24.1.3　弧、弦、圆心角 　 同步练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.1.3　弧、弦、圆心角 【A层 基础夯实】 知识点1　圆心角的概念及应用 1.图中∠ACB是圆心角的是( ) 2.如图,MN为☉O的弦,∠M=50°,则∠MON等于 ( ) A.50° 　　　B.55° C.65° 　　　D.80° 3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC.若所对圆心角的度数为70°,且AD∥OC,求所对圆心角的度数. 知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系 4.在同圆或等圆中,若的长度等于的长度,则下列说法正确的有 ( ) ①所对的圆心角等于所对的圆心角;②和是等弧;③所对的弦长等于所对的弦长. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,连接AB分别交OC,OD于点E,F. (1)求出∠AEC的度数; (2)求证:AE=BF=CD. 【B层 能力进阶】 6.在☉O中,如果=2,那么弦AB与弦CD之间的关系是 ( ) A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.无法确定 7.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 ( ) A.∠AON=∠DOM B.AN=DM C.OM=DM D.OM=ON 8.如图,☉O在△ABC三边上截得的弦长相等,即DE=FG=MN,∠A=50°,则∠BOC= ( ) A.100° B.110° C.115° D.120° 9.如图,AB是半圆O的直径,以弦AC为折痕折叠后,恰好经过点O,则∠AOC等于 ( ) A.120°　 B.125°　 C.130°　 D.145° 10.(名师原创)如图,点C是直径AB的三等分点(AC<CB),点D是的三等分点(<),若直径AB=12,则DC的长为　 .  11.如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°. (1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由. (2)求证:OC∥BD. 12.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且=. (1)求证:AE=BF; (2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.(教材再开发·教材P84思考改编)如图1,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点. (1)求证:四边形OACB是菱形. 拓展延伸 (2)如图2,将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA',OA'交AC于点E,连接BE,若CE=1,求BE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.3　弧、弦、圆心角 【A层 基础夯实】 知识点1　圆心角的概念及应用 1.图中∠ACB是圆心角的是(B) 2.如图,MN为☉O的弦,∠M=50°,则∠MON等于 (D) A.50° 　　　B.55° C.65° 　　　D.80° 3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC.若所对圆心角的度数为70°,且AD∥OC,求所对圆心角的度数. 【解析】∵所对圆心角的度数为70°, ∴∠AOC=70°, ∵AD∥OC,∴∠A=∠AOC=70°, ∵OA=OD,∴∠D=∠A=70°, ∴∠AOD=180°-70°-70°=40°. ∴所对圆心角的度数为40°. 知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系 4.在同圆或等圆中,若的长度等于的长度,则下列说法正确的有 (D) ①所对的圆心角等于所对的圆心角;②和是等弧;③所对的弦长等于所对的弦长. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,连接AB分别交OC,OD于点E,F. (1)求出∠AEC的度数; (2)求证:AE=BF=CD. 【解析】(1)连接AC,DB, ∵C,D是的三等分点, ∴AC=CD=DB, 又∵∠AOB=90°, ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°, ∵OA=OB,∠AOB=90°, ∴∠OAB=∠OBA=45°, ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°; (2)∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°,∠AEC=75°, 又∵OA=OC, ∴∠ACO=(180°-∠AOC)=(180°-30°)=75°, ∴∠AEC=∠ACO, ∴AE=AC, 同理可得BF=DB, ∴AE=BF=CD. 【B层 能力进阶】 6.在☉O中,如果=2,那么弦AB与弦CD之间的关系是 (C) A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.无法确定 7.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 (C) A.∠AON=∠DOM B.AN=DM C.OM=DM D.OM=ON 8.如图,☉O在△ABC三边上截得的弦长相等,即DE=FG=MN,∠A=50°,则∠BOC= (C) A.100° B.110° C.115° D.120° 9.如图,AB是半圆O的直径,以弦AC为折痕折叠后,恰好经过点O,则∠AOC等于 (A) A.120°　 B.125°　 C.130°　 D.145° 10.(名师原创)如图,点C是直径AB的三等分点(AC<CB),点D是的三等分点(<),若直径AB=12,则DC的长为　2　.  11.如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°. (1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由. (2)求证:OC∥BD. 【解析】(1)△AOC是等边三角形. 理由:∵=, ∴∠AOC=∠COD=60°. 又∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形. (2)∵∠AOC=∠COD=60°, ∴∠BOD=180°-(∠AOC+∠COD)=60°, ∵OD=OB,∴△ODB为等边三角形, ∴∠ODB=60°, ∵∠ODB=∠COD=60°, ∴OC∥BD. 12.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且=. (1)求证:AE=BF; (2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长. 【解析】(1)连接OA,OB,如图1所示: ∵OA=OB, ∴∠A=∠B, ∵=, ∴∠AOE=∠BOF, 在△AOE和△BOF中,, ∴△AOE≌△BOF(ASA), ∴AE=BF. (2)连接OA,如图2所示: ∵OM⊥AB, ∴AM=AB=6, 设OM=x,则OA=ON=x+3, 在Rt△AOM中,由勾股定理得: 62+x2=(x+3)2, 解得x=4.5, ∴OM=4.5. 【C层 素养冲A+(选做)】 13.(教材再开发·教材P84思考改编)如图1,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点. (1)求证:四边形OACB是菱形. 拓展延伸 (2)如图2,将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA',OA'交AC于点E,连接BE,若CE=1,求BE的长. 【解析】(1)连接OC, ∵∠AOB=120°,C是的中点, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∵OA=OC, ∴△ACO是等边三角形, ∴OA=AC,同理OB=BC, ∴OA=AC=BC=OB, ∴四边形OACB是菱形. (2)连接OC, 由(1)知∠AOC=60°, ∵将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA', ∴∠AOA'=30°, ∴∠A'OC=∠AOC-∠A'OA=30°,∠BOE=∠AOB-∠AOA'=90°, ∴OE平分∠AOC, ∴OE⊥AC, ∴AE=CE=AC=1, ∴AC=BC=OB=2, ∴OE==, ∴BE===. 学科网（北京）股份有限公司 $$