24.1.4 圆周角 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1.4 圆周角 【A层 基础夯实】 知识点1 圆周角定理及推论 1.下列语句中:①平分弦的直径垂直于弦;②相等的圆心角所对的弧相等;③长度相等的两条弧是等弧;④圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;⑤在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆周角相等,不正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图,点A,B,C在 O上,∠C=40 .则∠AOB的度数是 ( ) A.50 B.60 C.70 D.80 3.如图,AB是 O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则 O的半径为 ( ) A. B.2 C.2 D.3 4.如图,AB,CD为 O的两条弦,若∠B+∠C=90 ,AB2+CD2=100,则 O的半径为 . 知识点2 圆内接四边形的性质 5.如图,四边形ABCD内接于 O,若∠A=80 ,则∠C的度数是 ( ) A.80 B.100 C.110 D.120 6.(易错警示题)如图,∠AOB=110 ,弦AB所对的圆周角为 . 7.如图,A是 O上一点,BC是直径,点D在 O上且平分. (1)连接AD,求证:AD平分∠BAC; (2)若CD=5,AB=8,求AC的长. 【B层 能力进阶】 8.如图,点A,B,C,D,E在 O上,AB=CD,∠AOB=42 ,则∠CED= ( ) A.48 B.24 C.22 D.21 9.如图,在 O中,C是的中点,D是优弧ADB上一点,若∠AOB=110 ,则∠D的度数为 ( ) A.70 B.55 C.40 D.27.5 10.如图,AB为 O的直径,P为BA延长线上的一点,D在 O上(不与点A,点B重合),连接PD交 O于点C,且PC=OB.设∠P= ,∠B= ,下列说法正确的是 ( ) A. + =90 B.3 +2 =180 C.5 +4 =180 D. - =30 11.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为52 ,那么∠BCD的大小为 ( ) A.52 B.60 C.64 D.69 12.如图,在 O中,直径AB交弦CD于点E,点A,F是的三等分点,连接CF交AB于点G.若 O的半径为6,CE=2,则AG的长为 . 13.如图,AB是 O的直径,CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F. (1)求证:CF=BF; (2)若CD=4,AC=8,求弦BD的长. 【C层 素养冲A+(选做)】 14.【特例感知】 (1)如图①,AB是 O的直径,∠BAC是 O的圆周角,AD平分∠BAC交 O于点D,连接CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30 ,则∠BDC的度数为 ,点D到直线AC的距离为 ; 【类比迁移】 (2)如图②,∠BAC是 O的圆周角,AD平分∠BAC交 O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由; 【问题解决】 (3)如图③,四边形ABCD为 O的内接四边形,∠BAD=90 ,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 24.1.4　圆周角 【A层 基础夯实】 知识点1　圆周角定理及推论 1.下列语句中:①平分弦的直径垂直于弦;②相等的圆心角所对的弧相等;③长度相等的两条弧是等弧;④圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;⑤在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆周角相等,不正确的有(D) A.2个　 B.3个　 C.4个　 D.5个 2.如图,点A,B,C在☉O上,∠C=40°.则∠AOB的度数是 (D) A.50°　 B.60°　 C.70°　 D.80° 3.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 (A) A.　 B.2　 C.2　 D.3 4.如图,AB,CD为☉O的两条弦,若∠B+∠C=90°,AB2+CD2=100,则☉O的半径为　5　.  知识点2　圆内接四边形的性质 5.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 (B) A.80° B.100° C.110° D.120° 6.(易错警示题)如图,∠AOB=110°,弦AB所对的圆周角为　55°或125°　.  7.如图,A是☉O上一点,BC是直径,点D在☉O上且平分. (1)连接AD,求证:AD平分∠BAC; (2)若CD=5,AB=8,求AC的长. 【解析】(1)∵点D在☉O上且平分, ∴=, ∴∠BAD=∠CAD, ∴AD平分∠BAC; (2)∵BC是直径, ∴∠BAC=∠BDC=90°, ∵点D在☉O上且平分, ∴=, ∴BD=CD=5, ∴BC==10, ∵AB=8, ∴AC==6. 【B层 能力进阶】 8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED= (D) A.48° B.24° C.22° D.21° 9.如图,在☉O中,C是的中点,D是优弧ADB上一点,若∠AOB=110°,则∠D的度数为 (D) A.70°　 B.55°　 C.40°　 D.27.5° 10.如图,AB为☉O的直径,P为BA延长线上的一点,D在☉O上(不与点A,点B重合),连接PD交☉O于点C,且PC=OB.设∠P=α,∠B=β,下列说法正确的是 (B) A.α+β=90°　 B.3α+2β=180° C.5α+4β=180°　 D.β-α=30° 11.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为52°,那么∠BCD的大小为 (C) A.52° B.60° C.64° D.69° 12.如图,在☉O中,直径AB交弦CD于点E,点A,F是的三等分点,连接CF交AB于点G.若☉O的半径为6,CE=2,则AG的长为 　.  13.如图,AB是☉O的直径,CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F. (1)求证:CF=BF; (2)若CD=4,AC=8,求弦BD的长. 【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠A=90°-∠ABC. ∵CE⊥AB, ∴∠CEB=90°, ∴∠ECB=90°-∠ABC, ∴∠ECB=∠A. 又∵CD=CB, ∴=, ∴∠DBC=∠A, ∴∠ECB=∠DBC, ∴CF=BF; (2)连接OC,交BD于点G, ∵BC=CD,∴OC⊥BD,BD=2BG, 又∵∠ACB=90°,BC=CD=4,AC=8, ∴AB===20, ∴☉O的半径为10, 设OG=x,则CG=10-x, 由勾股定理得BG2=OB2-OG2=BC2-CG2, 即102-x2=(4)2-(10-x)2,解得x=6, ∴BG==8,∴BD=16. 【C层 素养冲A+(选做)】 14.【特例感知】 (1)如图①,AB是☉O的直径,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30°,则∠BDC的度数为　　　　°,点D到直线AC的距离为　　　　;  【类比迁移】 (2)如图②,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由; 【问题解决】 (3)如图③,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BAD=90°,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长. 【解析】(1)如图①, ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD=30°, ∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°, ∴∠BDC=180°-∠BAC=120°, ∴∠BDC的度数为120°; 作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,则DF=DE, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∵∠BAD=30°,BD=3, ∴AB=2BD=6, ∴AD===3, ∴×6×DE=×3×3=S△ABD, ∴DE=, ∴DF=, ∴点D到直线AC的距离为. 答案:120　 (2)AB+AC=2AM, 理由:如图②,连接BD,CD,作DN⊥AC交AC的延长线于点N, ∵AD平分∠BAC,DM⊥AB, ∴DN=DM, ∵∠DCN+∠ACD=180°,∠B+∠ACD=180°, ∴∠DCN=∠B, ∵∠N=∠DMB=90°, ∴△DCN≌△DBM(AAS), ∴CN=BM, ∵∠N=∠AMD=90°,AD=AD,DN=DM, ∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL), ∴AN=AM, ∴AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+AC=AM+AN=2AM. (3)如图③,作CG⊥AD于点G,CH⊥AB交AB的延长线于点H, ∵AC平分∠BAD,∴CG=CH, ∵∠D+∠ABC=180°,∠CBH+∠ABC=180°, ∴∠D=∠CBH, ∵∠CGD=∠H=90°, ∴△CGD≌△CHB(AAS), ∴DG=BH, 设DG=BH=x, ∵∠BAD=∠AGC=∠AHC=90°, ∴四边形AGCH是矩形, ∵CG=CH, ∴四边形AGCH是正方形, ∴AG=AH=CG, ∵AB=5,AD+AC=15, ∴CG=AG=AH=5+x,AD=AG+x=AH+x=5+2x, ∴AC=15-AD=15-(5+2x)=10-2x, ∵AG2+CG2=AC2, ∴(5+x)2+(5+x)2=(10-2x)2, 解得x1=15-10,x2=15+10(不符合题意,舍去), ∴AC=10-2×(15-10)=20-20, ∴线段AC的长为20-20. 学科网（北京）股份有限公司 $$