22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质第1课时同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.已知抛物线的解析式为y=-x2-6x-7,则这条抛物线的顶点坐标是 ( ) A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2) 2.下列关于抛物线y=x2+2x-3的说法正确的是 ①开口方向向上; ②对称轴是直线x=-2; ③当x<-1时,y随x的增大而减小; ④当x<-1或x>3时,y>0. ( ) A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当x1<x2<x3<1时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是 ( ) A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 4.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 　.  5.已知二次函数y=2x2-4x-6. (1)用配方法将y=2x2-4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式; (2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象; (3)当x取何值时,y随x的增大而减小; (4)当x取何值时,y=0,y>0,y<0; (5)当0<x<4时,求y的取值范围; (6)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积. 知识点2　抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系 6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0 7.已知二次函数y=-x2+(m-4)x+m,当x<-1时,y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是 ( ) A.m<-2 B.m≤-2 C.m>2 D.m≥2 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确的有 ( ) ①abc>0; ②2a+b=0; ③b2<4ac; ④4a+2b+c>0; ⑤a+b≥am2+bm(m为任意实数) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.(名师原创)已知二次函数y=x2-2x-3,当y≥5时,自变量x的取值范围是 　 　.  10.在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+(a-1)x-1(a是常数,a≠0),则以下结论正确的是　 　.(填序号)  ①无论a取何值,该函数图象必定经过两个定点. ②如果在-1<x<0时,始终有y随x的增大而减小,则-1≤a≤1且a≠0. 11.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数). (1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围. (2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值. 12.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围. 13.(运算能力、抽象能力、创新意识)已知关于x的函数y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0)与函数y2=x2-2x+3,定义y1与y2的“和函数”为y=y1+y2. (1)若k=3,则y1与y2的“和函数”的解析式为　　　　　;  (2)若y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5,求k,b的值; (3)若y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n),求n关于m的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.已知抛物线的解析式为y=-x2-6x-7,则这条抛物线的顶点坐标是(B) A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2) 2.下列关于抛物线y=x2+2x-3的说法正确的是 ①开口方向向上; ②对称轴是直线x=-2; ③当x<-1时,y随x的增大而减小; ④当x<-1或x>3时,y>0.(A) A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当x1<x2<x3<1时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是(A) A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 4.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 　.  5.已知二次函数y=2x2-4x-6. (1)用配方法将y=2x2-4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式; 【解析】(1)y=2x2-4x-6 =2(x2-2x)-6 =2(x-1)2-8; (2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象; 【解析】(2)当y=0时,则2(x-1)2-8=0, 解得x1=-1,x2=3, 故图象与x轴交点坐标为:(-1,0),(3,0), 当x=0时,y=-6, 故图象与y轴交点坐标为:(0,-6), 如图所示: (3)当x取何值时,y随x的增大而减小; 【解析】(3)当x<1时,y随x的增大而减小; (4)当x取何值时,y=0,y>0,y<0; 【解析】(4)当x=-1或3时,y=0, 当x<-1或x>3时,y>0, 当-1<x<3时,y<0; (5)当0<x<4时,求y的取值范围; 【解析】(5)当0<x<4时, x=1时,y=-8,x=4时,y=10, 故y的取值范围是-8≤y<10; (6)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积. 【解析】(6)函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为×4×6=12. 知识点2　抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系 6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(C) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0 7.已知二次函数y=-x2+(m-4)x+m,当x<-1时,y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是(D) A.m<-2 B.m≤-2 C.m>2 D.m≥2 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确的有(B) ①abc>0; ②2a+b=0; ③b2<4ac; ④4a+2b+c>0; ⑤a+b≥am2+bm(m为任意实数) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.(名师原创)已知二次函数y=x2-2x-3,当y≥5时,自变量x的取值范围是 　x≥4或x≤-2　.  10.在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+(a-1)x-1(a是常数,a≠0),则以下结论正确的是　①②　.(填序号)  ①无论a取何值,该函数图象必定经过两个定点. ②如果在-1<x<0时,始终有y随x的增大而减小,则-1≤a≤1且a≠0. 11.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数). (1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围. 【解析】(1)∵y=-x2+2mx-m2+3m+1 =-(x-m)2+3m+1, ∴抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1的顶点坐标为(m,3m+1), ∵抛物线的顶点在第二象限, ∴,解得-<m<0; (2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值. 【解析】(2)∵当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且抛物线对称轴x=m, ∴-2<m<1, 当x=-2时,y=-m2-m-3, 当x=1时,y=-m2+5m, ∵当x=1时y有最小值, ∴-m2+5m≤-m2-m-3, 解得m≤-, ∴-2<m≤-, ∵m为整数, ∴m=-1. 12.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; 【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3(a≠0), ∴抛物线的对称轴为直线x=1; (2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式; 【解析】(2)∵抛物线的顶点在x轴上, ∴2a2-a-3=0,解得a=或a=-1, ∴抛物线的解析式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围. 【解析】(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2), ∴当a>0,-1<m<3时,y1<y2; 当a<0,m<-1或m>3时,y1<y2. 13.(运算能力、抽象能力、创新意识)已知关于x的函数y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0)与函数y2=x2-2x+3,定义y1与y2的“和函数”为y=y1+y2. (1)若k=3,则y1与y2的“和函数”的解析式为　　　　　;  【解析】(1)∵k=3, ∴y1=6x-6, ∵y2=x2-2x+3, ∴y=y1+y2 =6x-6+x2-2x+3 =x2+4x-3, 则y1与y2的“和函数”的解析式为y=x2+4x-3; 答案:y=x2+4x-3 (2)若y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5,求k,b的值; 【解析】(2)∵y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0),y2=x2-2x+3, ∴y=y1+y2 =2kx-2k+x2-2x+3 =x2+(2k-2)x+(3-2k), ∵y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5, ∴x2+(2k-2)x+(3-2k)=x2-bx+5, ∴2k-2=-b,3-2k=5, ∴k=-1,b=4; (3)若y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n),求n关于m的解析式. 【解析】(3)∵y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0),y2=x2-2x+3, ∴y=y1+y2 =2kx-2k+x2-2x+3 =x2+(2k-2)x+(3-2k), ∵y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n), ∴m==1-k①, n==-k2+2②, 由①得,k=1-m③, 把③代入②,得n=-(1-m)2+2, 整理得,n=-m2+2m+1. 学科网（北京）股份有限公司 $$