外接球问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

立体几何：外接球问题专项训练 立体几何：外接球问题专项训练 1．（2024·江苏扬州·二模）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东菏泽·一模）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ． 9．（2024·广东肇庆·模拟预测）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 10．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 11．（2024·福建泉州·二模）在四面体ABCD中，，且，则该四面体的外接球表面积为 ． 12．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 13．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ． 14．（2024·福建漳州·三模）在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：外接球问题专项训练 立体几何：外接球问题专项训练 1．（2024·江苏扬州·二模）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 2．（2024·山东菏泽·一模）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令给定的正三棱台为正三棱台，， 令正的中心分别为，而， 则，解得， 的外接圆半径，的外接圆半径， 显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则， 因此，解得， 所以该正三棱台的外接球表面积为. 故选：C 3．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1， 则，即有，同理，而平面， 于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为， 则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则， 而，则四边形是矩形，， 所以球半径，表面积. 故选：B 4．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设直三棱柱高为，因为， 所以斜边，底面三角形外接圆半径， 由题有外接球表面积，可得，所以， 所以三棱柱体积为. 故选：D. 5．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B. 6．（2024·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，交于点，易得为的外心． 连接．交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上． 设的外接圆圆心为平面， 由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点， 所以．    设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．则， 设，， ，又， ． 设，则， 设，则， 在单调递增，又， 所以在单调递减，在单调递增，又， 所以． 故选：C． 7．（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 8．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】记为的中点，连接， 由题意知，且， 所以外接圆的直径为，且，即半径， 过作平面，因为平面，则， 又点到平面的距离是，即，而， 所以，同理， 又，所以是同一个点，所以平面， 设三棱锥的外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球表面积为. 故答案为： 9．（2024·广东肇庆·模拟预测）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得, 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为， ， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径， 故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小， 故外接球的表面积为, 故答案为：,    10．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】如图: 由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心， 则， 又， 所以该三棱锥为正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 11．（2024·福建泉州·二模）在四面体ABCD中，，且，则该四面体的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，作平面ABC，连接AH，HB，HC， 易得，因平面DAH， 所以平面DAH，平面DAH，故， 由题可得，则． 不妨设，则有①， 中，由余弦定理，， 在中，②， 将两式相减化简即得：． 取线段AC中点E，过点E作平面ABC， 其中点O为外接球的球心，设外接球半径为R， 由余弦定理求得，    在直角梯形中，，由计算可得：， 则该四面体的外接球表面积为． 故答案为：. 12．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 【答案】 【详解】如图，，且，故， 可得，则，取中点，连接， 则，又，面，可得面 又面，则，又分别是的中点，连接，则// 由题意得，故，，又， 面，故面，又，则， 可得，则两两垂直， 故以作长方体，如图所示， 则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接， 其中点为所求外接球的球心，设其半径为， 可得，故，解得，而， 设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接， 则， 可得， 故， 而，，， 易知是的中点，由，得，故得， 而由勾股定理得，则， 故可将一式化为， 解得，而半径比为， 故答案为：； 13．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，连接，因为底面为等腰三角形，，所以，所以， 又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为三角形为等腰三角形，，则，设，则， 设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为， 连接，则三点共线，由平面得平面， 由正弦定理得，故，则， 连接，则，由平面，且三角形外接圆的圆心为，可得， 因为平面，所以，又平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 又因为点到平面的距离的最大值为，所以，解得，所以，球的表面积为. 故答案为：. 14．（2024·福建漳州·三模）在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$