22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时同步练习2024-2025学年 人教版 数学九年级上册

22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 知识点1　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是(C) A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是(C) 3.已知二次函数y=(x+m)2+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是　m≥-2　.  4.已知二次函数y=-(x+1)2+4. (1)该函数图象的开口向　　　　,顶点坐标为　　　　,对称轴为直线　　　　,函数图象与x轴的交点坐标为　　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　.  【解析】(1)∵a=-1,故抛物线开口向下,顶点坐标为(-1,4),对称轴为直线x=-1, 令y=0,即y=-x2-2x+3=0,解得x=1或-3,故函数图象与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),令x=0,则y=3,故与y轴的交点坐标为(0,3); 答案:下　(-1,4)　x=-1　(1,0),(-3,0)　(0,3) (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象. 【解析】(2)根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标,描点作出函数图象: (3)根据图象判断,当y>0时,x的取值范围是　　　　　　.  【解析】(3)根据图象,当y>0时,x的取值范围是-3<x<1; 答案:-3<x<1 (4)若点(-4,y1)与(-2,y2)是此二次函数图象上两点,则y1　　y2.(填“>”“<”或“=”)  【解析】(4)点(-4,y1)在x轴下方,而点(-2,y2)在x轴上方,故y1<y2. 答案:< 知识点2　抛物线的平移 5.抛物线y=-2(x-1)2-1可由抛物线y=-2(x+2)2+3平移得到,那么平移的步骤是(A) A.右移3个单位长度,再下移4个单位长度 B.右移3个单位长度,再上移4个单位长度 C.左移3个单位长度,再下移4个单位长度 D.左移3个单位长度,再上移4个单位长度 6.把抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后,得到的抛物线的解析式为　y=3(x-4)2　;把新得到的抛物线再向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为　y=3(x-4)2-3　.  知识点3　利用顶点式y=a(x-h)2+k求二次函数解析式 7.已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的解析式是(A) A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4 C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4 8.已知一条抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1,且与y轴交于点(0,-2),求该抛物线的函数解析式. 【解析】∵抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1, ∴设抛物线为y=(x+1)2+k或抛物线为y=-(x+1)2+k, ∵抛物线与y轴交于点(0,-2), ∴-2=(0+1)2+k或-2=-(0+1)2+k,解得k=-或k=-. ∴抛物线的解析式为y=(x+1)2-或y=-(x+1)2-. 9.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系是(D) A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是(B) 11.已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-4,则a的值为(D) A.或4 B.-或 C.-或4 D.-或4 12.已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上,当-2<x≤1时,y的取值范围是　-3≤y≤5　.  13.在平面直角坐标系中,设二次函数y=-(x-2m)2+3-m(m是实数). (1)当m=2时,判断函数图象与x轴有几个交点; 【解析】(1)当m=2时,y=-(x-4)2+1, 令y=0,则-(x-4)2+1=0, 解得x=4±, ∴函数图象与x轴有2个交点; (2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=-x+3上,你认为他的说法正确吗?为什么? 【解析】(2)小明说法正确,理由如下: 由题意得,顶点坐标是(2m,3-m), 当x=2m时,y=-×2m+3=-m+3, ∴顶点(2m,3-m)在直线y=-x+3上. 故小明说法正确; (3)已知点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在该二次函数图象上,求a的值. 【解析】(3)∵P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在二次函数的图象上, ∴对称轴是直线x==a+2m-2, ∴a+2m-2=2m, ∴a=2. 14.(易错警示题)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0). (1)求抛物线L1的函数解析式. 【解析】本题考查二次函数的性质、待定系数法、平移变换等知识,通过平移规律得到方程求解. (1)把A(1,0)代入y=a(x+1)2-4 得:a(1+1)2-4=0,解得a=1, ∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3; (2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值. 【解析】(2)抛物线L1:y=(x+1)2-4的顶点为(-1,-4), 将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2,则抛物线L2的顶点为(-1,-4+m), 而(-1,-4+m)关于原点的对称点为(1,4-m),把(1,4-m)代入y=x2+2x-3得: 12+2×1-3=4-m, 解得m=4. 15.(推理能力,几何直观)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3. (1)若二次函数的图象经过点(3,1). ①求这个二次函数的解析式; ②若y1=y2,求顶点到MN的距离. 【解析】(1)①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)经过点(3,1),∴1=a-1,∴a=2,∴二次函数的解析式为y=2(x-2)2-1; ②∵y1=y2,∴M,N关于抛物线的对称轴对称,∵对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1),且x2-x1=3,∴x1=,x2=, 当x=时,y=2(-2)2-1=, ∴当y1=y2时,顶点到MN的距离为+1=; (2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围. 【解析】(2)①若M,N在对称轴的异侧,y1≥y2,x1≤x≤x2,x2-x1=3, ∴x2=x1+3>2,∴x1>-1,2-x1≥x2-2,∴x1≤, ∴-1<x1≤, ∵函数的最大值为y1=a(x1-2)2-1,最小值为-1, ∴y1-(-1)=1,∴y1=0, ∴a=,∵≤(x1-2)2<9, ∴<a≤. ②若M,N在对称轴的异侧,y1<y2,x1<2, ∵x2-2>2-x1,x2=3+x1, ∴x1>,∴<x1<2, ∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1,最小值为-1, ∴y2-(-1)=1,∴y2=0, ∵x2=x1+3,∴a=, ∵<(x1+1)2<9, ∴<a<. 综上所述,<a≤. 素养提升攻略 趣味探究 　　如图1,“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x的变化而变化. 　　如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式. 素养训练3抽象能力、运算能力 通过阅读以上材料,完成以下问题: (1)写出y与x的关系式,并判断它是什么函数; 【解析】(1)依题意,y=(x+1)x=x2+x,它是二次函数; (2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数. 【解析】(2)当y=36时,x2+x=36, 解得x1=8,x2=-9(舍去). 答:第一层杯子的个数为8. 链接生活 抛物线与汽车前灯 　　把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”. 素养训练4几何直观、模型观念、运算能力 通过阅读以上材料,完成以下问题. (1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是　　　cm(直接写出结果).  【解析】(1)∵碗形ABC的碗宽是20 cm,∴AB=20(cm), 在Rt△ABC中,AC=10(cm), 设碗高是x cm,则AC2=·AB·x,∴x=10. 答案:10 (2)碗形ABC的碗宽为4 cm,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围). 【解析】(2)∵碗形ABC的碗宽为4,即AB=4,∴B(4,0), 如图,过点C作CE⊥x轴, ∵在等腰Rt△ABC中,BC=AC=2,设碗高是yc cm,则AC2=AB·yc,∴CE=yc=2, ∵△ABC是等腰三角形, ∴AE=BE=AB=2,∴C(2,-2). 设标准线ACB的函数解析式为y=a(x-2)2-2, 将点B(4,0)代入得,4a-2=0, 解得a=. ∴标准线ACB的函数解析式为y=(x-2)2-2=x2-2x. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 知识点1　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( ) A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是 ( ) 3.已知二次函数y=(x+m)2+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是　 　.  4.已知二次函数y=-(x+1)2+4. (1)该函数图象的开口向　　　　,顶点坐标为　　　　,对称轴为直线　　　　,函数图象与x轴的交点坐标为　　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　.  (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象. (3)根据图象判断,当y>0时,x的取值范围是　　　　　　.  (4)若点(-4,y1)与(-2,y2)是此二次函数图象上两点,则y1　　y2.(填“>”“<”或“=”)  知识点2　抛物线的平移 5.抛物线y=-2(x-1)2-1可由抛物线y=-2(x+2)2+3平移得到,那么平移的步骤是 ( ) A.右移3个单位长度,再下移4个单位长度 B.右移3个单位长度,再上移4个单位长度 C.左移3个单位长度,再下移4个单位长度 D.左移3个单位长度,再上移4个单位长度 6.把抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后,得到的抛物线的解析式为　 ;把新得到的抛物线再向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为　 　.  知识点3　利用顶点式y=a(x-h)2+k求二次函数解析式 7.已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的解析式是 ( ) A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4 C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4 8.已知一条抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1,且与y轴交于点(0,-2),求该抛物线的函数解析式. 9.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是 ( ) 11.已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-4,则a的值为 ( ) A.或4 B.-或 C.-或4 D.-或4 12.已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上,当-2<x≤1时,y的取值范围是　 　.  13.在平面直角坐标系中,设二次函数y=-(x-2m)2+3-m(m是实数). (1)当m=2时,判断函数图象与x轴有几个交点; (2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=-x+3上,你认为他的说法正确吗?为什么? (3)已知点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在该二次函数图象上,求a的值. 14.(易错警示题)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0). (1)求抛物线L1的函数解析式. (2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值. 15.(推理能力,几何直观)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3. (1)若二次函数的图象经过点(3,1). ①求这个二次函数的解析式; ②若y1=y2,求顶点到MN的距离. (2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围. 素养提升攻略 趣味探究 　　如图1,“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x的变化而变化. 　　如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式. 素养训练3抽象能力、运算能力 通过阅读以上材料,完成以下问题: (1)写出y与x的关系式,并判断它是什么函数; (2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数. 链接生活 抛物线与汽车前灯 　　把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”. 素养训练4几何直观、模型观念、运算能力 通过阅读以上材料,完成以下问题. (1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是　　　cm(直接写出结果).  (2)碗形ABC的碗宽为4 cm,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围). 学科网（北京）股份有限公司 $$