精品解析：河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期4月检测数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测04.28 数学试题 命题人：凡林花 审题人：陈梦 一、单选题 1. 已知两条直线l1：x+m2y+6＝0，l2：(m－2)x+3my+2m＝0，若l1与l2平行，则m＝（　　） A. －1或3 B. －1或0或3 C. 0 D. －1或0 【答案】D 【解析】 【分析】解方程，再检验即得解. 【详解】因为l1与l2平行， 所以， , 所以 或或 当时，两直线重合为x+9y+6＝0，与已知不符，所以舍去， 当或时，符合题意. 故选：D 2. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 3. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解. 【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确； 对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确； 对于D，由B知： ，错误； 故选：D. 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故选：A. 5. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 6. 设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程． 【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点， 可知的中点的纵坐标为：2， 直线的方程为：， 则，可得，则中的纵坐标为：，解得， 该抛物线的方程为：． 故选：B． 7. 已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解. 【详解】依题意：，所以， 当时，，则， 所以 ， 故选：A. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得 在直线下方，再借助导数探讨求解作答. 【详解】令，，显然直线恒过点， 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”， ，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，，当时，，而， 即当时，不存在整数使得点在直线下方， 当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：， 而切线过点，即有，整理得：，而，解得， 因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2， 即存在唯一整数2使得点在直线下方， 因此有，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线 方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 二、多选题 9. 随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值． 【详解】解：随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c ，且a，b，① ，b，c成等差数列， ，② 联立①②，得，， 所以， ， 可以为 ，， ， 故选：ABC 10. 已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则的内切圆半径为 D. 以为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，，，，利用点差法得到，结合得到，从而由双曲线定义得到A正确；B选项，利用双曲线定义和余弦定理得到，从而求出三角形的面积；C选项，由双曲线定义和勾股定理求出，得到的面积，从而求出内切圆半径；D选项，设，，，先得到的中点为的坐标，从而得到，得到D正确. 【详解】A选项，设，，，， 则，，两式相减得，故， ， 所以，解得， 点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确； B选项，因为，， 若，由余弦定理得 ， 故，解得， 故的面积为，B错误； C选项，因为，， 若，由勾股定理得， 解得， 故的面积为， 设的内切圆半径为， 故，即， 解得，C正确； D选项，设，，，其中， 设的中点为，则，， 又 ， 故，故以为直径的圆与圆相切，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：椭圆与过原点的直线相交于两点，则从椭圆上任选一点（除外），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：双曲线与过原点的直线相交于两点，则从双曲线上任选一点（除外），满足； 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合数列的单调性、递推公式以及累加法、累乘法、放缩法、裂项相消法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】对于A：易知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故A错误； 对于B：由选项A的判断知，所以，由，得， 所以，，即，故B正确； 对于C：由，得， 则，所以，故C错误； 对于D：由，得，即，所以， ，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 设，且，若能被13整除，则a＝___． 【答案】12 【解析】 【分析】将化为，求出被13整除的余数，再结合已知条件即可求解． 【详解】因为 ， 即被13整除的余数为1，而，且，若能被13整除， 则，故， 故答案为：12 13. 已知随机事件A，B，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案. 【详解】依题意得，所以 故，所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解. 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为， 则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键. 四、解答题 15. 已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. （1）求概率的值； （2）求的分布列，并求其数学期望． 【答案】（1） （2）分布列为： 【解析】 【分析】（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果； (2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望． 【小问1详解】 从个顶点中随机选取个点构成三角形， 共有种取法，其中的三角形如， 这类三角形共有个 因此. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 因此 所以随机变量的概率分布列为： 所求数学期望 . 【点睛】在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解. 16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点． （1）证明：平面平面. （2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点， 故； 又底面，底面，故， 又平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）不能，理由如下： 由已知可知，，且D为的中点， 则，即四边形为平行四边形， 故，由底面，得底面， 因为平面，所以， 以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 结合（1）可知平面的法向量可取为； 设平面的一个法向量为，而， 故，即，令，则， 假设平面与平面的夹角能为， 则，即，此方程无解， 假设不成立，即平面与平面的夹角不能为. 【解析】 【分析】（1）说明，再推出，即可证明平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，假设平面与平面的夹角能为，根据空间角的向量求法可得方程，根据该方程解的情况，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知数列满足为常数，若为等差数列，且． （1）求的值及的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得； （2）由题意可得，借助分组求和法计算即可得解. 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以, 设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以的值为的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ． 所以的前项和． 18. 已知椭圆常数，点为坐标原点． （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是定值，理由：法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【解析】 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【小问1详解】 由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； 【小问2详解】 由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在正数，使成立，求的取值范围； （3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明. 唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减. 特别地，在上单调递减. 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有. 然后回到原题，首先我们有 . 同时我们又有 ，， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得. 综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得. 【解析】 【分析】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性； （2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是； （3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有. 再利用该结论证明，从而得到存在性. 最后综合两方面即证得结论. 【小问1详解】 对求导得. 当时，对有，故在上单调递增； 当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对于存在唯一性的证明，将唯一性和存在性分开论证，则证明的逻辑会更加清晰，不易出现错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测04.28 数学试题 命题人：凡林花 审题人：陈梦 一、单选题 1. 已知两条直线l1：x+m2y+6＝0，l2：(m－2)x+3my+2m＝0，若l1与l2平行，则m＝（　　） A. －1或3 B. －1或0或3 C. 0 D. －1或0 2. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 5. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则的内切圆半径为 D. 以为直径的圆与圆相切 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 三、填空题 12. 设，且，若能被13整除，则a＝___． 13. 已知随机事件A，B，，，，则________. 14. 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. （1）求概率的值； （2）求的分布列，并求其数学期望． 16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点． （1）证明：平面平面. （2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 17. 已知数列满足为常数，若为等差数列，且． （1）求的值及的通项公式； （2）求的前项和． 18. 已知椭圆常数，点为坐标原点． （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在正数，使成立，求的取值范围； （3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $