1.4.1 第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版 数学 选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系 自主预习 新知导学 一、 空间中点、直线的向量表示 2.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案:A 二、空间中平面的向量表示 (2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a· =0}. 2.已知平面α内一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点在平面α内的是(　　) 答案:B 三、空间中直线、平面的平行 1.空间中直线、平面的平行 2.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) (2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,则l与α的位置关系是　　　　　.  解析:(1)∵l1∥l2, ∴a∥b. ∴存在λ∈R,使得a=λb, 则有2=3λ,4=λx,5=λy, (2)∵v·n=2-4+2=0, ∴v⊥n. 又l⊄α,∴l∥α. 答案:(1)D　(2)l∥α 合作探究 释疑解惑 探究一 求平面的法向量 【例1】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系.求: (1)平面ABCD的一个法向量; (2)平面SAB的一个法向量; (3)平面SCD的一个法向量. 分析:先建系,求平面法向量的两种思路:一是找平 面的垂线;二是待定系数法设出法向量,利用法向量与平面内的两条不共线的向量垂直,计算出平面的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 解:由题意知AD,AB,AS两两垂直.以A为原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A, ∴AD⊥平面SAB, 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量. 2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 有无数多个解,只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 探究一 探究二 探究三 【变式训练1】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 解:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2). (1)连接AC(图略),因为AC⊥平面BDD1B1, 取x=2,则y=-2,z=-1. 所以,n=(2,-2,-1)为平面BDEF的一个法向量. 探究一 探究二 探究三 探究二 利用空间向量证明线线平行 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形. 分析:转化为证明直线的方向向量平行. 探究一 探究二 探究三 又F∉AE,F∉EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF. ∴四边形AEC1F是平行四边形. 探究一 探究二 探究三 反思感悟 1.两直线平行⇒两直线的方向向量共线; 2.两直线的方向向量共线⇒两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合. 探究一 探究二 探究三 【变式训练2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1, A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1. 探究一 探究二 探究三 证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设DA=a,DC=b,DD1=c, 探究一 探究二 探究三 探究三 利用空间向量证明线面、面面平行 【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 分析:(1)设向量n1为平面ADE的法向量,要让FC1∥平面ADE,需证明 ⊥n1. (2)设向量n2为平面B1C1F的法向量,要让平面ADE∥平面B1C1F,需证明n1∥n2. 探究一 探究二 探究三 证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 探究一 探究二 探究三 (2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量, 取y2=-1,则z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量. 因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 探究一 探究二 探究三 反思感悟 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示. 方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. 方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线向量,则可判定两平面平行. 探究一 探究二 探究三 【变式训练3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 1.(1)空间点的向量表示:在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示:如图,点A是直线l上任意的一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta或+t,这两式都称为空间直线的向量表示式. 解析:=(2,4,6)=2(1,2,3). 1.(1)空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y ,这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 解析:设在平面α内的为点P. 对于B,. 因为n·=(3,1,2)·=0, 所以n⊥.所以点P为,在平面α内. A.(1,-1,1) B. C. D. 位置关系 向量表示 图示 线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 位置关系 向量表示 图示 面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 解得x=6,y=. 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面ABCD, ∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. ∴是平面SAB的一个法向量. (3)=(1,1,-1). 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥. 所以 即所以 取y=-1,则x=2,z=1,所以,n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量. (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量. (2)∵=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥. 所以所以 解:以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方向向量, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F, ∴. ∵, ∴. 则A(a,0,0),C1(0,b,c),E,F, 所以=(-a,b,c). ∵,且FE与AC1不重合, ∴直线EF∥AC1. 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0). (1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥, 从而所以 取y1=-1,则z1=2.所以,n1=(0,-1,2)是平面ADE的一个法向量. 因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 则n2⊥,n2⊥, 从而所以 解:以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=a, 则A(0,0,0),D(0,1,0),E,B1(a,0,1), 假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0), 使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0), 再设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z). =(a,0,1),=. 因为n⊥平面B1AE, 所以n⊥,n⊥,得 取x=1,则y=-,z=-a, 则平面B1AE的一个法向量n=. 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥, 即-az0=0,解得z0=. 所以棱AA1上存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=. $$