圆锥曲线解答题部分-天津市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题汇编

天津市高二上学期期中专题复习 圆锥曲线部分 本资料以2023年天津市各大区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！ 一、解答题 1．（23-24高二上·天津北辰·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 2．（23-24高二上·天津河东·期中）已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求. 3．（23-24高二上·天津和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 4．（23-24高二上·天津蓟州·期中）已知椭圆的离心率为，圆：与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．　 （1）求圆与椭圆的方程； （2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围． 5．（23-24高二上·天津河西·期中）如图，椭圆经过点，且离心率为. (I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）， 问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由． 6．（23-24高二上·天津红桥·期中）设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，. (1)求椭圆的方程； (2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标. 7．（23-24高二上·天津滨海新区·期中）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程. 8．（23-24高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积. 9．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 10．（23-24高二上·天津河北·期中）已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若，（为原点），求直线 的方程； (3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值. 11．（23-24高二上·天津西青·期中）已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 12．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由． 13．（23-24高二上·天津静海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若求椭圆离心率的值. 14．（23-24高二上·天津蓟州·期中）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 15．（23-24高二上·天津河西·期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程. 16．（23-24高二上·天津和平·期中）已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程． 17．（23-24高二上·天津河东·期中）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为． (1)求椭圆C和其“准圆”的方程； (2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围， 18．（23-24高二上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、. ①求证：为定值； ②求面积的最大值 参考答案 1、．(1)；(2)；(3)；(4). 【详解】（1）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可知； （2）不妨设椭圆方程为， 将两点代入得，即椭圆方程为； （3）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可设，则有， 故椭圆方程； （4）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 则， 由题意可设，则有， 故椭圆方程. 2．（1）；（2）. 【详解】（1）由题意知：，即   ① ∵短轴的一个端点到右焦点的距离为，即 ②       又    ③ 由①②③解得：，，∴椭圆的方程为：. (2)由(1)知：椭圆的左焦点，∴直线l的方程为：， 设，，联立： ，整理得：， ，， . 3．(1)(2) 【详解】（1） 设， 则，即， 整理得， 所以动点的轨迹方程为； （2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点， 则， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以. 4．（1），；（2）. 【详解】（1）由题意得，解得，① 因为，所以，点、为椭圆的焦点，所以， 设，则，所以， 当时，，代入①解得，所以，， 所以，圆的方程为，椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立消去可得， ， ，， ， 令，则， 所以，， 所以，所以； ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 解得，，． 综上，的取值范围是． 5．(1) (2)2 【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为. （Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得 ， 由已知，设， 则， 从而直线与的斜率之和 . 6．(1)(2)或. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）如下图所示： 因为四边形与三角形的面积之比为， 所以三角形与三角形的面积比为， 所以，所以， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，所以， 所以，， 所以，解得， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 综上可知，点坐标为或. 7．(1)(2) 【详解】（1）依题意，即， 所以离心率. （2）由（1）可得椭圆方程为，即， 直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线为， 由，消去整理得， 所以，即， 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时，解得， 所以椭圆方程为，即. 8．(1)(2)，的面积为 【详解】（1）由题意知离心率，所以，即. 以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有， 所以，故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为 由，消去得， ∴ ， ，解得. ∴， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 9．(1)；(2)不存在，理由见解析；(3). 【详解】（1）令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为. （2）显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则， 由消去x并整理得：，则，， 由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足， 而 ，解得，与矛盾， 所以不存在实数k使成立. （3）显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，， 由（2）得，设，有，于是得， 因此有，， ，显然，当且仅当时取等号， 因此，解得，则， 所以的取值范围是. 10．(1)；(2)或者；(3) 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以， 又因为，所以，又， 解得， 所以椭圆方程为； （2）如图所示，    由（1）知，所以直线，设， 联立，可得， 易得，所以， 所以， 而， 解得，所以直线方程为或者； （3）如图所示，    过作交于点，所以为点到直线的距离， 即，所以， 又 ， 所以， 所以. 11．（1）；（2）方程为y=0或. 【详解】（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为 （2）由题，当的斜率时，此时， 直线与轴的交点满足题意； 当的斜率时，设直线， 与椭圆联立得，， 设，则，， 又的垂直平分线方程为，由，解得， ，，∵为等边三角形， ，即， 解得(舍去)，，∴直线的方程为 综上可知，直线的方程为y=0或. 12．(1) (2)存在，理由见解析 【详解】（1）由题意知， 又因为解得．所以椭圆方程为． ． （2）存在常数，使恒成立．证明如下： 由得，且． 设，，则    ，  ． 又因为，， ，   所以.又因为线段的中点为，所以，所． 所以存在常数，使恒成立.    13．（1）；（2）． 【详解】设椭圆的焦距为，则. （1），又,故, 点在椭圆上，，解得,故所求椭圆的方程为. （2）在直线上，直线的方程为, 解方程组得点的坐标为, 又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的斜率为，且，,又， 整理得,故，因此. 14．（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，椭圆方程为. (Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为， 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立， 整理得，可得， 代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得. 由题意得，所以直线的斜率为. 由，得， 化简得，从而. 所以，直线的斜率为或. 15．（1）；（2）1，. 【详解】（1）由题意得， 解得， ∴ 所以椭圆C的方程为. （2）由得，. 设，，则，， ∴， 又点到直线的距离为. 所以的面积为， 当且仅当即时，的面积有最大值为1， 此时直线的方程为. 16．（1）（2）直线l的方程为 【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，， ，即 椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆C的方程为； （2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： 且该方程显然有二不等根， 记A，B两点的坐标依次为，， ，即， ，解得， 所求直线l的方程为． 17．(1)椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 (2) 【详解】（1）解：由题意知，且，可得， 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． （2）解：由题意，可设、， 则有，又点坐标为，所以，， 所以 ， 又，所以， 所以的取值范围是． 18．(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，所以，，所以椭圆的标准方程为. （2）①当的斜率为0时，显然，. 当的斜率不为0时，设， 由得， 设，，故有，， 所以. 因为， 所以.综上所述，恒有为定值. ②， 即， 当且仅当，即时取等号（此时适合）， 所以面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$