21.3　实际问题与一元二次方程 同步练习2024-2025学年数学人教版九年级上册

21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时 知识点1　传播、平均变化率问题 1.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是(C) A.(1+x)2=242 B.(2+x)2=242 C.2(1+x)2=242 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242 2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程(D) A.2.25%(1-2x)=1.21% B.1.21%(1+2x)=2.25% C.1.21%(1+x)2=2.25% D.2.25%(1-x)2=1.21% 3.某地区2022年投入教育经费3 000万元,预计2 024年投入4 320万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则可以列方程为　3 000(1+x)2=4 320　.  4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率; 【解析】(1)设每个月盈利的增长率为x,依题意得:6 400(1+x)2=8 100, 解得:x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意,舍去). 答:每个月盈利的增长率为12.5%. (2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元. 【解析】(2)8 100×(1+12.5%)=8 100×1.125=9 112.5(元). 答:按照这个增长率,估计这家商店5月份的盈利将达到9 112.5元. 知识点2　球赛(握手)问题 5.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了3 540张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为(C) A.x(x+1)=3 540 B.2x(x+1)=3 540 C.x(x-1)=3 540 D.=3 540 6.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为 x(x-1)=28　.  7.为了陶冶情操,开发智力,丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数做了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生? 【解析】设象棋特长班共有x名学生, 则每人应握(x-1)次手, 由题意得x(x-1)=105, 即x2-x-210=0, 解得x1=15,x2=-14(不符合题意,舍去). 答:该象棋特长班共有15名学生. 8.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是(D) A.2(1+x)=6.62 B.2(1+x)2=6.62 C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62 9.(名师原创)科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠了132件,那么全组共有学生(A) A.12名 B.12名或66名 C.15名 D.33名 10.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是　4　.  11.随着经济收入的不断提高以及汽车行业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截至2023年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2021年底全市汽车拥有量为10万辆. (1)求2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率; 【解析】(1)设2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率为x, 由题意得10(1+x)2=14.4, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去), 答:2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率为20%. (2)按照这个增长速度,2024年底全市汽车拥有量为多少辆? 【解析】(2)2024年底全市汽车拥有量为:14.4×(1+20%)=17.28(万辆). 答:2024年底全市汽车拥有量为17.28万辆. 12.(应用意识、运算能力)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠.现决定降价销售,已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求y与x之间的函数解析式. 【解析】(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0), 将(2,100),(5,160)代入y=kx+b得:,解得, ∴y与x之间的函数解析式为y=20x+60(0<x<20). (2)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元? 【解析】(2)根据题意得(60-x-40)(20x+60)=2 400, 整理得x2-17x+60=0,解得x1=5,x2=12, 又∵要让顾客获得更大实惠,∴x=12. 答:这种菠萝蜜每千克应降价12元. 21.3　实际问题与一元二次方程 第2课时 知识点1　几何图形中的面积问题 1.(2023·南宁西乡塘区期末)如图,某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30 cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程为(D) A.(30+x)(20+x)=600 B.(30+2x)(20+2x)=600 C.(30-2x)(20-2x)=1 200 D.(30+2x)(20+2x)=1 200 2.(2024·南京期中)图①是一张长28 cm,宽16 cm的矩形纸片,将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80 cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为x cm,根据题意,可列方程为(D) A.(28-2x)(16-2x)=80 B.(28-2×2x)(16-2x)=80 C.(×28-2x)(16-2x)=80 D.(28-2x)(16-2x)=80 3.如图,在一块长32 m,宽24 m的矩形绿地内,建一个矩形花圃. (1)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃四周的绿地等宽,求矩形花圃的周长; 【解析】(1)设矩形花圃四周的绿地宽为x m,则矩形花圃长为(32-2x)m,宽为(24-2x)m,依题意得(32-2x)(24-2x)=×32×24, 整理得x2-28x+96=0, 解得x1=4,x2=24(不符合题意,舍去), ∴2[(32-2x)+(24-2x)]=2×[(32-2×4)+(24-2×4)]=80. 答:矩形花圃的周长为80 m. (2)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半,问这样的矩形花圃能否围出?如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由. 【解析】(2)不能围成符合题意的矩形花圃,理由如下: 设矩形花圃的长为y m,则宽为=(28-y)m, 依题意得y(28-y)=×32×24, 整理得y2-28y+384=0. ∵Δ=(-28)2-4×1×384=-752<0, ∴所列方程没有实数根, ∴不能围成符合题意的矩形花圃. 知识点2　销售问题 4.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有(C) A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320 C.500()2=320 D.500(1-)2=320 5.经销商在销售中发现:某款玩具若以每个50元销售,一个月能售出600个,销售单价每涨1元,月销售量就减少20个,这款玩具的进价为每个45元.当月销售利润达到6 120元时,设售价提价x元,则可列方程为　(50+x-45)(600-20x)=6 120　(使用题目给出的原始数据列方程,不需要化简).  6.(2024·广州期中)如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为161,则这9个数中最小数为(C) A.18 B.13 C.7 D.3 7.一件工艺品进价为100元,标价为135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降低1元出售,则每天可多售出4件,要使顾客尽量得到优惠,且每天获得利润为3 596元,每件工艺品需降价(B) A.4元 B.6元 C.4元或6元 D.5元 8.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为　3米　.  9.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t,当PQ=10 cm时,t的值为 　.  10.(推理能力、运算能力)在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分,将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:9×11-3×17=48, 13×15-7×21=48.不难发现,结果都是48. (1)请证明发现的规律; 【解析】(1)设中间的数为a,则另外4个数分别为(a-7),(a-1),(a+1),(a+7), ∴(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7), =a2-1-(a2-49), =a2-1-a2+49 =48, ∴将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减后的结果为48; (2)若用一个如图所示的菱形框,再框出5个数字,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数; 【解析】(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14), 根据题意得x(x-14)=435, 整理得x2-14x-435=0, 解得x1=29,x2=-15(不符合题意,舍去). 答:这5个数中的最大数是29; (3)嘉琪说:用一个如图所示的菱形框,框出5个数字,其中最小数与最大数的积是95,直接判断嘉琪的说法是否正确(不必叙述理由). 【解析】(3)嘉琪的说法不正确,理由如下: 设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14), 根据题意得y(y-14)=95, 整理得y2-14y-95=0, 解得y1=19,y2=-5(不符合题意,舍去). 又∵19在日历的最后一列, ∴不符合题意, ∴嘉琪的说法不正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时 知识点1　传播、平均变化率问题 1.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是( ) A.(1+x)2=242 B.(2+x)2=242 C.2(1+x)2=242 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242 2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程( ) A.2.25%(1-2x)=1.21% B.1.21%(1+2x)=2.25% C.1.21%(1+x)2=2.25% D.2.25%(1-x)2=1.21% 3.某地区2022年投入教育经费3 000万元,预计2 024年投入4 320万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则可以列方程为　　.  4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率; (2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元. 知识点2　球赛(握手)问题 5.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了3 540张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( ) A.x(x+1)=3 540 B.2x(x+1)=3 540 C.x(x-1)=3 540 D.=3 540 6.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为 　.  7.为了陶冶情操,开发智力,丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数做了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生? 8.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是( ) A.2(1+x)=6.62 B.2(1+x)2=6.62 C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62 9.(名师原创)科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠了132件,那么全组共有学生( ) A.12名 B.12名或66名 C.15名 D.33名 10.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是　 　.  11.随着经济收入的不断提高以及汽车行业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截至2023年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2021年底全市汽车拥有量为10万辆. (1)求2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率; (2)按照这个增长速度,2024年底全市汽车拥有量为多少辆? 12.(应用意识、运算能力)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠.现决定降价销售,已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求y与x之间的函数解析式. (2)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元? 21.3　实际问题与一元二次方程 第2课时 知识点1　几何图形中的面积问题 1.(2023·南宁西乡塘区期末)如图,某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30 cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程为( ) A.(30+x)(20+x)=600 B.(30+2x)(20+2x)=600 C.(30-2x)(20-2x)=1 200 D.(30+2x)(20+2x)=1 200 2.(2024·南京期中)图①是一张长28 cm,宽16 cm的矩形纸片,将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80 cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为x cm,根据题意,可列方程为( ) A.(28-2x)(16-2x)=80 B.(28-2×2x)(16-2x)=80 C.(×28-2x)(16-2x)=80 D.(28-2x)(16-2x)=80 3.如图,在一块长32 m,宽24 m的矩形绿地内,建一个矩形花圃. (1)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃四周的绿地等宽,求矩形花圃的周长; (2)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半,问这样的矩形花圃能否围出?如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由. 知识点2　销售问题 4.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有( ) A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320 C.500()2=320 D.500(1-)2=320 5.经销商在销售中发现:某款玩具若以每个50元销售,一个月能售出600个,销售单价每涨1元,月销售量就减少20个,这款玩具的进价为每个45元.当月销售利润达到6 120元时,设售价提价x元,则可列方程为　 　(使用题目给出的原始数据列方程,不需要化简).  6.(2024·广州期中)如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为161,则这9个数中最小数为( ) A.18 B.13 C.7 D.3 7.一件工艺品进价为100元,标价为135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降低1元出售,则每天可多售出4件,要使顾客尽量得到优惠,且每天获得利润为3 596元,每件工艺品需降价( ) A.4元 B.6元 C.4元或6元 D.5元 8.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为　 　.  9.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t,当PQ=10 cm时,t的值为　.  10.(推理能力、运算能力)在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分,将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:9×11-3×17=48, 13×15-7×21=48.不难发现,结果都是48. (1)请证明发现的规律; (2)若用一个如图所示的菱形框,再框出5个数字,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数; (3)嘉琪说:用一个如图所示的菱形框,框出5个数字,其中最小数与最大数的积是95,直接判断嘉琪的说法是否正确(不必叙述理由). 学科网（北京）股份有限公司 $$