2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程 2024.8 教学目标： 教学重点： 教学难点： 掌握圆的标准方程的特点，会根据已知条件求圆的标准方程． 1.会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点； 2.会根据已知条件求圆的标准方程； 3.能准确判断点与圆的位置关系. 会根据已知条件求圆的标准方程． 情境导入 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．” 如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？ 知识点一　圆的标准方程 　什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径. 平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 确定圆的几何要素：圆心和半径 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小 圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？ x y O r A(a,b) M(x,y) 设点M (x,y)为圆A上任一点，则|MA|= r． 圆上所有点的集合P = { M | |MA| = r } (x-a)2+(y-b)2=r2 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上． 圆心C(a,b),半径r 平方和=平方，括号内是相减 三个独立条件a,b,r确定一个圆的方程. 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为： x2+y2=r2 由题意得，圆心为(1，0)， 2．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________________________． 由题意得圆心坐标为(1，－3)， 半径为 所以以线段AB为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. 知识点二　点与圆的位置关系 1.点M在圆外，|MC|>r C M(x,y) (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; 2.点M在圆上，|MC|=r C M(x,y) (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; 3.点M在圆内，|MC|<r C M(x,y) (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; 练习：(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心为(4，－3)，半径为5，A，C正确 由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内， 由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外， 题型一 求圆的标准方程 角度1　直接法求圆的标准方程 例1　（2024·清远月考）求下列圆的标准方程： （1）圆心是（4，－1），且过点（5，2）； 圆心为 C （4，－1），且过点（5，2）， ∴圆的标准方程为（ x －4）2＋（ y ＋1）2＝10 （2）圆心在 y 轴上，半径长为5，且过点（3，－4）. 设圆心为 C （0， b ）， ∴（4＋ b ）2＝16＝42， ∴4＋ b ＝4或4＋ b ＝－4，∴ b ＝0或 b ＝－8， ∴圆的标准方程为 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25. 角度2　待定系数法求圆的标准方程 例2　已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，5）， B （1，－2）， C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2. 故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25. 待定系数法求圆的标准方程的步骤 ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． 角度3　几何性质法求圆的标准方程 例3　（2024·江门月考）求圆心在直线 x －2 y －3＝0上，且过点 A （2，－3）， B （－2，－5）的圆的方程. 线段AB的中点为(0，－4)， ( ) ( ) 所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2， 所以线段AB的垂直平分线的方程为：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4． 圆心为(－1，－2)， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 常用的圆的几何性质 （1）圆的半径 r ，弦长的一半 h ，弦心距 d 满足 r2＝ h2＋ d2； （2）圆的弦的垂直平分线过圆心； （3）圆的切线垂直于过切点的直径； （4）一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分 线的交点； （5）已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线（圆的弦）的垂 直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心. 练习： 与圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝36同圆心，且面积等于圆 C 面积一半的圆的方程为（　　） A. （ x －1）2＋ y2＝18 B. （ x －1）2＋ y2＝9 C. （ x －1）2＋ y2＝6 D. （ x －1）2＋ y2＝3 　圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝36的圆心坐标为（1，0），半径为6， 则所求圆的圆心为（1，0），圆的半径为 所以所求圆的方程为（ x －1）2＋ y2＝18. 题型一 点与圆的位置关系 例4　（2024·宿迁月考）已知点 A （1，2）和圆 C ：（ x － a ）2 ＋（ y ＋ a ）2＝2 a2，试分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围： （1）点 A 在圆的内部； 因为点 A 在圆的内部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＜2 a2，且 a 不为0， ＜ （2）点 A 在圆上； 因为点 A 在圆上，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＝2 a2， （3）点 A 在圆的外部. 因为点 A 在圆的外部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＞2 a2， 且 a 不为0，解得 a＞ 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 练习：（2024·安阳月考）若点 A （ a ＋1，3）在圆 C ：（ x － a ）2＋（ y －1）2＝ m 的内部，则实数 m 的取值范围是（　　） A. （5，＋∞） B. [5，＋∞） C. （0，5） D. [0，5] 由题意得（ a ＋1－ a ）2＋（3－1）2＜ m ，解得 m ＞5. （多选）以直线2 x ＋ y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另 一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A. x2＋（ y －4）2＝20 B. （ x －4）2＋ y2＝20 C. x2＋（ y －2）2＝20 D. （ x －2）2＋ y2＝20 令 x ＝0，则 y ＝4；令 y ＝0，则 x ＝2.所以直线2 x ＋ y －4＝0与两坐标轴的交点分别为 A （0，4）， B （2，0）， ｜ AB ｜= 以 A 为圆心，过 B 点的圆的标准方程为 x2＋（ y －4）2＝20.以 B 为圆心，过 A 点的圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝20. $$