4.2.1 回归直线方程同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

4.2.1　回归直线方程 A级 必备知识基础练 1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程和相关系数r,分别得到以下四个结论,其中一定错误的是(　　) A.y=2.35x-6.42,r=-0.93 B.y=-3.47x+5.65,r=-0.95 C.y=5.43x+8.49,r=0.98 D.y=-4.32x-4.58,r=0.89 2.[2024青海海南高三开学考试]某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得回归直线方程为=1.23x+,则该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用估计为(　　) A.12.9万元 B.12.36万元 C.13.1万元 D.12.38万元 3.根据如下样本数据,得到的回归直线方程为x+,则(　　) x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 -0.5 -2 -3 A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0 4.某科研机构在关于人的血压y(单位:mmHg)与体重x(单位:kg)的关系研究中,得到回归直线方程为=0.35x+70,则下列结论正确的是(　　) A.若=60,则=91 B.人的血压与体重负相关 C.x=80 kg,血压一定为98 mmHg D.体重大的人比体重小的人血压必然高 5.如果发现散点图中所有样本点都在一条直线上,则这些点到这条直线的竖直距离的平方和等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.3 6.某同学研究了气温对某小卖部热饮销售的影响,经过统计得到了一天所卖的热饮杯数y(单位:杯)与当天气温x(单位:℃)之间的线性关系是由回归直线=-2.35x+147.77来反映的,则下列说法错误的是(　　) A.所卖的热饮杯数与当天气温负相关 B.可以预测温度在20 ℃时,该小卖部一定能卖出100杯热饮 C.气温每升高1 ℃,所卖的热饮杯数约减少2杯 D.如果某天气温为2 ℃时,则该小卖部能卖出热饮的杯数大约是143杯 7.某次实验得到如下7组数据,通过判断知道y与x线性相关,其回归直线方程为=0.125x+,则=　　　　　. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6.0 6.2 6.3 6.4 6.4 6.7 6.8 8.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源汽车的年销售量与年份的统计表. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年销售量/万台 8 12 15 20 25 根据上表,利用最小二乘法,可得新能源汽车的年销售量y万台关于年份x的回归直线方程为　 . 参考数据:(xi-)(yi-)=(-2)×(-8)+(-1)×(-4)+1×4+2×9=42,(xi-)2=4+1+1+4=10. 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为. B级 关键能力提升练 9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,图2为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归直线方程为=1.16x-30.75,以下结论中错误的是(　　) 图1 图2 A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系 C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 10.(多选题)某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如表所示: 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77 参考数据:xi=800.已知y与x线性相关,且y关于x的回归直线方程为=1.1x-5,则下列说法正确的是(　　) A.a=86 B.y与x正相关 C.y与x的相关系数为负数 D.若数学成绩每提高5分,则物理成绩估计能提高5.5分 11.某种细胞的存活率y与存放温度x之间具有线性相关关系,其样本数据如下表所示: 存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 -5 -10 存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63 计算得=5,=35,xiyi=-175,=875,并求得回归直线方程为=-2x+45,但实验人员发现表中数据x=-5的对应值y=60录入有误,更正为y=53,则更正后的回归直线方程为(　　) A.=-1.9x+43.5 B.=1.9x+43.5 C.=1.2x+40 D.=-1.2x+32 12.在某学生的4次模拟考试中,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数x 1 2 3 4 所减分数y 4.5 4 3 2.5 若所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系,则回归直线方程为(　　) A.=0.7x+5.25 B.=-0.6x+5.25 C.=-0.7x+6.25 D.=-0.7x+5.25 C级 学科素养创新练 13.某特色餐馆开通了外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数x与收入y之间有如下表的对应数据: 外卖份数x/份 2 4 5 6 8 收入y/元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)请根据以上数据用最小二乘法,求出收入y关于份数x的回归直线方程; (3)据此估计外卖份数为12份时,预测收入为多少元. 参考数据:=145,xiyi=1 380. 参考公式:用最小二乘法求回归直线方程x+的系数公式:. 参考答案 1.AD　对于y=2.35x-6.42,且r=-0.93,由线性回归方程知,此两变量的关系是正相关,r>0,∴A错误;对于y=-3.47x+5.65,且r=-0.95,线性回归方程符合负相关的特征,r<0,∴B正确;对于y=5.43x+8.49,且r=0.98,线性回归方程符合正相关的特征,r>0,∴C正确;对于y=-4.32x-4.58,且r=0.89,线性回归方程符合负相关的特征,r<0,D错误.故选AD. 2.D　∵=4, =5, 将点(4,5)代入方程得5=1.23×4+,解得=0.08, ∴=1.23x+0.08. 故当x=10时,=12.38,即当年所需要支出的维修费用估计为12.38万元,故选D. 3.B　由表格可知y随x的增大而减小,故<0, 又 故x+过点(4,0.2),代入可得>0.故选B. 4.A　将=60代入=0.35x+70可得=60×0.35+70=91,故A正确; 由回归直线方程可知,人的血压与体重正相关,故B错误; 当x=80时,=0.35×80+70=98,即x=80 kg,血压约为98 mmHg,故C错误; 因为回归直线方程计算出来的结果是估计的结果,不是必然的,故D错误.故选A. 5.B 6.B　因为回归直线=-2.35x+147.77中-2.35<0,所以y与x负相关,A说法正确; 回归直线=-2.35x+147.77中,当x=20时,=-2.35×20+147.77=100.77,大约卖出100杯,这是一个预测值,不能说一定会卖出100杯,B说法不正确; 由回归直线=-2.35x+147.77知,气温每升高1 ℃,所卖的热饮杯数约减少2杯,C说法正确; 回归直线=-2.35x+147.77中,当x=2时,=-2.35×2+147.77≈143, 即小卖部能卖出热饮的杯数大约是143杯,D说法正确. 故选B. 7.5.9　根据表格数据可得=4,×(6.0+6.2+6.3+6.4+6.4+6.7+6.8)=6.4.故6.4=0.125×4+,解得=5.9. 8.=4.2x-8 463.8　 =2 019, =16, 故=4.2, =16-4.2×2 019=-8 463.8, 所以回归直线方程为=4.2x-8 463.8. 9.D　对于A,身高极差大约为21,臂展极差大约为26,故A正确; 对于B,根据散点图以及回归直线得到,15名志愿者身高和臂展成正相关关系,故B正确; 对于C,当x=190时,=1.16×190-30.75=189.65,所以可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,故C正确; 对于D,由回归直线方程知身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米,但并不是准确值,回归直线上的点并不都是准确的样本点,故D错误.故选D. 10.ABD　根据题意,由y关于x的回归直线方程为=1.1x-5,易知y与x正相关且y与x的相关系数为正数,故B正确,C错误; 若数学成绩每提高5分,代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高5.5分,故D正确; 对于选项A,因为=80,,所以=1.1×80-5,解得a=86,故A正确.故选ABD. 11.A　依题意,设更正后的回归直线方程为x+,更正后=5,×(35×7-60+53)=34, xiyi=-175+5×60-5×53=-140,=875, =-1.9,=34-(-1.9)×5=43.5,所以更正后的回归直线方程为=-1.9x+43.5.故选A. 12.D　由题意可知,所减分数y与模拟考试次数x之间的相关关系为负相关,所以排除A.考试次数的平均数为(1+2+3+4)=2.5,所减分数的平均数为(4.5+4+3+2.5)=3.5,即回归直线应该过点(2.5,3.5),代入选项验证可知y=-0.7x+5.25成立,故选D. 13.解(1)作出散点图如下图所示: (2)=5,=50, ∵=145,xiyi=1 380, ∴=6.5, ∴=50-6.5×5=17.5, 故回归直线方程为=6.5x+17.5. (3)当x=12时,=12×6.5+17.5=95.5, 故外卖份数为12份时,预测收入为95.5元. 学科网（北京）股份有限公司 $$