为 ，所以 ． 因为 恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 由 得 ， 所以 ， 解得 ，故 的取值范围为 ． 故答案为： ． 考点13：函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用 方法提炼 对称性与周期性的关系 若定义在 上的函数 具有“⑴对称性Ⅰ：中心对称或轴对称；⑵对称性Ⅱ：中心对称或轴对称；⑶周期性”中的任意两个条件，则第三个也必然成立．即在⑴⑵⑶中可以“知二求一”. ①若有两条对称轴 ，则 是周期函数且 是它的一个周期. ②若有两个对称中心 ，则 是周期函数且 是它的一个周期. ③若有一个对称中心 和一条对称轴 ，则 是周期函数且 是它的一个周期. 【注】可类比正弦（余弦）图像和性质方便记忆 奇偶性与对称性的关系 ①若 为偶函数，即 ，则 的对称轴为 【将关于 轴对称的偶函数图象向左或向右平移 个单位后，其图象关于直线 对称】 ②已知 为奇函数，即 ，则 的对称中心为 【将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移 个单位后，其图象关于点 对称】 奇偶性、对称性与周期的关系 ②若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为 ； ④若函数 是奇函数 ，且其图象关于直线 对称， 则 的周期为 ． 已知函数 满足：对任意实数 ， ，都有 成立，且 ，则（    ） A． 为奇函数 B． 为奇函数 C． 为偶函数 D． 为偶函数 【答案】D 【分析】由题意令 ，可得 ，令 ，可得 ，可得 关于 对称，据此逐项判断可得结论. 【详解】令 ，则 ， ，所以 ， 令 ，则 ， 即 ，又 ， 所以 关于 对称， 所以 关于 对称，故A不正确； 关于 对称，故B不正确； 由A可知 关于 对称，故C不正确； 由A可知 关于 对称，故 为奇函数， 所以 为偶数，故D正确. 故选：D. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ， ，现有下列4个结论： ① ； ② 的图象关于直线 对称； ③ 是周期函数； ④ . 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据所给等式，结合赋值法推导 出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 所以 是周期为4的周期函数，则③正确. 令 ，得 ， 则 ，从而 ，故①错误； 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 的图象关于直线 对称，则②正确； 易得 的周期为4，且其图象关于直线 及 对称， 则直线 及 均为 图象的对称轴， 从而 . 令 ，得 ， 即 ， 则 ， 故 ，故④正确. 故选： . 已知定义在 上的函数 满足.若的图象关于点 对称，且 ，则（    ） A． 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 的周期为2 D． 【答案】ABD 【分析】对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算即可判断；对C，由A可得 ，由B可得，进而可判断C；对D，由结合 与 的对称性可得 ，进而，结合C中 的周期为4求得，进而可得. 【详解】对A，因为的图象关于点 对称，则的图象关于点 对称， 故 的图象关于点 对称，故A正确； 对B，， ， 又，故. 即，故 的图象关于直线 对称，故B正确； 对C，由A，，且， 又因为，故， 即，故，即 . 由B，，故，故 的周期为4，故C错误； 对D，由 ， 的图象关于点 对称，且定义域为R，则 ， ， 又，代入 可得，则 ， 又 ，故，，，，又 的周期为4，. 则 . 即， 则，故D正确. 故选：ABD 已知 是定义在上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则 （    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出 ，即可求出结果. 【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，函数 的图象关于直线 对称， 又函数 为奇函数，所以 ，所以函数 的图象关于对称， 所以 ，所以 ，即， 所以，则函数 的一个周期为4， 对 ， 令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ，又 ，所以 ， ， 所以 . 故选：A （多选）已知 和 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ，则下列说法中正确的是（   ） A．4为 的一个周期 B．8为 的一个周期 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得 ，用 替换 中的 ，得 ，于是可得 ，进而可得 为周期函数，8为最小正周期，即可判断A；用 替换且 的 ，即可判断B；根据B及 即可判断C；由 ，可得 ， 即可判断D. 【详解】因为 和 分别是定义在 上的偶函数和奇函数， 所以， ，且 ， 又因为 ，所以 ， 即 ，① 用 替换 中的 ，得 ， 即 ，② 由①＋②，得 ， 所以函数关于中心对称，且 ， 由 ，可得 ， ， 所以 ， 所以 为周期函数，8为周期，故A错误； 用 替换且 的 ，得 ， 又因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 为周期函数，8为周期，故B正确； 所以 ，故C正确； 又因为 ，即 ， 令 ，则有 ， 令 ，则有 ， …… 令 ，则有 ， 所以 所以 ，故D正确． 故选：BCD. 设函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，若 1，则 （    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可得 的图象关于点 中心对称且关于直线 轴对称，进而得 的周期为4，即可求解. 【详解】因为 为奇函数，所以 ， 所以 的图象关于点 中心对称，则 . 因为 为偶函数，所以 ， 所以 的图象关于直线 轴对称. 由 ，得 ， 所以 ，则 ， 则 的周期为4， ，则 . 故选：D 定义在 上的函数 满足 ， ， 为奇函数，有下列结论： ①直线 为曲线 的对称轴；②点 为曲线 的对称中心；③函数 是周期函数；④ ；⑤函数 是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据 可得函数对称轴，可判断①；根据 可得函数周期，可判断③；根据 ，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出 ，进而可得 判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤. 【详解】由 知直线 为曲线 的对称轴，①正确； 因为 ，所以 所以 是周期为4的周期函数，③正确； 由 为奇函数有 ，令 得 ，则 的图象关于点 对称， 又直线 为曲线 的对称轴，以 是周期为4的周期函数 则 的对称中心为 ，②错误； 令 ，则 ，所以 ，在 中，令 ，则 . 于是 ， ， ， ，则 ，所以 ，④正确； 因为 的图象关于点 对称 ，因为周期为4， 所以 ，所以 为奇函数，⑤错误. 故选：C. 已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称， ，则 （    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用题设得到 ①和 ②，又由 ，结合①式，推得 的周期为12，利用 求得 和 ，最后利用 的周期性即可求得. 【详解】由函数 的图象关于原点对称， ， 即 ，即 ①， 由函数的图象关于y轴对称，可得 ②， 由 可得 ，又得 ， 两式相加， ，将①式代入，得 ， 则得 ，将②式代入得， ，则 ， 于是 ，即 的周期为12. 又 ，由①可得 ，得 ， 又由 可得 ，即得 . 因 ，可得， ， 于是， 故选：B. 已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若 ，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． 是奇函数 B． 是 的对称中心 C．2是 的周期 D． 【答案】BD 【分析】利用已知恒等式证明 ，从而得到B正确；再推知 及 ，从而计算出D的结果；利用反证法即可说明A和C错误. 【详解】对于A，由已知有 ，所以 是偶函数. 假设 是奇函数，那么必有 ，故 ，矛盾. 所以 不是奇函数，A错误； 对于B，由已知有 ，故 . 所以 ，故 是 的对称中心，B正确； 对于C，由已知有 . 所以 . 假设2是 的周期，那么 ，从而 . 但 ，故 ，矛盾. 所以 不以2为周期，C错误； 对于D，由于 ， ， 故 . 所以 ，即 . 再由 可得 ，即 . 这就得到 ， 故D正确. 故选：BD. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若函数 与 均为偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数 的图象关于点 对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知结合函数的奇偶性，对称性和复合函数的求导可得A，B正确，C错误；惊醒赋值可先求出 ，则有 成立，进而得到D正确. 【详解】对于选项A，因为 为偶函数，可得： ， 即，∴ ，即 ，故选项A正确； 对于选项B，因为 为偶函数，所以 为奇函数，且 ，则 的图象关于点 对称，故选项B正确； 对于选项C， 为偶函数，其导函数 为奇函数， 可得： ，即 ， 得 ， 所以 ，即 ， 则 ，可知 的周期为4， 故选项C错误； 对于选项D，因为 为奇函数， 将 代入，得 ，得 ， 因为 为偶函数，可得： 关于 对称， 由 且 关于 对称，知 ， 又 的周期为4，可得 （ ）， 选项C中有等式 ，即 ， 则有 （ ）成立， ∴ ，故选项D正确； 故选：ABD. 已知函数 为定义在 上的函数 的导函数， 为奇函数， 为偶函数，且 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由 为偶函数可知函数 的图象关于 对称可判断A；由由 可得 知函数的图象对称，可判断B，由8为函数的一个周期，可判断C；求出 ， 可判断D. 【详解】由为奇函数，所以 ， 所以函数 的图象关于 对称， 由 为偶函数，所以 ， 函数 的图象关于 对称，所以 ，故A正确； 由 可得 ， 由 可得 ， 所以函数的图象关于 和对称， 所以 ，故B正确； 由 可得： ， 由 可得： ，所以 ， 即 ，所以 ，即 ， 由 可得： ， 由 可得： ，所以 ， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以8为函数 和的一个周期， ，故 错误； ， ，故D正确. 故选：ABD. （多选）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ， ， ，且 ，则（    ） A． 的图象关于点 中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件分析出 的周期性和对称性，再得到 的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得 ，两式相减可得 ①， 所以 的图象关于点 成中心对称，故A错误； 由 ②，②式两边对 求导可得 ， 可知 是偶函数，以 替换①中的 可得 ， 可得 ，所以 是周期为4的周期函数，故B正确； 因为 ，可知 也是周期为4的周期函数， 即 ，两边求导可得 ，所以 ，故C正确； 因为 ，令 ，则 ，即 ， 又因为 是偶函数，所以 ，又因为 是周期为4的周期函数， 则 ，由 可得 ， 所以 ，D正确. 故选：BCD. 考点14：函数奇偶性、对称性、单调性的综合应用 已知函数 的定义域是 ，对任意的 ， ， ，都有 ，若函数 的图象关于点 成中心对称，且 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，构造函数 ，判断函数 的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由函数 图象关于点 中心对称，知函数 图象关于点 中心对称， 所以 为奇函数. 令 ，则 ，所以 为偶函数， 对于 ，有 ，所以 在 上单调递增， 所以 在 上单调递减. 由 ，得 ， ， 当 时， 变形为 ，即 ，解得 ； 当 时， 变形为 ，即 ，解得 ， 综上，不等式 的解集为 . 故选：B 设函数 ，则满足 的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数 ，发现 为奇函数，从而可得 的对称中心为 ，得到 ，再通过求导可得 与 在R上单调递增，继而求解不等式即可. 【详解】设 ， 由 ，得 ， 所以 为奇函数， 而 ， 则其图象是 的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的， 所以 的对称中心为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 可得 ，当且仅当 时等号成立， 而 ，则 ， 所以 恒成立，即 在 上单调递增， 所以 在R上单调递增， 因为 ， 得 ， 所以 ，解得 . 故选：B. 已知函数 为偶函数，且当 时， EMBED Equation.DSMT4 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断 的图象关于直线 对称，结合当 时的函数解析式，判断其单调性，即可判断 在直线 两侧的增减，从而结合 ，可得 ，化简，即得答案. 【详解】因为函数 为偶函数，故其图象关于y轴对称，则 的图象关于直线 对称， 当 时， ，因为 在 上单调递增且 ， 而 在 上单调递减，故 在 上单调递减， 则 在 上单调递增， 故由 可得 ，即 ， 则 ，故 ， 故选：A 已知定义在R上的函数 的图象关于点 对称， ，且当 时， ．若 ，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象关于点 对称和 找到图象的对称轴和周期，再由 确定单调性，分别求出 ，画出大致图象，最后数形结合求出取值范围. 【详解】由 的图象关于点 对称可得 ． 由 ，可得 ， 故函数 的图象关于直线 对称， 且 ，得 的周期为2． 当 时， ， 单调递增，且 ，则 ， ， 画出 在一个周期内的大致图象如图所示： 当 时，结合图象可得 ，即 ． 故实数m的取值范围为 ． 故选：A. 考点15：函数性质的综合应用 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， .若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】依题意可得 的奇偶性、对称性与周期性，即可得到 的图象，即可得到 ， ，解得即可. 【详解】因为 ，所以 为奇函数； 又因为 ，所以 关于直线 对称； 由 知 的一个周期为 . 因为当 时， ，所以 在 上单调递增， 函数 的图象如图所示， 根据图象可知，若 ，则 ， ， 解得 ， ， 所以实数 的取值范围是 ， . 故选：D． 已知定义在上的函数 在区间 上 单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线 对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数 的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，因为，则函数 关于直线 对称， 由，则函数 关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数 的周期为 ，且，故函数 为偶函数， 因为函数 在区间上单调递增，则函数 的大致图象如下图： 令 ，由，所以， 且， 令 ，由，由得， 所以， 根据对称性， 在单调递减，而，所以， 因为函数 的周期为 ， 所以，故A不正确； 对于B，由于，， 在单调递减， 所以，所以，故B不正确； 对于C，又，， 根据图象 在上单调递增， 所以，故C不正确； 对于C，，且，因为， 所以，故， 因为 在上单调递减，所以，故D正确． 故选：D． （多选）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数 为周期函数 C．函数 为 上的偶函数 D． 【答案】AB 【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D. 【详解】因为 为偶函数， ，故函数图象关于直线 对称， 为奇函数， 1），函数图象关于对称， 对于B， ，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A， ，令 ，故， 又 ，故A正确； 对于C， ，当 时，，即函数在 上递增， 函数图象关于对称，故函数在 上递减，故函数在 上递增， 所以 ，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D， ，故D错误， 故选：AB. （多选）已知 是定义域为 的偶函数， 为奇函数，当 时， ，则（    ） A．当 时， B．当 时， C． 在 上单调递增，在 上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可判断A；利用函数的对称性求解析式即可判断B；由选项AB知 在 上单调递减，结合函数的奇偶性和对称性求出 的周期即可判断C；结合选项C可得 ，即可判断D. 【详解】A：当 时，则 ，因为 是定义域为 的偶函数， 所以 ，故A正确； B：令 ，由题意 ，即 ， 所以 的图象关于点 对称.当 时，则 ， 所以 ，故B正确； C：由选项AB知，当 时 ，当 时 ， 又因为函数 在R上单调递减，所以 在 上单调递减. 又 为偶函数，所以 在 上单调递增. 由 ， ，得 ，即 ， 所以 ，所以4为 的一个周期. 从而 在 上单调递增，故C错误； D：由选项C知， ，故D正确. 故选：ABD 已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有 且 ，函数 满足 ， . 当 时， ，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为 【答案】 . 【分析】由 的性质得 ， ，由 满足的条件得 ， ， 的图象关于点 对称，关于直线 对称， 的一个周期是4，可得 的最值点与最值的结果，结合已知分析求解. 【详解】定义在 上的增函数 ，对任意的 都有 且 ， 则 ，得 ， ，得 ， 当 时， ，则 在 上单调递增，且 ， ， 函数 满足 ，则 的图象关于点 对称， 得 在 上单调递增，且 ， ， ，则 的图象关于直线 对称， 得 在 和 上单调递减，且 ， 由 和 ，得 ， 则有 ， ， 故 的一个周期是4，且在 时取最大值0，在 时取最小值-2， 若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次为 ， ，…， ， 有 或 ， ， 当 时，有 ，方程无正整数解； 当 时，有 ，解得 ； 则有 ，即 ， 所以 的取值范围为 . 故答案为： 定义在 上的函数 满足：对任意 都有 ，且当 时， 恒成立.下列结论中可能成立的有 . ① 为奇函数； ②对定义域内任意 ，都有 ； ③对 ，都有 ； ④ . 【答案】①③④ 【分析】令 ，求得 ，进而推得 ，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据 ，结合基本不等式，可判定③正确；根据 ，结合裂项法求和，可判定④正确. 【详解】对于①中，由对任意 都有 ， 令 ，可得 ，所以 ， 任取，可得 ，可得 ， 所以 ，所以函数 是上的奇函数，所以①正确； 对于②中，设 ，可得 ，则 则有 ， 因为当时， 恒成立，且函数为 为奇函数， 所以当 时， 恒成立，可得 ， 即 ，即 ， 在为减函数， 又因为 为奇函数，所以函数 在为减函数， 且当 时， ；当时， ， 又由 ， 因为 ，不妨设 ，可得 ， ， 所以 ，即 ， 所以②不正确； 对于③中，对于 ，可得 ，则 ， 可得 ，且 ， 因为 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，所以 ， 即 ，所以③正确； 对于④中，因为函数 为奇函数， 可得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以④正确. 故答案为：①③④. 考点16：利用函数性质比较函数值的大小关系 方法提炼 具体解题步骤为： ①根据已知函数解析式，将需要比较的数值转化为等价带有函数符号的 形式； ②分别判断自变量中 之间的大小关系，结合函数单调性，推断得到 和 的大小，对问题做出解答 定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时， 恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小. 【详解】当 时， 恒成立， 即当 时， ，函数 在 上单调递增， 又 为偶函数，即 ，所以函数 关于 对称， 则函数 在 上单调递减， 所以 因为 ，所以 所以 ， 所以 ，即 ， 故选：D. 已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数 的奇偶性，利用导数判断函数 的单调性，令 ，利用导数判断 的单调性，从而可得 ，进而可得比较函数值的大小． 【详解】∵ ， ∴ ，∴ 是偶函数， ， 当 时， ，故函数 在 上单调递增， 令 ，则 ， 即函数 在 上单调递减，故 ， 即可 ，而 ， 所以 ， ∴ ． 故选：C． 已知 ，其中 是奇函数且在 上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数 的奇偶性和单调性，继而判断 的取值范围和大小关系，结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案. 【详解】由于 是奇函数且在 上为增函数，故 ， 当 时， ，且 为偶函数， 且 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， 故 ， 故选：C 已知函数 ，若 ， ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断 的奇偶性与单调性，再构造函数 ，利用导数判断得 ，从而得解. 【详解】因为 的定义域为 ， 又 ， 所以 是偶函数， 又 ， 令 ，则 恒成立， 所以当 时， ，即 ， 又 在 上单调递增，所以 ， 所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增， 构造函数 ，则 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，又 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：B. 已知函数 定义域为 ，且函数 与 均为偶函数，当 时， 是减函数，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得函数 是周期为2的函数，则可得 ， ， 【详解】因为函数 是偶函数，则 ， 又函数 为偶函数，则 ， 即 ，所以函数 是周期为2的函数， 则 ， ， 且当 时， 是减函数， 由 可得 ，即 . 故选：C 【强化训练】 已知函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象经过点 得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解. 【详解】由题意知 ，解得 ，所以 ，其在 上单调递增， 又因为 ，所以函数 为奇函数， ， 所以不等式 可化为 ， 于是 ，即 ，解得 或 . 故选：C． 已知函数 ，则不等式 的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可. 【详解】 ，定义域为 ，又 ，故 为偶函数； 又当 时， 均为单调增函数，故 为 上的单调增函数； 又 ，故当 时， ，则此时 为 上的单调增函数，故 时， 为单调减函数； ，即 ，则 ，即 ， ， 也即 ，解得 . 故选：A. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数的符号得到函数 的单调性，再根据奇函数的定义得到 是奇函数，结合 的单调性得到关于 的不等式，解不等式即可. 【详解】由题， ，则 ， 当且仅当 时取等号，所以函数 在 上单调递减． 因为 ，所以 是奇函数， ， 由 ，得 ，得 ， 解得 ，即实数 的取值范围为 ． 故选：B 已知函数 ，若 满足 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为 ，再利用奇偶性和单调性求解即可. 【详解】由题意可知，函数 ，定义域为 ， 又因为 ， 所以函数 为偶函数， 所以 ， 故 满足 ， 当 时， ， 因为 在 单调递增， 且 ， 所以 ， 因此 在 上单调递增， 在 上单调递减， 注意到 ， 因此 ， 即 ， 解出 的取值范围是 . 故选：D. 设函数 则满足 的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数 ，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为 ，进而得解. 【详解】因为 ， 所以 ， 设 ，显然定义域为 ， ， 又 ， 所以 为 上的奇函数， 又 ， 所以 在 上单调递增， 又 ，则 ， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ， 则满足 的 的取值范围是 ． 故选：C． 已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数 是定义在 上的偶函数， ，再由函数 也是偶函数，变形求得函数 的解析式，并求得函数 的单调区间，即可求解不等式. 【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数， ，所以 ，则 ， 又因为函数 也是偶函数，所以 ，得 ， 因为 为减函数， 为增函数，所以 为减函数， 令 ，得 ， 所以 时， ， 在 上单调递减， 根据偶函数的性质可知，函数 在 上单调递增， 所以 ，即 ，即 ，得 或 ， 所以不等式的解集为 . 故选：D 已知函数 ，则关于 的不等式 解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域为 ，所以定义域关于原点对称，然后得到 ，所以函数 是偶函数，判断出函数在 上的单调性得出距离 轴越远函数值越大，并且注意函数的定义域，得出 ，解不等式组即可. 【详解】由函数 知： ，解得： 或 ， 所以函数的定义域为： ， 因为 ， 所以函数 是偶函数， 因为当 时， 令 ，则 在 上单调递增， 且 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 因为 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 所以函数 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，解得： 或 ， 所以不等式 解集为 . 故选：C 已知 是定义在 上的奇函数，且满足.若 ，则 （    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】推导出函数 为周期函数，并求出周期，根据 是定义在 上的奇函数，可求得 ，再根据已知条件推出 的值，结合周期性即可求解. 【详解】由 是定义在 上的奇函数，知 . 又，所以 . 由，得 ，又 ，所以 ， 所以 ，所以8是函数 的一个周期， 所以 ，所以 . 故选：C （多选）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，则实数 的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】先利用函数 是奇函数，将不等式 转变为 ，再利用函数 在 上单调递增，将不等式 转变为 ，求解即可. 【详解】因为函数 是奇函数， 则不等式 ，可变形为 ， 因为函数 在 上单调递增， 则不等式 成立，则 ， 解得 ，1，2符合题意， 故选：CD. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由 ，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断 性质，再由性质得 即可求范围. 【详解】由题设 ，定义域为 ， ，即 为偶函数， 在 上，令 ，且 ， 则 ， 由 ，故 ，即函数 在 上递增， 而 在定义域上递增，故 在 上递增， 所以 ，可得 ， 故 ，可得 . 故答案为： 已知函数 为定义在 上的函数 的导函数， 为奇函数， 为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数、偶函数性质可得 与 ，分别对两式两边求导可得 与 ，进而可得 的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【详解】因为 为奇函数，所以 ，① 因为 为偶函数，所以 ，② 对①两边求导可得 ，即 ，③ 对②两边求导可得 ，即 ，④ 对于A项，将 代入②可得 ，故A项正确； 对于B项，将 代入④可得 ，故B项正确； 对于C项，将 代入④可得 ，将 代入③可得 ，所以 ，故C项错误； 对于D项，由③可得 ，即 ，⑤ 所以由④⑤可得 ，⑥ 所以由⑥可得 ，即 ，⑦ 由⑦可得 ，⑧ 所以由⑦⑧可得 ，故8是 的一个周期. 所以 ， 将 代入④可得 ，即 ， 由C项知， ， 将 代入⑦可得 ，即 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故D项正确. 故选：C. 已知函数 的图象在x轴上方，对 ，都有 ，若 的图象关于直线 对称，且 ，则 （    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由函数 的图象关于直线 对称，得函数 的图象关于直线 对称，即函数是偶函数，可得 ．再把 代入，可得函数周期为4，求得 ， ，即可求解． 【详解】因为 的图象关于直线 对称， 所以函数 的图象关于直线 对称，即函数 是偶函数，故有 ． 因为 ，都有 ，所以 ， 所以 ，又函数 的图象在x轴上方， 所以 ，所以 ，即函数 的周期为4． 当 ，可得 ，所以 ， 当 ，可得 ，所以 ，所以 ， 所以 . 故选：C． 已知函数 的定义域为 ，且满足 为偶函数，当 时， ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出 ，进而利用对称性和周期性求 即可. 【详解】因为 ①， 所以函数 的图象关于点 对称. 因为 为偶函数，所以 ②， 则函数 的图象关于直线 对称. 由①②得 ，则 ， 故 的周期为4，所以 . 由 ，令 ，得 ，即 ③， 已知 ，由函数 的图象关于直线 对称， 得 . 又函数 的图象关于点 对称，得 所以 ，即 ，所以 ④， 联立③④解得 ， ， 故当 时， . 由 的图象关于点 对称， 可得 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：A. 已知函数 的定义域为R，对 ，且 为 的导函数，则（    ） A． 为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：令 ， 可判断A；对于B：令 ， 进而计算可判断B；对于C： 为奇函数，可得 为偶函数；进而可得 关于 对称，可判断C；对于D：令 ，可得 ，令 ，则 ，两式相加可判断D. 【详解】对于A：令 ，则 ， 为奇函数，故选项A不正确； 对于B：令 ，则 ，令 ，则 为奇函数， ， 的周期为4， ，故选项B正确； 对于C： 为奇函数， 为偶函数； 的周期为4， 为偶函数， ， 关于 对称， 所以 ，令 ，可得 ，令 ，可得 ， 所以 ，故 ， ，故选项C正确； 对于D：令 ，则 ，即 ①， 令 ，则 ②， 由①+②得 ， 故选项D正确. 故选：BCD． （多选）已知函数 ， 及导函数 ， 的定义域均为 .若 是奇函数，且 ， ，则（    ） A． B． 是偶函数 C． D． 【答案】CD 【分析】由 可知， . 结合 ,可得 ，且是奇函数就可以判断A项.根据 , 可知 是周期为4的函数，以及 和 图象得对称点，可以判断B选项不正确. 利用赋值法，找到规律，即可判断C项正确. 根据 ，及周期性可以知道， ，即可判断D项正确. 【详解】因为 ，所以 （ ， ）. 又因为 ，所以， . 则 ，所以 . 于是可得 ，令 ， 则 ，所以 . 所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，即① 因为是奇函数，所以 ②， ， ，所以A错误. 由①②得 ，所以函数 是周期为4的周期函数. 因为 ，因此函数 也是周期为4的函数. 又 的图像关于点对称，所以 的图像关于点 对称，所以B选项不正确.因为 ，令 ，得 ， 即 ，所以 ； 令 ，得 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以C选项正确. 因为 ，所以 ， ， ， ， 则有 ， 可得 ，所以D选项正确. 故选：CD. （多选）定义在 上的函数 同时满足① ；②当 时， ，则（ ） A． B． 为偶函数 C． ，使得 D． EMBED Equation.DSMT4 【答案】ACD 【分析】令 ，求得 ，求得 ，可判定A正确；根据题意求得 和 的值，得到 ，可判定B不正确；由 ，结合叠加法，可判定C正确；设 ，得出函数 是以1为周期的周期函数，且 ，结合绝对值的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为 ， 令 ，可得 ，即 ， 又因为 时， ，即 ， 则 ，即 ，可得 ， 所以 ，所以A正确； 对于B中，由选项A可得 ， 令 ，可得 ，解得 ，所以 ， 所以函数 不是偶函数，所以B错误； 对于C中，因为 ， 当 时， ， 且 ，符合上式，所以 ， 令 ，则 ， 即存在 ，使得 ，所以C正确； 对于D中，令 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ，即函数 是以1为周期的周期函数， 因为 时， ，则 ， 结合周期性可知，对任意 ，均有 ， 所以 又由C项可得 ， 令 ，即 ，即 ， 当 时，上式不成立； 当 时，上式化简得 ，此时方程无解； 当 时，上式化简得 ，此时方程无解； 可得对于任意 ， ， 所以，对于任意 ，都有 成立，所以D正确. 故选：ACD （多选）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 .若 ， ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的图象关于直线 对称 B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：由 可设 ，根据题意分析可得 ， ，即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数 的周期 ，结合周期性分析求解；对于B：分析可知 ，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解. 【详解】对于选项A：因为 ，则 ， 可得 ， 又因为 ，可得 . 令 ，可得 ，解得 ， 可得 ，所以函数 的图象关于直线 对称，A正确； 对于选项C：因为 为奇函数， 可知的图象关于点对称，且 ， 令 ，可得 ，即 ； 令 ，可得 ； 令 ，可得 ； 由函数 的图象关于直线 对称，可得 ； 所以 ， 又因为 ，则 ， 可知函数 的周期 ， 所以 ，故C正确； 对于选项B：由AC可知 ， 可得 ， ， 所以 ，故B错误； 对于选项D：可得 ，故D错误. 故选：AC. 已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且对任意的 ， ，都有 ，则（    ） A． 是奇函数 B． C． 的图象关于 对称 D． 【答案】BC 【分析】根据函数 的奇偶性和题设条件，推得 是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为 为奇函数，所以 ,即函数 关于 对称，C正确; 由函数 关于 对称可知 , 又因为 为偶函数，所以 ，即函数 关于 对称， 则 , 所以 ,即 , 所以 ,所以是 周期为4的周期函数， 所以 ,又 , 所以 ,所以 ,所以 ,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的 ,且 ,都有 ,不妨设 , 则 ,由单调性的定义可得函数 在 上单调递增， 又由函数 关于 对称，所以 在 上单调递增 又 , , 所以 ,得 ，D错误. 故选：BC 已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称，且 ，当 时， ．若 ，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得函数的对称性和周期性，再结合 时的函数解析式得单调性，数形结合求 的取值范围. 【详解】由 的图象关于点 对称，可得 ． 由 ，可得 ， 故函数 的图象关于直线 对称， 且 ， 所以2是 的一个周期． 当 时， ，单调递增， 且 ，则 ， 画出 在 上的大致图象如图所示， 数形结合可得实数 的取值范围为 ． 故答案为： 已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数．若 ，则 （    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线 对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】 为偶函数，则 则 关于 对称， 为奇函数，则 ， 即 ，则关于点 对称， 则由其关于 对称有 ，则 ， 则 ，作差有 ， 为周期函数，且周期为4，因为 ， ，则 ， 因为 ， ，则 ， ，则 ， ， ， 故选：C. (多选)已知非零函数 及其导函数 的定义域均为 ，函数 和 均为奇函数，且 ，则（    ） A．函数 为偶函数 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A：由题意可得： ，求导，结合偶函数的定义分析判断；对于C：分析可知2为 的周期，且 ，结合周期性分析求解；对于BD：分析可知2为 的周期， ，结合周期性分析判断. 【详解】由题意可知：函数 及其导函数 的定义域均为 ， 对于选项A：因为 为奇函数，则 ， 两边同时求导可得 ，即 ， 所以函数 为偶函数，故A正确； 对于选项C：因为 为奇函数，则 ， 令 ，可得 ，即 ， 又因为函数 为偶函数，则 即 ，可得 ， 可知2为 的周期， 由 ，可得 ， 则 ， 令 ，可知 ； 令 ，可得 ，即 ； 综上所述： ， 且 ，所以 ，故C正确； 对于选项BD：因为 ，则 ， 又因为 ，则 ， 令 ，则 ，即 ， 可得 ，即 ， 则 ，即 ， 则 ，则 ， 可知2为 的周期， 对于 ， 令 ，可得，则 ，即 ； 可得 ， 令 ，可得 ，则 ， 令 ，可得 ，则 ， 综上所述： ， 所以 ， ，故B正确，D错误； 故选：ABC. （多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，则（    ） A． 的图象关于点 对称 B． C． D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】对A：由是奇函数可得 ，即可得；对B：由 ，借助赋值法计算即可得解；对C：结合所得可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得. 【详解】对A：由题意知， ，则 ， 所以 图象的对称中心为，故A正确； 对B： ， 两式相减得 ，所以 ，故B正确； 对C：由B选项可得， 的周期为4，又 ， 故 ，令 得， ， 得 0，故C错误； 对D：因为 ，又 ，故 中， 令 得， ，由， 得 ，又 的周期为4， 则 ，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，函数 的图象关于点 对称．若对任意 ，有 ，则下列说法正确的是（   ） A． 不为周期函数 B． 的图象不关于点 对称 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数 的图象关于点 对称， 所以 ，即 ， 则 的图象关于点 对称，B选项错误． 由 ，得 ． 令 ，则 ， 由 ，得 的图象关于直线 对称． 又 的图象关于点 对称，则 ， 所以 ，即 ， 则可得 的图象关于点 对称， 故 为周期函数，且周期为8， ， 所以， ，D选项错误． 又 ，则 ， 所以 ，由 得： ，故 为周期函数，A选项错误． 由 ，两边求导得： ， 由 得： ，令 得： ， 利用 的周期为8，则 ，C选项正确． 故选：C． （多选）定义在 上的函数 满足 ，则（    ） A． 是周期函数 B． C． 的图象关于直线 对称 D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由已知，可得 ，则 的周期为4，即可判断；对于B，令 ，可得 ，则 ，即可判断；对于C，由已知，可得函数 关于 对称， 关于 对称，则的 的图象关于直线 对称，即可判断；由已知，得 ， ，代值可推得 ，即可判断. 【详解】由 可得 ， 所以 ，所以 的周期为4，故A正确； 由 ，令 ， 则 ，所以 ， 又 ，故B正确； 由 ，可知函数 关于 对称， 又 的周期为4，则 ， 所以 ，即函数 关于 对称， 则 的图象关于直线 对称，故C正确； 由 ，且 关于 对称， 则 ，所以 ， 又 ，且 ， 则 ，又 ， 所以 ， ，故D错误. 故选：ABC. _1234568559.bin _1234568558.bin _1234567913.bin $$