23.1图形的旋转 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 23.1　图形的旋转 知识点1　旋转的概念 1.有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②风车的转动;③钟摆的运动;④荡秋千运动.其中属于旋转的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是( ) 知识点2　旋转的性质 3.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=2,则DE=　　.  4.如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,连接EF. (1)△ABF可以由△ADE顺时针旋转得到,则旋转中心是点　　　　,旋转角是　　　　度.  (2)试说明△AEF的形状. (3)若AD=4,DE=1,求EF的长. 知识点3　旋转作图 5.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( ) 6.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,点A和B的坐标分别为(2,0),(0,-4),若将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AC,则点C的坐标为　　.  7.如图,△ABC在平面直角坐标系中,各顶点坐标分别为A(-1,4),B(-3,2),C(-2,1). (1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1.并写出点A1的坐标; (2)画出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标; (3)画出△ABC绕点O旋转180°得到的△A3B3C3.并写出点A3的坐标. 8.(2023·佛山质检)如图,在△ABC中,∠B=37°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,使点B落在BC的延长线上的D点处,则∠BDE=( ) A.84° B.80° C.77° D.74° 9.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法错误的是( ) A.∠EAC=∠B B.△EDC是等腰直角三角形 C.BD2+AD2=CD2 D.∠AED=∠ACD 10.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为( ) A.2　　　B.　　　C.3　　　D.1.5 11.如图,在△ABC中,AB=10,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为　　.  12.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为旋转中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是　　.  13.(推理能力、几何直观)阅读下面材料,并解决问题: (1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求 ∠APB的度数. 为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=　　　　;  (2)基本运用 请你利用第(1)题的解答方法,解答下面问题: 已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2; (3)能力提升 如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 23.1　图形的旋转 知识点1　旋转的概念 1.有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②风车的转动;③钟摆的运动;④荡秋千运动.其中属于旋转的有(D) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是(D) 知识点2　旋转的性质 3.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=2,则DE=　2　.  4.如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,连接EF. (1)△ABF可以由△ADE顺时针旋转得到,则旋转中心是点　　　　,旋转角是　　　　度.  【解析】(1)△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A,按顺时针方向旋转90度得到; 答案:A　90 (2)试说明△AEF的形状. 【解析】(2)根据(1)得AE=AF,∠EAF=90°, ∴△AEF是等腰直角三角形; (3)若AD=4,DE=1,求EF的长. 【解析】(3)∵AD=4,DE=1, ∴AE==, ∴AF=,∵AE=AF,∠EAF=90°, ∴EF==. 知识点3　旋转作图 5.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是(A) 6.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,点A和B的坐标分别为(2,0),(0,-4),若将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AC,则点C的坐标为　(-2,2)　.  7.如图,△ABC在平面直角坐标系中,各顶点坐标分别为A(-1,4),B(-3,2),C(-2,1). (1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1.并写出点A1的坐标; (2)画出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标; (3)画出△ABC绕点O旋转180°得到的△A3B3C3.并写出点A3的坐标. 【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求. 点A1的坐标为(-1,-1). (2)如图,△A2B2C2即为所求. 点A2的坐标为(4,1). (3)如图,△A3B3C3即为所求. 点A3的坐标为(1,-4). 8.(2023·佛山质检)如图,在△ABC中,∠B=37°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,使点B落在BC的延长线上的D点处,则∠BDE=(D) A.84° B.80° C.77° D.74° 9.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法错误的是(C) A.∠EAC=∠B B.△EDC是等腰直角三角形 C.BD2+AD2=CD2 D.∠AED=∠ACD 10.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为(B) A.2　　　B.　　　C.3　　　D.1.5 11.如图,在△ABC中,AB=10,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为　25　.  12.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为旋转中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是　(-2,0)或(2,10)　.  13.(推理能力、几何直观)阅读下面材料,并解决问题: (1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求 ∠APB的度数. 为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=　　　　;  【解析】(1)∵△ACP'≌△ABP, ∴AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C=∠APB, 由题意知旋转角∠PAP'=60°, ∴△APP'为等边三角形, PP'=AP=3,∠AP'P=60°, 易证△PP'C为直角三角形,且∠PP'C=90°, ∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°; 答案:150° (2)基本运用 请你利用第(1)题的解答方法,解答下面问题: 已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2; 【解析】(2)如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE', 由旋转的性质得,AE'=AE,CE'=BE,∠CAE'=∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°, ∵∠EAF=45°, ∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°, ∴∠EAF=∠E'AF, 在△EAF和△E'AF中,, ∴△EAF≌△E'AF(SAS),∴EF=E'F, ∵∠CAB=90°,AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45°, ∴∠E'CF=45°+45°=90°, 由勾股定理得,E'F2=CE'2+FC2, 即EF2=BE2+FC2. (3)能力提升 如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值. 【解析】(3)如图,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处,连接OO', ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°, ∴AB=2, ∴BC==, ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°至△A'O'B,∴△A'O'B如图所示, ∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°, A'B=AB=2,BO'=BO,A'O'=AO, ∴△BOO'是等边三角形, ∴BO=OO',∠BOO'=∠BO'O=60°, ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°, ∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BOO'=120°+60°=180°, ∴C,O,A',O'四点共线, 在Rt△A'BC中,A'C===, ∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=. 学科网（北京）股份有限公司 $$