1.3 空间向量及其运算的坐标表示课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版 数学 选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 自主预习 新知导学 一、 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 (1)定义:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O叫做原点, i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面, Oyz 平面, Ozx 平面,它们把空间分成八个部分. (2)画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°. (3)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (5)空间向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a= xi+yj+zk .有序实数组(x,y,z) 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) . 答案:(1)(1,1,0)　(1,1,1)　(2)(1,0,1)　(0,1,1)　(3)(0,0,1)　(0,1,0) 2.如图,在棱长为1的正方体中, 写出下列各点和向量的坐标: (1)B　　　　　,B'　　　　　;  二、空间向量运算的坐标表示 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 2.(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　) A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 (2)与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(　　) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) 解析:(1)易验证A,B,C均不正确; (2)只有C选项中向量与a,b的数量积都为0. 答案:(1)D　(2)C 三、空间两点间的距离公式 1.设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 合作探究 释疑解惑 探究一 空间点、向量的坐标表示 【例1】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求: (1)点B,C1,B1,M,N的坐标; 探究一 探究二 探究三 探究四 所以点B的坐标是(0,1,0). 同理,点C1的坐标是(0,0,2). 点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C,B,C1,它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2,所以点B1的坐标是(0,1,2). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟 1.建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的把直角边放在坐标轴上. 2.求空间点、向量的坐标的一般步骤 (1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系. (2)运算:找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标,综合利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量. (3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标,将所求向量用已知的基向量表示出来确定坐标. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出各顶点的坐标; 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k. 因为正方体的棱长为2, 因为D(0,0,0), 所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2). 同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 空间向量的坐标运算 (1)p+2q; (2)3p-q; (3)(p-q)·(p+q); (4)cos<p,q>. 分析:先由点的坐标计算得到向量p,q的坐标,然后再进行各种运算. 探究一 探究二 探究三 探究四 解:因为A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2), (1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9). (2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15). (3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26. 反思感悟 1.一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法、减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练2】 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求: (1)a+b;(2)a-b;(3)a·b; (4)2a·(-b);(5)(a+b)·(a-b). 解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2). (2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6). (3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7. (4)∵2a=(4,-2,-4), ∴(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14. (5)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+4-(0+1+16)=-8. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 探究一 探究二 探究三 探究四 解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 1.若把本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,则结果又是什么? 探究一 探究二 探究三 探究四 2.本例中若G是A1D的中点,点H在平面Dxy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断. ①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线. ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用. ①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb,其中λ∈R),建立关于参数的方程. ②选择坐标表示,以达到简化运算的目的. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练3】 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证: (1)AE⊥D1F; (2)AE⊥平面A1D1F. 探究一 探究二 探究三 探究四 解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 探究一 探究二 探究三 探究四 由(1)知AE⊥D1F. ∵D1A1∩D1F=D1,D1A1,D1F⊂平面A1D1F, ∴AE⊥平面A1D1F. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中点.利用空间向量解决下列问题: (1)求EF与C1G所成角的余弦值; (2)求F,H两点间的距离. 分析:建系Dxyz→得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 (1)建系:根据题目中的几何图形建立适当的空间直角坐标系. (2)求坐标:①求出相关点的坐标,②写出向量的坐标. (3)论证、计算:结合公式进行论证、计算. (4)转化:转化为几何结论. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练4】 如图①所示,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到图②. 设E为BC的中点,求直线AE与直线DB所成角的余弦值. ① ② 探究一 探究二 探究三 探究四 解:如图,以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 探究一 探究二 探究三 探究四 (4)空间点的坐标表示:在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使= xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z) ,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z) ,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. (2)=　　　　　,=　　　　　;  (3)=　　　　　,=　　　　　.  向量运算 坐标表示 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa (λa1,λa2,λa3),λ∈R a·b a1b1+a2b2+a3b3 当b≠0时,a∥b a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,λ∈R a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0 |a| cos<a,b> 由|a|==6,知D正确. (1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). (2)P1P2=||=.这就是空间两点间的距离公式. 2.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是　　　　. 解析:设点P(x,y,z).由=2, 得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z), 则解得 即P(-1,3,3).故||==2. 答案:2 分析:以为单位正交基底,建立空间坐标系Cxyz,计算点和向量的坐标. (2)向量的坐标. 解:∵CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,且CA=CB=1,CC1=2, ∴以为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. (1)点B在y轴上,且CB=1,所以=0i+j+0k. 同理,点M的坐标是,点N的坐标为(1,0,1). (2)∵=i-j+k, ∴的坐标为(1,-1,1). 而=i-j+2k, ∴的坐标为(1,-1,2). 又=-,∴的坐标为(-1,1,-2). (2)写出向量的坐标. 所以=2i,=2j,=2k. 又因为=2i+2j,所以B(2,2,0). (2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点, 所以-=-2i-j-k=(-2,-1,-1); -()= -2i-j-2k=(-2,-1,-2); =2j-k=(0,2,-1). 【例2】 已知空间中A,B,C,D四点的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4), (2,-1,-2).若p=,q=,求下列各式的值: 所以p==(2,1,3),q==(2,0,-6). (4)cos<p,q>==-. 【例3】 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 分析:先建系,求相应点的坐标,根据PQ⊥AE⇔=0求解. 则D(0,0,0),A(1,0,0),E,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),0≤a≤1. 因为3, 所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0). 所以3a-3=-a,解得a=. 所以点P的坐标为. 由题意,可设点Q的坐标为(b,b,0),0≤b≤1. 因为PQ⊥AE,所以=0. 所以=0, 即-=0,解得b=. 所以点Q的坐标为. 因为=λ,所以(-1,-1,0)=λ. 所以 =-1,解得λ=-4. 解:设点Q的坐标为(c,c,0),0≤c≤1. 因为B1Q⊥EQ,所以=0. 所以(c-1,c-1,-1)·=0,即c(c-1)+c(c-1)+=0, 解得c=.所以点Q的坐标为, 即点Q是线段BD的中点. 因此=-2,则λ=-2. 解:因为G是A1D的中点, 所以点G的坐标为. 因为点H在平面Dxy上,所以设点H的坐标为(m,n,0). =(m,n,0)-=,=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1). 因为,所以,解得m=1,n=. 所以点H的坐标为,即H为线段AB的中点. 则D(0,0,0),A(1,0,0),E,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),0≤a≤1. 因为3, 所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0). 所以3a-3=-a,解得a=. 所以点P的坐标为. (2)=(1,0,0), ∵=(1,0,0)·=0, ∴,即AE⊥D1A1. 解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),E,F,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G. (1)因为,所以||=. 又因为, 所以||=. 所以cos<>=, 即EF与C1G所成角的余弦值为. (2)因为H是C1G的中点, 所以H. 又F,所以FH=||=. 设AB=2,则A(0,0,),E,B(1,0,0),D(0,0,0), ∴=(1,0,0),=, ∴cos<>=, ∴直线AE与直线DB所成角的余弦值为. $$