24.2.1　点和圆的位置关系　 同步练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1　点和圆的位置关系 【A层 基础夯实】 知识点1　点和圆的位置关系 1.已知点P在半径为5 cm的圆内,则点P到圆心的距离可以是 () A.2 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 2.点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是　　.  3.如图,点O到直线AB的距离为8 cm,点C,D都在直线AB上,OA⊥AB,若AD=6 cm,CD=2 cm,AB=5 cm,以O为圆心,10 cm为半径作圆,试判断A,B,C,D四点与☉O的位置关系. 知识点2　三角形的外接圆 4.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 5.如图,☉O的半径为1,△ABC内接于☉O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= 　.  知识点3　反证法 6.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形中没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( ) A.反证法　 B.比较法 C.综合法　 D.分析法 7.用反证法证明命题“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在☉O的外部”,首先应假设　　.  【B层 能力进阶】 8.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是( ) A.10 B.8 C.6 D.4 9.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为( ) A.+1 B.+ C.2+1 D.2- 10.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是　　.  11.如图,已知矩形ABCD的边AB=3 cm、BC=4 cm,以点A为圆心,4 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A有怎样的位置关系. 12.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录,请阅读后完成下方的问题. 试题分析: (Ⅰ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC外一点,且AD=AC.求∠BDC的度数. 小丽:我发现AB=AC=AD.则点B,C,D到点A的距离相等,所以点B,C,D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上…… 猜想证明 (Ⅱ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧. 猜想:若∠BDC=　　　　,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.  对于这个猜想的证明,小华有自己的想法: 以点A为圆心,AB长为半径画圆.根据点与圆的位置关系,知道点D可能在☉A内,或点D在☉A上,或点D在☉A外.故只要证明点D不在☉A内,也不在☉A外,就可以确定点D一定在☉A上. (Ⅲ)进一步猜想: 如图2,在△ABC中,∠BAC=β,AB=AC,点D,A在BC同侧.若∠BDC=　　　　,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.  (Ⅳ)对(Ⅲ)中的猜想进行证明. 问题1.完成(Ⅰ)中的求解过程; 问题2.补全猜想证明中的两个猜想: (Ⅱ)　　　　;(Ⅲ)　　　　.  问题3.证明上面(Ⅲ)中的猜想. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1　点和圆的位置关系 【A层 基础夯实】 知识点1　点和圆的位置关系 1.已知点P在半径为5 cm的圆内,则点P到圆心的距离可以是 (A) A.2 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 2.点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是　6.5 cm或2.5 cm　.  3.如图,点O到直线AB的距离为8 cm,点C,D都在直线AB上,OA⊥AB,若AD=6 cm,CD=2 cm,AB=5 cm,以O为圆心,10 cm为半径作圆,试判断A,B,C,D四点与☉O的位置关系. 【解析】连接DO,CO,BO, ∵OA⊥AB,AD=6 cm,AO=8 cm, ∴DO=10 cm, ∵AC=8 cm,AO=8 cm,AB=5 cm, ∴CO=8 cm>10 cm,BO= cm<10 cm,AO=8 cm<10 cm, ∴点A在圆内,点B在圆内,点C在圆外,点D在圆上. 知识点2　三角形的外接圆 4.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 (C) A.60° B.70° C.80° D.90° 5.如图,☉O的半径为1,△ABC内接于☉O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= 　.  知识点3　反证法 6.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形中没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(A) A.反证法　 B.比较法 C.综合法　 D.分析法 7.用反证法证明命题“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在☉O的外部”,首先应假设　点P在☉O上或在☉O内部　.  【B层 能力进阶】 8.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是(A) A.10 B.8 C.6 D.4 9.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(B) A.+1 B.+ C.2+1 D.2- 10.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是　3.5　.  11.如图,已知矩形ABCD的边AB=3 cm、BC=4 cm,以点A为圆心,4 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A有怎样的位置关系. 【解析】连接AC,∵AB=3 cm,BC=AD=4 cm,∴AC=5 cm,∴点B在☉A内,点D在☉A上,点C在☉A外. 12.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 【解析】(1)∵AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC, ∴由垂径定理得=, ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD. (2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上. 理由:由(1)知:=,∴∠1=∠2, 又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3, ∵BE是∠ABC的平分线, ∴∠4=∠5, ∵∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5, ∴∠DBE=∠DEB, ∴DB=DE. 由(1)知:BD=CD, ∴DB=DE=DC, ∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录,请阅读后完成下方的问题. 试题分析: (Ⅰ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC外一点,且AD=AC.求∠BDC的度数. 小丽:我发现AB=AC=AD.则点B,C,D到点A的距离相等,所以点B,C,D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上…… 猜想证明 (Ⅱ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧. 猜想:若∠BDC=　　　　,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.  对于这个猜想的证明,小华有自己的想法: 以点A为圆心,AB长为半径画圆.根据点与圆的位置关系,知道点D可能在☉A内,或点D在☉A上,或点D在☉A外.故只要证明点D不在☉A内,也不在☉A外,就可以确定点D一定在☉A上. (Ⅲ)进一步猜想: 如图2,在△ABC中,∠BAC=β,AB=AC,点D,A在BC同侧.若∠BDC=　　　　,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.  (Ⅳ)对(Ⅲ)中的猜想进行证明. 问题1.完成(Ⅰ)中的求解过程; 问题2.补全猜想证明中的两个猜想: (Ⅱ)　　　　;(Ⅲ)　　　　.  问题3.证明上面(Ⅲ)中的猜想. 【解析】问题1: 如图, ∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以A为圆心,AB长为半径的圆上, ∴∠BDC=∠BAC, ∵∠BAC=90°,∴∠BDC=45°; 问题2:由问题1可知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧, 若∠BDC=45°,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上, 同理,由问题1可知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧, 若∠BDC=β,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上. 答案:(Ⅱ)45°　(Ⅲ)β 问题3: 若点D在☉A外,如图, ∵点E在☉A上,∴∠BEC=∠A=β, ∵∠BEC>∠BDC,∠BDC=β, ∴点D在☉A外不成立, 若点D在☉A内,如图, ∵点E在☉A上,∴∠BEC=∠A=β, 又∵∠BEC<∠BDC,∠BDC=β, ∴点D在☉A内不成立, 综上所述,点D在☉A上. 学科网（北京）股份有限公司 $$