1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版 数学 选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　用空间向量研究直线、平面的垂直关系 自主预习 新知导学 空间中直线、平面的垂直 1.空间中直线、平面的垂直 2.(1)若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(　　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 (2)若平面α,β的法向量分别为m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为 (　　) 解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a, ∴n∥a.∴l⊥α. (2)∵α⊥β,∴它们的法向量互相垂直. ∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故选B. 答案:(1)B　(2)B 合作探究 释疑解惑 探究一 利用向量证明线线垂直 【例1】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN. 探究一 探究二 探究三 规范解答 则{a,b,c}构成空间的一个基底.由已知条件和正三棱柱的性质, 得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0. 探究一 探究二 探究三 规范解答 证法二:设线段AB的中点为O,连接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于点O1. 由题意知,可以以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟 利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤: (1)基向量法 ①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底; ②把两条直线的方向向量用基底表示; ③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两条直线垂直. 探究一 探究二 探究三 规范解答 (2)坐标法 ①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; ②根据所求出点的坐标求出两条直线方向向量的坐标; ③计算两条直线方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N,使MN⊥DC1?并说明理由. 探究一 探究二 探究三 规范解答 解:存在点N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),C1(0,2,3),M. 假设在DD1上存在一点N,使MN⊥DC1. 设N(0,0,h),0≤h≤3, 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 利用向量证明线面垂直 【例2】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为棱CC1的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD. 探究一 探究二 探究三 规范解答 证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO. 因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC. 又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 平面ABC⊥平面BCC1B1, 平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC, 所以AO⊥平面BCC1B1. 探究一 探究二 探究三 规范解答 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD. 探究一 探究二 探究三 规范解答 (方法二)设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 探究一 探究二 探究三 规范解答 本例中增加条件:E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系Exyz, 所以EF⊥EA,EF⊥ED. 又因为EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE. 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟 1.坐标法证明线面垂直的两种思路 思路一:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0. 思路二:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)求出平面的法向量; (4)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用思路二,否则常常选用思路一解决. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B, DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F. 探究一 探究二 探究三 规范解答 证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1, 探究一 探究二 探究三 规范解答 取z=1,则y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 利用向量证明面面垂直 【例3】 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A= ,AB=AC=2A1C1 =2,D为BC中点. 证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 探究一 探究二 探究三 规范解答 证明:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 所以BC⊥AD,BC⊥AA1. 又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1. 因为BC⊂平面BCC1B1, 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2. 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟 1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得证面面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°, ∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. ∵∠BCD=90°, ∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD⊂平面BCD, ∴AB⊥CD. 又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC. 探究一 探究二 探究三 规范解答 设n=(x,y,z)是平面BEF的法向量, 探究一 探究二 探究三 规范解答 【规范解答】 【典例】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,C1B1的中点,G为CC1上任一点,tan∠ECD=4. (1)求证:AG⊥EF; (2)确定点G的位置,使AG⊥平面CEF,并说明理由. 审题策略:(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明;(2)假设存在,设出点G的坐标,利用线面垂直这个条件求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范展示:因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四边形ABCD是正方形,设其边长为2a. ∠ECD是EC与底面所成的角,而∠ECD=∠CEC1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a. 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a), 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板:第1步:设出正方形的边长,计算棱柱的高 ⇓ 第2步:建立空间直角坐标系 ⇓ 第3步:求相关点的坐标 ⇓ 第4步:求出直线的方向向量的坐标,利用方向向量垂直,证明线线垂直 ⇓ 第5步:根据点G在CC1上,设出点G的坐标 ⇓ 第6步:利用AG⊥CE,对应向量的数量积为0,列出等式,得到点G的坐标 ⇓ 第7步:根据点G的坐标,下结论 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟 通过分析,得出规范解答本题的要点如下: (1)建系之前,根据已知条件整理好正四棱柱的长、宽、高的长度,长度设得巧妙; (2)利用中点坐标公式或点共线的关系求出相关点的坐标; (3)正确计算出向量的坐标和记住数量积的坐标公式; (4)正确将线线垂直、线面垂直转化为对应向量之间的关系; (5)正确把握探究性问题的解题思路. 探究一 探究二 探究三 规范解答 位置关系 向量表示 图示 线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔ u1⊥u2⇔u1·u2=0 线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔ n1⊥n2⇔n1·n2=0 A.10 B.-10 C. D.- 分析:转化为证明,有两种思路:一是利用基向量表示;二是建系,用坐标表示. 证法一:设=a,=b,=c, =a+c,=b-a, =-a+b+c. ∵=(a+c)·=-cos 60°+0-0+0+=0, ∴. ∴AB1⊥MN. 由已知得A,B,C,N,B1, ∵M为BC的中点,∴M. ∴=(1,0,1). ∵=-+0+=0, ∴. ∴AB1⊥MN. 则=(0,2,3). 由MN⊥DC1,得·(0,2,3)=-4+3h=0,解得h=. 所以当h=时,,即MN⊥DC1. 因此,存在点N∈DD1,使MN⊥DC1. 分析:有两种思路:一是证明,利用线面垂直的判定定理证明;二是证明与平面A1BD的法向量平行,利用线面垂直的向量表示证明. 取B1C1的中点O1,连接OO1.以O为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz. 因为B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0), 所以=(1,2,-),=(-1,2,),=(-2,1,0). (方法一)因为=1×(-1)+2×2+(-)×=0, =1×(-2)+2×1+(-)×0=0, 所以, 则n⊥,n⊥.所以 即所以 取x=1,则y=2,z=-. 于是n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量. 而=(1,2,-),所以=n. 所以∥n.所以AB1⊥平面A1BD. 则A(0,0,),D(-1,1,0),E(0,0,0),F(1,1,0), 所以=(0,0,),=(-1,1,0),=(1,1,0). 因为=1×0+1×0+0×=0, =1×(-1)+1×1+0×0=0, 所以. 则A(1,0,0),E,A1(1,0,1),D1(0,0,1),F, 所以=(-1,0,0),. 设平面A1D1F的法向量n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥. 所以n·=0,n·=0, 即所以 又, 所以n=2. 所以n∥. 所以AE⊥平面A1D1F. 分析:思路一:证明垂直于平面A1AD内的两个不共线向量,即可证得平面A1AD⊥平面BCC1B1.思路二:证明两个平面的法向量垂直. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,). 因为D为BC的中点,所以点D坐标为(1,1,0). (方法一)建系后,得=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,). 因为=-2+2+0=0,=0+0+0=0, 所以. (方法二)建系后,得=(0,0,),=(1,1,0), =(-2,2,0),=(0,-1,). 设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). 由 取y1=-1,则x1=1. 所以n1=(1,-1,0)是平面A1AD的一个法向量. 由 取y2=1,则x2=1,z2=. 所以n2=是平面BCC1B1的一个法向量. 设A(0,0,a),则C,D(0,a,0),E,F. ∴为平面ABC的一个法向量. 则n⊥,n⊥. 由n·=0,得(x,y,z)·=0,有x=y. 由n·=0,得(x,y,z)·=0,有ay+z=0,即z=-y. 取y=1,则x=1,z=-.∴n=(1,1,-)是平面BEF的一个法向量. ∵n·=(1,1,-)·=0, ∴n⊥,∴平面BEF⊥平面ABC. 所以=(a,-a,0),=(-a,0,4a). G为CC1上任一点,设G(2a,2a,b)(0≤b≤4a), 则=(2a,2a,b). (1)因为=2a2-2a2+0=0, 所以.所以AG⊥EF. (2)由(1)知,AG⊥EF,要使AG⊥平面CEF,只需AG⊥CE,即. 因为=(2a,2a,b)·(-a,0,4a)=-2a2+4ab=0, 所以b=a,即当CG=CC1时,AG⊥平面CEF. $$