24.2.2　直线和圆的位置关系 同步练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2　直线和圆的位置关系 第1课时 【A层 基础夯实】 知识点1　判定直线和圆的位置关系 1.已知☉O的半径是6,圆心到直线l的距离d=5,则直线l与☉O的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 2.在平面直角坐标系中,以点A(2,1)为圆心,1为半径的圆与y轴的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 3.在Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以A为圆心,半径长度为4.8的圆与直线BC的公共点的个数为　　.  4.已知☉O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系是　　.  5.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么? 知识点2　根据直线和圆的位置关系求值 6.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 ( ) A.3 B.4 C.4.5 D.5 7. (名师原创)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以点B为圆心,r为半径作圆,且☉B与边CD有唯一公共点,则r的取值范围是　 　.  8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r. (1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系. (2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值. 【B层 能力进阶】 9.☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相离 10.如图,已知☉O圆心是数轴原点,半径为1,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 ( ) A.-1≤x≤1　 B.-≤x≤ C.0<x≤　 D.x> 11.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),☉A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切☉A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为( ) A.(-4,0)　 B.(-2,0) C.(-4,0)或(-2,0)　 D.(-3,0) 12.如图,P是抛物线y=x2-4x+3上的一动点,以P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,且☉P与x轴相切,满足条件的圆共有　　个.  13.如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动. (1)当圆心O移动的距离为1 cm时,则☉O与直线PA的位置关系是什么? (2)若圆心O的移动距离是d,当☉O与直线PA相交时,则d的取值范围是什么? 【C层 素养冲A+(选做)】 14.我们在研究问题时,可以改变研究的对象,提出一些新的问题,解决这些新的问题又可以获得一些新的发现.比如,研究了“直线与圆的位置关系”后,我们可以这样改变研究的对象: (1)把研究对象“直线”改为“射线”,可以提出下面的问题: 如图是射线AB和☉O.改变射线AB的位置,如果以它们公共点的个数情况以及端点A与O的位置关系作为标准,请尝试将射线AB和O的位置关系进行分类(要求:每一种类型画出一个示意图). (2)把研究对象“圆”改为“正方形”,可以提出下面的问题: ①在直线和正方形的各种位置关系中,它们的公共点个数有哪几种情况? ②已知正方形ABCD的边长是1,其中心到直线l的距离是d,当正方形ABCD与直线l有且只有一个公共点时,d的取值范围是　　　　　　　.  素养提升攻略 数学史料 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi(973~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理. 阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC. 素养训练15推理能力、模型观念、几何直观 下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程. 证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF. ∵D是的中点,∴DA=DC. 任务: (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,求△BDC的周长是　　　　.  涨知识了 垂距点 　　点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”. 素养训练16运算能力、几何直观、模型观念 阅读上面的材料,回答下列问题: (1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为　　　　;  (2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标; (3)☉T的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2　直线和圆的位置关系 第1课时 【A层 基础夯实】 知识点1　判定直线和圆的位置关系 1.已知☉O的半径是6,圆心到直线l的距离d=5,则直线l与☉O的位置关系是 (C) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 2.在平面直角坐标系中,以点A(2,1)为圆心,1为半径的圆与y轴的位置关系是 (A) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 3.在Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以A为圆心,半径长度为4.8的圆与直线BC的公共点的个数为　1　.  4.已知☉O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系是　相交或相切　.  5.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么? 【解析】由题中已知条件,得BO⊥AC,BO=BD==,即点B到AC的距离为,与☉B的半径相等, ∴直线AC与☉B相切. ∵EF∥AB,∠ABC=90°, ∴BE⊥EF,垂足为E,且BE=BC=×2=1<,∴直线EF与☉B相交. 知识点2　根据直线和圆的位置关系求值 6.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 (A) A.3 B.4 C.4.5 D.5 7. (名师原创)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以点B为圆心,r为半径作圆,且☉B与边CD有唯一公共点,则r的取值范围是　3≤r≤5　.  8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r. (1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系. (2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值. 【解析】(1)解方程x2-9x+20=0得 d=5,r=4或d=4,r=5, 当d=5,r=4时,d>r,此时直线m与☉O相离; 当d=4,r=5时,d<r,此时直线m与☉O相交; (2)当直线m与☉O相切时,d=r, 即16-4p=0,解得p=4. 【B层 能力进阶】 9.☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是(C) A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相离 10.如图,已知☉O圆心是数轴原点,半径为1,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 (C) A.-1≤x≤1　 B.-≤x≤ C.0<x≤　 D.x> 11.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),☉A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切☉A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为(D) A.(-4,0)　 B.(-2,0) C.(-4,0)或(-2,0)　 D.(-3,0) 12.如图,P是抛物线y=x2-4x+3上的一动点,以P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,且☉P与x轴相切,满足条件的圆共有　3　个.  13.如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动. (1)当圆心O移动的距离为1 cm时,则☉O与直线PA的位置关系是什么? (2)若圆心O的移动距离是d,当☉O与直线PA相交时,则d的取值范围是什么? 【解析】(1)如图,当点O向左移动1 cm时,PO'=PO-O'O=3-1=2(cm), 作O'C⊥PA于C, ∵∠P=30°, ∴O'C=PO'=1 cm, ∵圆的半径为1 cm, ∴☉O与直线PA的位置关系是相切; (2)如图,当点O由O'向左继续移动时,PA与圆相交, 当移动到O″时,相切, 此时O″P=PO'=2 cm, ∵OP=3 cm, ∴OO'=1 cm,OO″=OP+O″P=3+2=5(cm). ∴点O移动的距离d的范围满足1 cm<d<5 cm时相交. 【C层 素养冲A+(选做)】 14.我们在研究问题时,可以改变研究的对象,提出一些新的问题,解决这些新的问题又可以获得一些新的发现.比如,研究了“直线与圆的位置关系”后,我们可以这样改变研究的对象: (1)把研究对象“直线”改为“射线”,可以提出下面的问题: 如图是射线AB和☉O.改变射线AB的位置,如果以它们公共点的个数情况以及端点A与O的位置关系作为标准,请尝试将射线AB和O的位置关系进行分类(要求:每一种类型画出一个示意图). (2)把研究对象“圆”改为“正方形”,可以提出下面的问题: ①在直线和正方形的各种位置关系中,它们的公共点个数有哪几种情况? ②已知正方形ABCD的边长是1,其中心到直线l的距离是d,当正方形ABCD与直线l有且只有一个公共点时,d的取值范围是　　　　　　　.  【解析】(1)共6种情况,如图①~图⑥. (2)①公共点个数共有4种情况:没有公共点,1个公共点,2个公共点,无数个公共点; ②由题意,作出图形如下: 由题可知,BC=1,设O是正方形的中心. 则OB=·=, 所以<d≤. 答案:<d≤ 素养提升攻略 数学史料 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi(973~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理. 阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC. 素养训练15推理能力、模型观念、几何直观 下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程. 证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF. ∵D是的中点,∴DA=DC. 任务: (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,求△BDC的周长是　　　　.  【解析】(1)证明:如题图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF. ∵D是的中点,∴DA=DC, ∵∠A=∠C,AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF,∠F=∠DEA,∵DE⊥AB,∴∠F=∠DEB=90°, ∵DB=DB,∴Rt△DBF≌Rt△DBE(HL), ∴BF=BE, ∴CF=BC+BF=BC+BE, ∴AE=BC+BE; (2)如图,等边△ABC内接于☉O, ∵AB=AC=BC=6, ∴=, ∵AE⊥BD, ∴BE=DE+CD, ∵∠ABE=45°, ∴△ABE是等腰直角三角形, ∴BE=AB=3, ∴△BDC的周长=BD+CD+BC=2BE+BC=6+6. 答案:6+6 涨知识了 垂距点 　　点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”. 素养训练16运算能力、几何直观、模型观念 阅读上面的材料,回答下列问题: (1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为　　　　;  (2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标; (3)☉T的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是　　　　.  【解析】(1)∵|2|+|2|=4, ||+|-|=4,|-1|+|5|=6≠4,∴是“垂距点”的点为A,B. 答案:A,B (2)设函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标(a,2a+3),依题意得,|a|+|2a+3|=4. ①当a>0时,a+(2a+3)=4,解得a=,∴此时“垂距点”的坐标为(,); ②当-<a<0时,-a+(2a+3)=4,解得a=1(不合题意,舍去); ③当a<-时,-a-(2a+3)=4,解得a=-, ∴此时“垂距点”的坐标为(-,-). ∴综上所述,函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是(,),(-,-). (3)设“垂距点”的坐标为(x,y),则|x|+|y|=4(xy≠0), 当x>0,y>0时,x+y=4,即y=-x+4(0<x<4); 当x<0,y>0时,-x+y=4,即y=x+4(-4<x<0); 当x<0,y<0时,-x-y=4,即y=-x-4(-4<x<0); 当x>0,y<0时,x-y=4,即y=x-4(0<x<4), 画出该函数图象,如图所示. 当☉T与DE相切时,过点T作TN⊥直线DE于点N,易证△DNT为等腰直角三角形, ∴TN=TD=×|4-1|=;当☉T过点F(-4,0)时,☉T上不存在“垂距点”, 此时r=FT=|1-(-4)|=5.∴若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是<r<5. 答案:<r<5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时 【A层 基础夯实】 知识点1　圆的切线的判定 1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 ( ) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF 2.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,求证:PD是☉O的切线. 知识点2　切线的性质 3.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠ABC=35°,则∠OCB的度数为( ) A.65°　 B.55°　 C.35°　 D.50° 4.(2022·河池中考)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 ( ) A.25° B.35° C.40° D.50° 5.如图,☉O与AB相切于点B,连接AO交☉O于点E,过点B作BF∥OA交☉O于点F,连接EF.若∠A=40°,则∠OEF的度数为 　.  6.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 　.  7.如图,AB,CD是☉O中两条互相垂直的直径,垂足为O,E为上一点,连接AE交CD于点M,过点E作☉O的切线,分别交DC,AB的延长线于F,G. (1)求证:EF=MF; (2)若☉O的半径为6,FE=8,求AM的长. 【B层 能力进阶】 8.如图所示,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的点,CD⊥AB,垂足为点G,∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,角度为30°的角的个数为( ) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 9.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,CD与AB交于点E.☉O的切线CF交AB的延长线于点F,且CF=EF. (1)求证:点D是的中点; (2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=8,BF=4,求AG的长. 【 10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是☉O的切线; (2)当AB=5,BC=6时,求DE的长. 【C层 素养冲A+(选做)】 11.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,2),C(-4,0),且AB=2.以BC为直径作☉O1交OC于点D,过点D作直线DE交线段OA于点E,且∠EDO=30°. (1)求证:DE是☉O1的切线; (2)若线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切,求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时 【A层 基础夯实】 知识点1　圆的切线的判定 1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 (D) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF 2.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,求证:PD是☉O的切线. 【解析】连接OD,如图, ∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ODA+∠BDO=90°. ∵OD=OB, ∴∠OBD=∠ODB, ∴∠ODA+∠OBD=90°. ∵∠PDA=∠PBD, ∴∠ODA+∠PDA=90°, ∴∠ODP=90°, ∴OD⊥PD. ∵OD为☉O的半径, ∴PD是☉O的切线. 知识点2　切线的性质 3.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠ABC=35°,则∠OCB的度数为(B) A.65°　 B.55°　 C.35°　 D.50° 4.(2022·河池中考)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 (C) A.25° B.35° C.40° D.50° 5.如图,☉O与AB相切于点B,连接AO交☉O于点E,过点B作BF∥OA交☉O于点F,连接EF.若∠A=40°,则∠OEF的度数为　25°　.  6.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 　.  7.如图,AB,CD是☉O中两条互相垂直的直径,垂足为O,E为上一点,连接AE交CD于点M,过点E作☉O的切线,分别交DC,AB的延长线于F,G. (1)求证:EF=MF; (2)若☉O的半径为6,FE=8,求AM的长. 【解析】(1)如图,连接OE, ∵CD⊥AB,∠COA=90°, ∴∠A+∠AMO=90°, ∵EF是☉O的切线, ∴∠OEF=90°,即∠OEA+∠FEM=90°, ∵OA=OE, ∴∠A=∠OEA, ∴∠AMO=∠FEM, 又∵∠AMO=∠FME, ∴∠FEM=∠FME, ∴FE=FM; (2)由(1)知∠OEF=90°, ∵OE=6,FE=8, ∴OF==10, 由(1)知FE=FM, ∴FM=FE=8, ∴OM=OF-FM=2, ∴在Rt△AOM中,AM==2, 即AM的长为2. 【B层 能力进阶】 8.如图所示,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的点,CD⊥AB,垂足为点G,∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,角度为30°的角的个数为(D) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 9.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,CD与AB交于点E.☉O的切线CF交AB的延长线于点F,且CF=EF. (1)求证:点D是的中点; (2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=8,BF=4,求AG的长. 【解析】(1)连接OC,OD, ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC, ∵CF=EF, ∴∠FCE=∠FEC=∠OED, ∵CF是☉O的切线, ∴OC⊥CF, ∴∠OCD+∠FCE=90°, ∴∠ODC+∠OED=90°, ∴∠DOE=90°, ∴∠DOE=∠AOD=90°, ∴点D是的中点; (2)作GH⊥AB于H点. 设☉O的半径为r,则OF=r+4, 在Rt△COF中,OC2+CF2=OF2, ∴r2+82=(r+4)2, 解得r=6, ∵OD⊥AB,GH⊥AB, ∴GH∥OD, ∵G是BD的中点, ∴GH是△OBD的中位线, ∴BH=OB=3,GH=OD=3, ∴AH=AB-BH=9, 在Rt△AHG中,AH2+HG2=AG2, ∴AG==3. 10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是☉O的切线; (2)当AB=5,BC=6时,求DE的长. 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠C=∠OBD, ∵OD=OB,∴∠1=∠OBD, ∴∠1=∠C,∴OD∥AC, ∵EF⊥AC,∴EF⊥OD,且OD为☉O的半径, ∴EF是☉O的切线; (2)连接AD,∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°, 又∵AB=AC,且BC=6, ∴CD=BD=BC=3, 在Rt△ACD中,AC=AB=5,CD=3, 根据勾股定理得:AD==4, 又S△ACD=AC·ED=AD·CD, 即×5·ED=×4×3, ∴ED=. 即DE的长为. 【C层 素养冲A+(选做)】 11.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,2),C(-4,0),且AB=2.以BC为直径作☉O1交OC于点D,过点D作直线DE交线段OA于点E,且∠EDO=30°. (1)求证:DE是☉O1的切线; (2)若线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切,求点P的坐标. 【解析】(1)连接O1D,BD,如图, ∵A(0,2),C(-4,0), ∴OA=2,OC=4. ∵以BC为直径作☉O1交OC于点D, ∴∠BDC=90°. ∵AB∥OC,OC⊥OA, ∴AB⊥OA, ∴四边形ABDO为矩形, ∴OD=AB=2,BD=OA=2, ∴CD=OC-OD=2, ∴BC==4, ∴O1C=O1D=2, ∴△O1CD为等边三角形, ∴∠O1CD=∠O1DC=60°, ∵∠EDO=30°, ∴∠O1DE=180°-∠O1DC-∠EDO=90°, ∴O1D⊥DE, ∵O1D为☉O1的半径, ∴DE是☉O1的切线; (2)∵线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切, ∴点P到y轴的距离等于PC. 过点P作PF⊥y轴于点F,PH⊥x轴于点H,如图, 则PF=PC. 由(1)知:∠BCO=60°, ∴CH=PC,PH=PC. ∵PF⊥y轴,PH⊥x轴,OA⊥OC, ∴四边形PHOF为矩形, ∴OH=PF=PC, ∴OC=CH+OH=PC+PC=4, ∴PC=, ∴PF=OH=,PH=×=, ∴点P的坐标为(-,). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时 【A层 基础夯实】 知识点1　切线长定理 1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 ( ) A.4 B.8 C.4 D.8 2.如图,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,DE分别交PA,PB于D,E,已知PA=PB=8 cm,则△PDE的周长为 ( ) A.16 cm B.14 cm C.12 cm D.8 cm 3.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是( ) A.32°　 B.48°　 C.60°　 D.66° 4.如图,已知:四边形ABCD是☉O的外切四边形,G,H,E,F分别是切点,求证:AD+BC=AB+CD. 知识点2　内切圆及其内心的性质 5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE= ( ) A.70° B.110° C.120° D.130° 6.直角三角形的两条直角边长分别是5和12,则它的内切圆半径为　 　.  7.如图,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E. (1)BE与IE相等吗?请说明理由. (2)连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想. 【B层 能力进阶】 8.如图所示,☉O内切于△ABC,切点分别为点D,点E,点F,已知AB=BC,∠B=40°,连接DE,EF,则∠DEF的度数为( ) A.40° B.55° C.65° D.70° 9.如图,在一张Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,☉O是它的内切圆.小明用剪刀沿着☉O的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 ( ) A.19　 B.17　 C.22　 D.20 10.(名师原创)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为　 　.  11.如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(4,3),☉M是△AOC的内切圆,点N、点P分别是☉M,x轴上的动点,则BP+PN的最小值是　 　.  12.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连接BP. (1)求证:BD=PD; (2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A在Oy上滑动,点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A,B与O不重合),Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA,OB,AB切于E,F,P. (1)在上述变化过程中:Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB的外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由; (2)当AE=4时,求☉K的半径r; (3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求:S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长. 素养提升攻略 涨知识了 弦切角及弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2 000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“圆,一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一,我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数. 素养训练17推理能力、几何直观、模型观念 【证明】 在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C. (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C. 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:　　　　　.  数学史料 数学瑰宝——《九章算术》 《九章算术》是中国传统数学重要的著作,确定了中国传统数学的基本框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格.其影响之深,以致以后中国数学著作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例成书。 素养训练18运算能力、几何直观、推理能力 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少?” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时 【A层 基础夯实】 知识点1　切线长定理 1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 (B) A.4 B.8 C.4 D.8 2.如图,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,DE分别交PA,PB于D,E,已知PA=PB=8 cm,则△PDE的周长为 (A) A.16 cm B.14 cm C.12 cm D.8 cm 3.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(D) A.32°　 B.48°　 C.60°　 D.66° 4.如图,已知:四边形ABCD是☉O的外切四边形,G,H,E,F分别是切点,求证:AD+BC=AB+CD. 【证明】∵四边形ABCD是☉O的外切四边形, ∴AH=AE,BE=BF,CF=CG,DH=DG, ∴AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG, 即AD+BC=AB+CD. 知识点2　内切圆及其内心的性质 5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE= (B) A.70° B.110° C.120° D.130° 6.直角三角形的两条直角边长分别是5和12,则它的内切圆半径为　2　.  7.如图,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E. (1)BE与IE相等吗?请说明理由. (2)连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想. 【解析】(1)如图1,连接BI, ∵I是△ABC的内心, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4, 而∠5=∠2=∠1,∴∠BIE=∠IBE, ∴IE=BE. (2)四边形BECI是菱形, 如图2,∵∠BED=∠CED=60°, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴BE=CE, ∵I是△ABC的内心, ∴∠4=∠ABC=30°,∠ICD=30°, ∴∠4=∠ICD, ∴BI=IC, 由(1)证得IE=BE,∵∠BED=60°, ∴BE=CE=BI=IC, ∴四边形BECI是菱形. 【B层 能力进阶】 8.如图所示,☉O内切于△ABC,切点分别为点D,点E,点F,已知AB=BC,∠B=40°,连接DE,EF,则∠DEF的度数为(B) A.40° B.55° C.65° D.70° 9.如图,在一张Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,☉O是它的内切圆.小明用剪刀沿着☉O的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 (D) A.19　 B.17　 C.22　 D.20 10.(名师原创)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为　68°　.  11.如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(4,3),☉M是△AOC的内切圆,点N、点P分别是☉M,x轴上的动点,则BP+PN的最小值是　4　.  12.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连接BP. (1)求证:BD=PD; (2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长. 【解析】(1)∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵点P是△ABC的内心, ∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP, ∴∠ABD=∠ACD=45°, ∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP, ∴∠DPB=∠DBP, ∴BD=PD; (2)连接AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示: ∵AB是直径,∠ABD=45°, ∴AB=6,△ABD是等腰直角三角形, ∴BD=AB=×6=6, ∵∠BCD=45°,BH⊥CD, ∴∠BCH=∠CBH=45°, ∴BH=CH,∴BC=BH, ∵BD2=DH2+BH2, ∴36=(8-BH)2+BH2, ∴BH=4±,∵BC>AC, ∴BC=4+2. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A在Oy上滑动,点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A,B与O不重合),Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA,OB,AB切于E,F,P. (1)在上述变化过程中:Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB的外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由; (2)当AE=4时,求☉K的半径r; (3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求:S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长. 【解析】(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径, ∵∠AOB=90°, ∴AB是△AOB的外接圆的直径, AB的长不变,即△AOB的外接圆半径不变; (2)☉K与Rt△AOB相切于E,F,P,连接EK,KF, ∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°, ∴四边形EOFK是矩形, 又∵OE=OF, ∴四边形EOFK是正方形, ∴OE=OF=r,AE=AP=4, ∴PB=BF=6, 在Rt△AOB中,(4+r)2+(6+r)2=100, ∴r=-12(不符合题意),r=2; (3)设AO=b,OB=a,☉K与Rt△AOB三边相切于E,F,P, ∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b, ∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab, ∵S=ab, ∴ab=2S,a2+b2=102, ∴100-40x+4x2=100-4S, ∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25, ∵当x=5时,S最大,即AE=BF=5,∴OA==5. 另一解法:(x+r)2+(10-x+r)2=100, ∴r2+10r=-x2+10x, S=·r(OA+OB+AB)=r(r+x+10-x+r+10)=r(20+2r)=r2+10r, ∴S=r2+10r=-x2+10x, 又∵S=-x2+10x=-(x-5)2+25, 当x=5时,S最大,即AE=BF=5, ∴OA==5. 素养提升攻略 涨知识了 弦切角及弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2 000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“圆,一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一,我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数. 素养训练17推理能力、几何直观、模型观念 【证明】 在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C. (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C. 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:　　　　　.  【解析】(1)∵PA是☉O的切线,A为切点, ∴∠PAC=90°, ∴∠PAB+∠BAC=90°, ∵AC是直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠C+∠BAC=90°, ∴∠PAB=∠C. (2)如图,作直径AD,连接CD, 由(1)同理得,∠PAD=∠ACD, ∵∠BAD=∠BCD,∴∠PAB=∠ACB. (3)连接AE, 由(1)知,∠DBC=∠BAE, ∵AB是直径,∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE, ∴∠BAC=2∠CBD. 答案:∠BAC=2∠CBD 数学史料 数学瑰宝——《九章算术》 《九章算术》是中国传统数学重要的著作,确定了中国传统数学的基本框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格.其影响之深,以致以后中国数学著作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例成书。 素养训练18运算能力、几何直观、推理能力 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少?” 【解析】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=15,☉I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接IA,IB,IC,ID,IE,IF,∴AB===17, ∵S△ABC=AC·BC=AC·ID+BC·IE+AB·IF, ∴8×15=(8+15+17)×ID,∴ID=3,即内切圆半径为3步,∴内切圆直径为6步. 学科网（北京）股份有限公司 $$