22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质第2课时同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 知识点1　设一般式求二次函数解析式 1.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0),当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为 ( ) A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1 2.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象,那么a的值是 ( ) A.2 B.-2 C.- D.±2 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),则二次函数的解析式为　 　.  4.已知某二次函数图象经过(0,-3),(-3,0),(1,0)三点,求该二次函数的解析式和顶点坐标. 知识点2　灵活选择设法求二次函数解析式 5.顶点为(-2,1),与y=x2-4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为　 　.  6.如图,在直角坐标系中,已知直线y=-x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点坐标为(-2,0). (1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (2)如果M为抛物线的顶点,连接AM,BM,求四边形AOBM的面积. 7.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为 ( ) A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x C.y=x2-2x D.y=x2+2x 8.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的解析式是 ( ) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 9.如图,抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2:y=ax2+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A,B(点B在点A右侧),与y轴的交点分别为C,D.如果BD=CD,那么抛物线C2的解析式是　 　.  10.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3). (1)求二次函数的解析式和顶点坐标. (2)当-4≤x≤0时,求y的最大值与最小值之和. (3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值. 11.(几何直观,运算能力,抽象能力)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C. (1)求二次函数的解析式; (2)若点M在直线AB上,且在第四象限,过点M作MN⊥x轴于点N. ①若点N在线段OC上,且MN=3NC,求点M的坐标; ②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧),当点P在抛物线上时,求点M的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 知识点1　设一般式求二次函数解析式 1.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0),当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为(A) A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1 2.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象,那么a的值是(B) A.2 B.-2 C.- D.±2 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),则二次函数的解析式为　y=-x2+2x+2　.  4.已知某二次函数图象经过(0,-3),(-3,0),(1,0)三点,求该二次函数的解析式和顶点坐标. 【解析】设二次函数解析式为y=ax2+bx+c, 由(0,-3),(-3,0),(1,0)在其图象上, 得,解得, ∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3, 化为顶点式可得y=(x+1)2-4, ∴顶点坐标为(-1,-4). 知识点2　灵活选择设法求二次函数解析式 5.顶点为(-2,1),与y=x2-4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为　y=(x+2)2+1　.  6.如图,在直角坐标系中,已知直线y=-x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点坐标为(-2,0). (1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; 【解析】(1)当x=0时,y=-x+4=4, 则A(0,4),当y=0时,-x+4=0,解得x=8,则B(8,0),设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),把A(0,4)代入得a×2×(-8)=4, 解得a=-, ∴抛物线解析式为y=-(x+2)(x-8),即y=-x2+x+4. (2)如果M为抛物线的顶点,连接AM,BM,求四边形AOBM的面积. 【解析】(2)∵y=-(x-3)2+, ∴M,作MD⊥x轴于点D,如图,四边形AOBM的面积= S梯形AODM+S△BDM=×(4+)×3+×5×=31. 7.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为(D) A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x C.y=x2-2x D.y=x2+2x 8.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的解析式是(D) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 9.如图,抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2:y=ax2+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A,B(点B在点A右侧),与y轴的交点分别为C,D.如果BD=CD,那么抛物线C2的解析式是　y=　.  10.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3). (1)求二次函数的解析式和顶点坐标. 【解析】(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=-x2+bx+c, 得b=-6,c=-3. ∴二次函数的解析式为y=-x2-6x-3, 配方得y=-(x+3)2+6,顶点坐标为(-3,6); (2)当-4≤x≤0时,求y的最大值与最小值之和. 【解析】(2)∵y=-(x+3)2+6,∴二次函数对称轴为直线x=-3, 又∵-4≤x≤0,函数开口向下, ∴当x=-3时,y有最大值为6, 当x=0时,y有最小值为-3, 最大值与最小值之和为6+(-3)=3; (3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值. 【解析】(3)①当-3<m≤0时,当x=0时,y有最小值为-3, 当x=m时,y有最大值为-m2-6m-3, ∴-m2-6m-3+(-3)=2, ∴m=-2或m=-4(舍去). ②当m≤-3时, 当x=-3时,y有最大值为6, ∵y的最大值与最小值之和为2, ∴y的最小值为-4,∴-(m+3)2+6=-4, ∴m=-3-或m=-3+(舍去). 综上所述,m=-2或-3-. 11.(几何直观,运算能力,抽象能力)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C. (1)求二次函数的解析式; 【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B(0,-4),∴c=-4, ∵对称轴为直线x=1,且经过点A(-2,0), ∴,解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-x-4; (2)若点M在直线AB上,且在第四象限,过点M作MN⊥x轴于点N. ①若点N在线段OC上,且MN=3NC,求点M的坐标; ②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧),当点P在抛物线上时,求点M的坐标. 【解析】(2)①如图1中,设直线AB的解析式为y=kx+n, ∵A(-2,0),B(0,-4), ∴,解得, ∴直线AB的解析式为y=-2x-4, ∵A,C关于直线x=1对称,∴C(4,0), 设N(m,0),0≤m≤4,∵MN⊥x轴, ∴M(m,-2m-4),∴NC=4-m, ∵MN=3NC,∴2m+4=3(4-m), ∴m=,∴点M(,-); ②如图2中,连接PQ交MN于点E. 设M(t,-2t-4),则点N(t,0), ∵四边形MPNQ是正方形, ∴PQ⊥MN,NE=EP,NE=MN, ∴PQ∥x轴, ∴E(t,-t-2),∴NE=t+2, ∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2, ∴P(2t+2,-t-2), ∵点P在抛物线y=x2-x-4上, ∴(2t+2)2-(2t+2)-4=-t-2, 解得t1=,t2=-2,∵点P在第四象限, ∴t=,∴点M坐标为(,-5). 学科网（北京）股份有限公司 $$