24.3 正多边形和圆 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.3　正多边形和圆 【A层 基础夯实】 知识点1　正多边形的有关概念及计算 1.若一个圆内接正多边形的中心角是36°,则这个多边形是 ( ) A.正五边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十八边形 2.(2022·成都中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 ( ) A. B. C.3 D.2 知识点2　正多边形的性质、判断及画法 3.如图,以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF,使点F在其内部,连接FE,则∠DFE的大小是 ( ) A.76° B.66° C.60° D.48° 4.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径,则这个正多边形是正　 　边形.  5.如图,四边形ABCD是☉O的内接矩形,点E,F分别在射线AB,AD上,OE=OF,且点C,E,F在一条直线上,EF与☉O相切于点C. (1)求证:矩形ABCD是正方形; (2)若OF=10,求正方形ABCD的面积. 【B层 能力进阶】 6.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 ( ) A.(3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3) 7.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 ( ) A.10 　 B.12　 C.15　 D.20 8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接AD,AF,则△ADF的面积为　 　.  9.(名师原创)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于☉O,则所对圆心角的度数为　 　°.  10.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是　 　.  11.(1)已知:如图1,△ABC是☉O的内接正三角形,点P为劣弧BC上一动点. 求证:PA=PB+PC; (2)已知:如图2,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为劣弧BC上一动点. 求证:PA=PC+PB. 12.如图①,②,③,正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在☉O上逆时针运动. (1)求图①中∠APB的度数; (2)图②中∠APB的度数是　　　　　,图③中∠APB的度数是　　　　　;  (3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.如图所示正六边形ABCDEF是一创意花坛,AB=20 m.点G,H,M,N,P,Q分别在该正六边形的六条边上,且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ内种植花卉,在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮. (1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是　　　　　 m2(直接写出答案即可);  (2)求当AG的值为多少时,草皮的种植面积最大?最大面积是多少(提示:过点G作AQ的垂线)? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3　正多边形和圆 【A层 基础夯实】 知识点1　正多边形的有关概念及计算 1.若一个圆内接正多边形的中心角是36°,则这个多边形是 (C) A.正五边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十八边形 2.(2022·成都中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 (C) A. B. C.3 D.2 知识点2　正多边形的性质、判断及画法 3.如图,以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF,使点F在其内部,连接FE,则∠DFE的大小是 (B) A.76° B.66° C.60° D.48° 4.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径,则这个正多边形是正　六　边形.  5.如图,四边形ABCD是☉O的内接矩形,点E,F分别在射线AB,AD上,OE=OF,且点C,E,F在一条直线上,EF与☉O相切于点C. (1)求证:矩形ABCD是正方形; (2)若OF=10,求正方形ABCD的面积. 【解析】(1)如图,连接AC, ∵四边形ABCD是☉O的内接矩形, ∴AC是☉O的直径, ∵EF与☉O相切于点C,∴AC⊥EF, ∵OE=OF, ∴CF=CE,∠FOC=∠EOC, ∴∠AOF=∠AOE, ∵OA=OA, ∴△AOF≌△AOE(SAS), ∴AF=AE, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠FAE=90°, ∴AC=EF=CF=CE, ∴∠CAE=45°, ∵∠ABC=90°, ∴∠ACB=45°, ∴AB=CB, ∴矩形ABCD是正方形; (2)∵OC=AC,AC=CF, ∴CF=2OC, ∵OF=10,OF2=OC2+CF2, ∴102=OC2+4OC2, ∴OC=2, ∴AB=OC=2, ∴AB2=40, ∴正方形ABCD的面积是40. 【B层 能力进阶】 6.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 (A) A.(3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3) 7.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 (A) A.10 　 B.12　 C.15　 D.20 8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接AD,AF,则△ADF的面积为　4+3　.  9.(名师原创)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于☉O,则所对圆心角的度数为　24　°.  10.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是　4　.  11.(1)已知:如图1,△ABC是☉O的内接正三角形,点P为劣弧BC上一动点. 求证:PA=PB+PC; (2)已知:如图2,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为劣弧BC上一动点. 求证:PA=PC+PB. 【解析】(1)延长BP至E,使PE=PC,连接CE,如图1, ∵A,B,P,C四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°, ∵∠BPC+∠EPC=180°, ∴∠BAC=∠CPE=60°,∵PE=PC, ∴△PCE是等边三角形, ∴CE=PC,∠E=60°; 又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP, ∴∠BCE=∠ACP, ∵△ABC,△ECP为等边三角形, ∴CE=PC,AC=BC, 在△BEC和△APC中,, ∴△BEC≌△APC(SAS), ∴PA=BE=PB+PC; (2)过点B作BE⊥PB交PA于E,连接OA,OB.如图2, ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, ∵∠APB=∠AOB=45°, ∴BP=BE, ∴PE=PB, 在△ABE和△CBP中, ∴△ABE≌△CBP(SAS), ∴PC=AE, ∴PA=AE+PE=PC+PB. 12.如图①,②,③,正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在☉O上逆时针运动. (1)求图①中∠APB的度数; (2)图②中∠APB的度数是　　　　　,图③中∠APB的度数是　　　　　;  (3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. 【解析】(1)∠APB=120°. ∵△ABC是正三角形, ∴∠ABC=60°. ∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动, ∴∠BAM=∠CBN, 又∵∠APN=∠BPM, ∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°, ∴∠APB=180°-∠APN=120°. (2)同理可得:题图②中的∠APB=90°;题图③中的∠APB=72°. 答案:90°　72° (3)由(1)可知,∠APB=所在多边形的外角度数,故在正n边形中,∠APB=. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.如图所示正六边形ABCDEF是一创意花坛,AB=20 m.点G,H,M,N,P,Q分别在该正六边形的六条边上,且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ内种植花卉,在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮. (1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是　　　　　 m2(直接写出答案即可);  (2)求当AG的值为多少时,草皮的种植面积最大?最大面积是多少(提示:过点G作AQ的垂线)? 【解析】(1)如图,令正六边形的中心为O,连接OA,OB,过点O作OT⊥AB,垂足为T, ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴∠AOB==60°, 又∵OA=OB, ∴△AOB是正三角形, ∴OA=OB=AB=20 m, ∴OT=OB=10(m), ∴S正六边形ABCDEF=6S△AOB =6××20×10 =600(m2). 答案:600 (2)如图,过点G作GS⊥AF,垂足为S, 则∠GAS==60°, ∴∠AGS=30°, 设AG=x m,则AS=x m, ∴SG==x(m), ∵AG=FQ,AB=AF, ∴AQ=BG=(20-x)m, 设种植草皮的面积为S1 m2, ∴S1=6S△AGQ =6××(20-x)×x =-x2+30x =-(x-10)2+150, ∵a=-<0, ∴当x=10时,S1的值最大,最大值为150, 答:当AG=10 m时,草皮的种植面积最大,最大面积为150 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$