1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时 用空间向量研究距离问题）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版 数学 选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 自主预习 新知导学 一、 点到直线的距离 1.点到直线的距离 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为　　　　　.  解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,连接GD1, 则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1), 二、点到平面的距离 1.点到平面的距离 2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　) 答案:D 合作探究 释疑解惑 探究一 点到直线的距离 【例1】 如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1的中点,求点M到直线AD1的距离. 分析:利用点到直线的距离公式求解. 探究一 探究二 探究一 探究二 若本例中的“点M是线段DC1的中点”改为“点M是线段DC1上的动点”,其他条件不变,试求点M到直线AD1距离的最小值. 探究一 探究二 探究一 探究二 反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤 第一步:依据图形先求出直线的单位方向向量u. 探究一 探究二 探究一 探究二 解:取AC的中点D,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 探究一 探究二 探究二 点到平面的距离 【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求: (1)点D1到平面A1BD的距离; (2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离. (2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离. 探究一 探究二 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0), 取x=1,则y=-1,z=-1. 所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量. 探究一 探究二 (2)根据题意,知A1D1 BC, 所以四边形A1BCD1为平行四边形.所以A1B∥D1C. 因为A1B⊄平面B1CD1,D1C⊂平面B1CD1, 所以A1B∥平面B1CD1. 同理BD∥平面B1CD1. 因为A1B∩BD=B,A1B⊂平面A1BD,BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1. 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离. 探究一 探究二 反思感悟 用向量方法求点面距的步骤 (1)建系:建立适当的空间直角坐标系. (2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标. 提醒:用向量方法求线面距、面面距时一般要转化为求点面距. 探究一 探究二 【变式训练2】 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合),使得点A1到平面AED的距离为 ? 探究一 探究二 解:如图,以点C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0), 探究一 探究二 所以,存在点E且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为 . 探究一 探究二 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,如图所示.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.点P到直线l的距离PQ=. 所以=(1,-1,-1),=(0,-2,1). 取a==(0,-2,1),u=(1,-1,-1), 则a2=5,a·u=. 所以点D1到直线GF的距离为. 答案: 设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离d=. A.10 B.3 C. D. 解析:∵A(-1,3,0),P(-2,1,4), ∴=(-1,-2,4).∴·n=10,|n|=3. ∴点P到平面α的距离为. 解:因为A(a,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),M, =(-a,0,a),=, 直线AD1的一个单位方向向量u==, ·u=a. 所以点M到直线AD1的距离d=a. 解:连接MD1.设M(0,m,m)(0≤m≤a). 因为A(a,0,0),D1(0,0,a),所以=(-a,0,a). 取a==(0,-m,a-m),u=. 所以,点M到直线AD1的距离 d=. 当m=-时,根式内的二次函数取得最小值a2. 故d的最小值为a. 第二步:在直线上任取一点M(注:可选择特殊便于计算的点).计算MN的方向向量. 第三步:在直角三角形中,垂线段的长度可利用勾股定理计算d=. 【变式训练1】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若BB1=AB=2,求点C到直线AB1的距离. 则A(0,-1,0),B1(,0,2),C(0,1,0), 所以=(,1,2),=(0,2,0). 取a==(0,2,0),u=, 则a2=4,a·u=. 所以点C到直线AB1的距离为. 分析:(1)由平面A1BD的法向量和向量可求出点D1到平面A1BD的距离; 所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥, 所以所以 所以点D1到平面A1BD的距离d=. 由(1)知,点D1到平面A1BD的距离为, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. (3)求向量:求出相关向量的坐标(,α内两不共线向量,平面α的法向量n). (4)求距离:d=. 设=λ,λ∈(0,1), 则E(2λ,2(1-λ),2λ). 又=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ), 设n=(x0,y0,z0)为平面AED的法向量, 则 取x0=1,则y0=,z0=2,即n=, 由于d=, ∴,又λ∈(0,1),解得λ=, $$