第二十一章　一元二次方程　单元练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

单元复习课 体系自我构建　　串线连珠 心绘蓝图 目标维度评价　　怀揣梦想 勇攀高峰 维度1 基础知识的应用 1.下列说法正确的是( ) A.方程8x2-7=0的一次项系数为7 B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 C.当k=0时,方程kx2+3x-1=x2不是一元二次方程 D.当m取所有实数时,关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程 2.(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是( ) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 3.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( ) A.-9 B.- C. D.9 4.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.(2023·枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为 　　.  6.(2023·湘西州中考)已知一元二次方程x2-4x+m=0的一个根为x1=1,则另一个根x2=　　.  7.(2023·上海中考)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的取值范围是　　.  8.(2023·广州中考)解方程:x2-6x+5=0. 9.(2023·无锡中考)解方程:2x2+x-2=0. 维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用 10.(2023·朝阳中考)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k>且k≠1 B.k> C.k≥且k≠1 D.k≥ 11.(2023·内江中考)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 12.(2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为( ) A. B.2 C. D.2 13.(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根; (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值. 维度3 实际生活生产中的应用 14.(2023·衢州中考)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程( ) A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x2=36 15.(2023·牡丹江中考)张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5 000元,5月份盈利达到7 200元,从3月到5月,每月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的平均增长率是　　.  16.(2023·东营中考)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈? (2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 17.2023年11月,第一届全国学生(青年)运动会在广西举行,“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱.某超市9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个,10月、11月销售量持续走高,在售价不变的基础上,11月份的销售量达到400个. (1)求10,11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率. (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价为25元,原售价为每个40元,该超市在今年12月进行降价促销,经调查发现,若吉祥物毛绒玩具的销售量在11月的基础上,单价降价1元,月销售量可增加4个,当吉祥物毛绒玩具每个降价多少元时,出售吉祥物毛绒玩具在12月份可获利4 200元? 18.(2022·毕节中考)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如表:(注:利润=销售价-进货价) 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数; (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少? (3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元? 维度4 跨学科应用 19.(与生物结合)(2023·临沂质检)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,求这种植物每个支干长出的小分支个数. 20.(与信息技术结合)(2023·长春期中)有一种电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果,已知A,B两区初始显示的分别是25和-16.如图:第一次按键后,A,B两区分别显示. (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,得A,B两区代数式的和为1,求a的值. 感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声” 数学思想 应用载体 整体思想 利用根与系数的关系进行计算求值 转化思想 选择适当方法降次解一元二次方程 方程思想 列一元二次方程解决实际问题 分类思想 结合题意和情境对一元二次方程的两个根进行检验 数形结合思想 列一元二次方程解决图形有关问题 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元复习课 体系自我构建　　串线连珠 心绘蓝图 目标维度评价　　怀揣梦想 勇攀高峰 维度1 基础知识的应用 1.下列说法正确的是(D) A.方程8x2-7=0的一次项系数为7 B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 C.当k=0时,方程kx2+3x-1=x2不是一元二次方程 D.当m取所有实数时,关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程 2.(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是(D) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 3.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为(C) A.-9 B.- C. D.9 4.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是(A) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.(2023·枣庄中考)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为 　2 019　.  6.(2023·湘西州中考)已知一元二次方程x2-4x+m=0的一个根为x1=1,则另一个根x2=　3　.  7.(2023·上海中考)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的取值范围是　a>9　.  8.(2023·广州中考)解方程:x2-6x+5=0. 【解析】分解因式得:(x-1)(x-5)=0, x-1=0,x-5=0, x1=1,x2=5. 9.(2023·无锡中考)解方程:2x2+x-2=0. 【解析】2x2+x-2=0, ∵a=2,b=1,c=-2, ∴b2-4ac=12-4×2×(-2)=17, ∴x==, ∴x1=,x2=. 维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用 10.(2023·朝阳中考)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(A) A.k>且k≠1 B.k> C.k≥且k≠1 D.k≥ 11.(2023·内江中考)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是(A) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 12.(2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为(C) A. B.2 C. D.2 13.(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根; 【解析】(1)∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m) =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0, ∴方程总有实数根; (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值. 【解析】(2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m, ∵+==-2=-, ∴-2=-,整理得5m2-7m+2=0, 解得m=1或m=. 维度3 实际生活生产中的应用 14.(2023·衢州中考)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程(C) A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x2=36 15.(2023·牡丹江中考)张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5 000元,5月份盈利达到7 200元,从3月到5月,每月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的平均增长率是　20%　.  16.(2023·东营中考)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈? 【解析】(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640, 化简,得x2-36x+320=0, 解得x1=16,x2=20, 当x=16时,72-2x=72-32=40; 当x=20时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈; (2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 【解析】(2)不能, 理由:由题意,得x(72-2x)=650, 化简,得x2-36x+325=0, Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴一元二次方程没有实数根, ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 17.2023年11月,第一届全国学生(青年)运动会在广西举行,“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱.某超市9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个,10月、11月销售量持续走高,在售价不变的基础上,11月份的销售量达到400个. (1)求10,11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率. 【解析】(1)设吉祥物毛绒玩具10,11这两个月销售量的月平均增长率为x,根据题意得256(1+x)2=400, 解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意,舍去). 答:吉祥物毛绒玩具10,11这两个月销售量的月平均增长率为25%; (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价为25元,原售价为每个40元,该超市在今年12月进行降价促销,经调查发现,若吉祥物毛绒玩具的销售量在11月的基础上,单价降价1元,月销售量可增加4个,当吉祥物毛绒玩具每个降价多少元时,出售吉祥物毛绒玩具在12月份可获利4 200元? 【解析】(2)设吉祥物毛绒玩具每个降价y元,则每个毛绒玩具的销售利润为(40-y-25)元,12月可售出(400+4y)个,根据题意得:(40-y-25)(400+4y)=4 200, 整理得y2+85y-450=0, 解得y1=5,y2=-90(不符合题意,舍去). 答:当吉祥物毛绒玩具每个降价5元时,出售吉祥物毛绒玩具在12月份可获利 4 200元. 18.(2022·毕节中考)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如表:(注:利润=销售价-进货价) 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数; 【解析】(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣y件, 依题意得:, 解得:. 答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件. (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少? 【解析】(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80-m)件B款钥匙扣, 依题意得:30m+25(80-m)≤2 200, 解得:m≤40. 设再次购进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960. ∵3>0,∴w随m的增大而增大, ∴当m=40时,w取得最大值,最大值=3×40+960=1 080,此时80-m=80-40=40. 答:当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1 080元. (3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元? 【解析】(3)设B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a-25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件, 依题意得:(a-25)(78-2a)=90, 整理得:a2-64a+1 020=0, 解得:a1=30,a2=34. 答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元. 维度4 跨学科应用 19.(与生物结合)(2023·临沂质检)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,求这种植物每个支干长出的小分支个数. 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x, 依题意得:1+x+x2=43, 整理得:x2+x-42=0, 解得:x1=-7(不合题意,舍去),x2=6. 答:这种植物每个支干长出的小分支个数为6. 20.(与信息技术结合)(2023·长春期中)有一种电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果,已知A,B两区初始显示的分别是25和-16.如图:第一次按键后,A,B两区分别显示. (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; 【解析】(1)25+a2+a2=25+2a2,-16-3a-3a=-16-6a. 答:A区显示的结果为(25+2a2),B区显示的结果为(-16-6a). (2)从初始状态按4次后,得A,B两区代数式的和为1,求a的值. 【解析】(2)依题意,得25+4a2+(-16-12a)=1, 化简,得a2-3a+2=0, 解得a1=2,a2=1. 答:a的值为2或1. 感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声” 数学思想 应用载体 整体思想 利用根与系数的关系进行计算求值 转化思想 选择适当方法降次解一元二次方程 方程思想 列一元二次方程解决实际问题 分类思想 结合题意和情境对一元二次方程的两个根进行检验 数形结合思想 列一元二次方程解决图形有关问题 阶段测评,请使用　“单元质量评价(一)” 学科网（北京）股份有限公司 $$