24.1.2　垂直于弦的直径 同步练习 2024--2025学年人教版九年级数学上册

24.1.2　垂直于弦的直径 【A层 基础夯实】 知识点1　垂径定理及其推论 1.下列说法中,错误的是 ( ) A.直径相等的两个圆是等圆 B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧 2.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是 ( ) A.1 B. C.2 D.4 3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为　　.  4.如图,在以O为圆心半径不同的两个圆中,大圆和小圆的半径分别为6和4,大圆的弦AB交小圆于点C,D.若AC=3,则CD的长为 　.  知识点2　垂径定理的应用 5.在直径为10 m的圆柱形油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6 m,如果继续向油槽内注油,使液面宽为8 m,那么液面上升了 ( ) A.1 m　 B.1 m或7 m C.2 m　 D.2 m或6 m 6.如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为　　cm(玻璃瓶厚度忽略不计).  7.如图,OA=OB,AB交☉O于点C,D,OE是半径,且OE⊥AB于点F. (1)求证:AC=BD; (2)若CD=4,EF=1,求☉O的半径. 【B层 能力进阶】 8.一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于C,D,A,B四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25 cm,AB=2.5 cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为( ) A.6 cm　 B. cm　 C.7 cm　 D. cm 9.☉O的直径CD=10,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AC的长为　　.  10.已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为　　 cm.  11.如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AE⊥BC,垂足为E,连接AC. (1)求∠B的度数; (2)若CE=,求☉O的半径. 【C层 素养冲A+(选做)】 12.根据素材解决问题. 设计货船通过圆形桥拱的方案 素 材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m. 素 材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x. 问题解决 任务1 确定桥 拱半径 求圆形桥拱的半径 任务2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过? 素养提升攻略 开放探索 如图,大蚂蚁沿着大圆爬一圈,小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长?请通过计算说明. 素养训练11运算能力、应用意识、模型观念 如图,AB是☉O的直径,把AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么☉O的周长l=πa. 计算:(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2=πa=l; (2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3=　　　　;  (3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4=　　　　;  (4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln=　　　　.  结论:把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的　　　　.请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.  综合实践 设计货船通过圆形拱桥的方案 　　素材1:图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m. 　　素材2:如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数解析式y=x. 素养训练12模型观念、运算能力、创新意识 任务1:求圆形桥拱的半径. 任务2:根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过? 涨知识了 　　弦心距指从圆心到弦的距离(如图中的OC,OC'),弦心距与圆心角、弧、弦之间有如下关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等. 素养训练13推理能力、几何直观、运算能力 [概念理解] (1)如图1,在☉O中,半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为　　　　.  (2)通过大量的做题探究,小明发现:在同一个圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程.如图2,在☉O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求证:OM=ON. [概念应用] 如图3,在☉O中AB=CD=16,☉O的直径为20,且弦AB垂直于弦CD于点E,请应用上面得出的结论求OE的长. 涨知识了 等垂弦 　　新定义:同一个圆中,互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦,等垂弦所在直线的交点叫做等垂点. 素养训练14推理能力、几何直观、运算能力 (1)如图1,AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证:四边形ADOE是正方形. (2)如图2,AB是☉O的弦,作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交☉O于D,C两点,连接CD.求证:AB,CD是☉O的等垂弦. (3)已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的等垂弦,P为等垂点.若AP=3BP,求AB的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2　垂直于弦的直径 【A层 基础夯实】 知识点1　垂径定理及其推论 1.下列说法中,错误的是 (B) A.直径相等的两个圆是等圆 B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧 2.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是 (C) A.1 B. C.2 D.4 3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为　(2,0)　.  4.如图,在以O为圆心半径不同的两个圆中,大圆和小圆的半径分别为6和4,大圆的弦AB交小圆于点C,D.若AC=3,则CD的长为 　.  知识点2　垂径定理的应用 5.在直径为10 m的圆柱形油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6 m,如果继续向油槽内注油,使液面宽为8 m,那么液面上升了 (B) A.1 m　 B.1 m或7 m C.2 m　 D.2 m或6 m 6.如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为　7.5　cm(玻璃瓶厚度忽略不计).  7.如图,OA=OB,AB交☉O于点C,D,OE是半径,且OE⊥AB于点F. (1)求证:AC=BD; (2)若CD=4,EF=1,求☉O的半径. 【解析】(1)∵OE⊥AB, ∴CF=DF, ∵OA=OB, ∴AF=BF, ∴AF-CF=BF-DF, ∴AC=BD; (2)如图,连接OC, ∵OE⊥AB,∴CF=CD=2, 设☉O的半径是r, ∵CO2=CF2+OF2, ∴r2=22+(r-1)2,∴r=, ∴☉O的半径是. 【B层 能力进阶】 8.一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于C,D,A,B四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25 cm,AB=2.5 cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为(B) A.6 cm　 B. cm　 C.7 cm　 D. cm 9.☉O的直径CD=10,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AC的长为　4　.  10.已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为　2或14　 cm.  11.如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AE⊥BC,垂足为E,连接AC. (1)求∠B的度数; (2)若CE=,求☉O的半径. 【解析】(1)∵AE⊥BC,AE过圆心O, ∴CE=BE, ∴AC=AB, 同理AC=BC, ∴AB=AC=BC, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠B=60°; (2)∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵CD⊥AB,AC=BC, ∴∠DCB=∠ACB=30°, ∴OC=2OE, ∵CE=,OC2=OE2+CE2, 即(2OE)2=OE2+()2, 解得OE=1(负数舍去), ∴OC=2OE=2, 即☉O的半径为2. 【C层 素养冲A+(选做)】 12.根据素材解决问题. 设计货船通过圆形桥拱的方案 素 材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m. 素 材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x. 问题解决 任务1 确定桥 拱半径 求圆形桥拱的半径 任务2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过? 【解析】任务1:设圆心为点O,则点O在CD延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图, 设桥拱的半径为r m,则OD=(r-4)m, ∵OC⊥AB, ∴AD=BD=AB=8 m, ∵OD2+AD2=OA2, ∴(r-4)2+82=r2, ∴r=10, ∴圆形桥拱的半径为10 m. 任务2:根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.理由: 当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如图, ∵四边形EFGH为矩形, ∴EH∥FG, ∵OC⊥AB, ∴OM⊥EH. ∴EM=EH=5 m, ∴OM==5 m, ∵OD=6 m, ∴DM=5-6<3, ∴根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱, ∴船在水面部分可以下降的高度y=3-(5-6)=(9-5) m. ∵y=x, ∴x=100(9-5)=(900-500)吨, ∴至少要增加(900-500)吨的货物才能通过. 素养提升攻略 开放探索 如图,大蚂蚁沿着大圆爬一圈,小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长?请通过计算说明. 素养训练11运算能力、应用意识、模型观念 如图,AB是☉O的直径,把AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么☉O的周长l=πa. 计算:(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2=πa=l; (2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3=　　　　;  (3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4=　　　　;  (4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln=　　　　.  结论:把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的　　　　.请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.  【解析】把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是ln=π(a)=l,即每个小圆周长是大圆周长的;根据圆的面积公式依次求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较. (2)l (3)l (4)每个小圆面积=π=·,而大圆的面积=π=πa2,即每个小圆的面积是大圆面积的. 答案:l　 综合实践 设计货船通过圆形拱桥的方案 　　素材1:图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m. 　　素材2:如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数解析式y=x. 素养训练12模型观念、运算能力、创新意识 任务1:求圆形桥拱的半径. 任务2:根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过? 【解析】 任务1,设圆心为点O,则点O在CD延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图,设桥拱的半径为r m,则OD=(r-4)m, ∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=8 m,∵OD2+AD2=OA2, ∴(r-4)2+82=r2,∴r=10,∴圆形桥拱的半径为10 m. 任务2,根据图3状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.理由: 当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH, ∵四边形EFGH为矩形,∴EH∥FG,∵OC⊥AB,∴OM⊥EH.∴EM=EH=5, ∴OM==5 m,∵OD=6 m,∴DM=5-6<3, ∴根据图3状态,货船不能通过圆形桥拱, ∴船在水面部分可以下降的高度y=3-(5-6)=(9-5)m.∵y=x, ∴x=100(9-5)=(900-500)吨, ∴至少要增加(900-500)吨的货物才能通过. 涨知识了 　　弦心距指从圆心到弦的距离(如图中的OC,OC'),弦心距与圆心角、弧、弦之间有如下关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等. 素养训练13推理能力、几何直观、运算能力 [概念理解] (1)如图1,在☉O中,半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为　　　　.  (2)通过大量的做题探究,小明发现:在同一个圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程.如图2,在☉O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求证:OM=ON. [概念应用] 如图3,在☉O中AB=CD=16,☉O的直径为20,且弦AB垂直于弦CD于点E,请应用上面得出的结论求OE的长. 【解析】[概念理解](1)如图,连接OB, ∵CO⊥AB,∴BC=AC,∠BCO=90°, ∵AB=8,∴BC=4, ∵BO=5,∴CO==3. 答案:3 (2)如图,连接BO,OC, ∵OM⊥AB,∴BM=AM,∠BMO=90°, ∵ON⊥CD,∴CN=DN,∠CNO=90°, ∵AB=CD,∴BM=CN, ∵BO=CO,∴Rt△BOM≌Rt△CON(HL), ∴OM=ON. [概念应用]如图,过点O作OG⊥CD交CD于点G,过点O作OH⊥AB交AB于点H,连接DO, ∵AB=CD=16, ∴GO=OH, ∵AB⊥CD, ∴∠GEH=90°, ∴四边形GEHO是正方形, ∴GE=GO, ∵CD=16, ∴DG=8, ∵☉O的直径为20, ∴DO=10, ∴GO==6, ∴GE=GO=6, ∴EO==6. 涨知识了 等垂弦 　　新定义:同一个圆中,互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦,等垂弦所在直线的交点叫做等垂点. 素养训练14推理能力、几何直观、运算能力 (1)如图1,AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证:四边形ADOE是正方形. (2)如图2,AB是☉O的弦,作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交☉O于D,C两点,连接CD.求证:AB,CD是☉O的等垂弦. (3)已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的等垂弦,P为等垂点.若AP=3BP,求AB的长. 【解析】(1)∵AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°, ∴四边形ADOE是矩形,∵AB,AC是☉O的等垂弦,∴AB=AC, ∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,∴AD=AE, ∴矩形ADOE是正方形. (2)如图,设AB交CD于点E,连接AC, ∵OD⊥OA,OC⊥OB, ∴∠AOD=∠BOC=90°, ∴∠AOB=∠COD, ∴AB=CD, ∵∠BAC=∠BOC=45°,∠ACD=∠AOD=45°, ∴∠BEC=∠CAB+∠ACD=90°, 即AB⊥CD, ∵AB=CD,AB⊥CD, ∴AB,CD是☉O的等垂弦. (3)若点P在☉O内,过点O作OH⊥AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连接OA,OD,如图, ∵AB,CD是☉O的等垂弦, ∴AB=CD,AB⊥CD, ∴四边形OHPG是矩形, ∵OH⊥AB,OG⊥CD, ∴AH=AB,DG=CD,∠AHO=∠DGO=90°, ∴AH=DG, 又∵OA=OD, ∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL), ∴OH=OG, ∴矩形OHPG为正方形, ∴OH=HP, ∵AP=3BP且AH=BH, ∴AH=2BP=2HP=2OH, 在Rt△AOH中,AO2=AH2+OH2, 即(2OH)2+OH2=AO2=100, 解得OH=2, ∴HP=2, ∴AB=4HP=8; 若点P在☉O外,过点O作OH⊥AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连接OA,OD,如图, 同理,AH=2,则AB=2AH=4; 综上,AB=8或4. 学科网（北京）股份有限公司 $$