二年(2023-2024)中考数学真题、模拟题分项汇编(山东专用) 专题14 二次函数的实际应用

二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题14 二次函数的实际应用 【基本知识梳理】 在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量； 第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数； 第4步：求解。求出满足题意的数值。 考点1 利润问题 【例1】（2024·山东济宁中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【变式训练2】（2023·山东临沂中考真题）综合与实践 【问题情境】 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 【数据整理】 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 【模型建立】 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【变式训练3】（2024·山东青岛崂山三模）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表： 投入成本x（万元） … 1 2 4 8 … 甲产品利润（万元） … 0.5 1 2 4 … 乙产品利润（万元） … 2.25 4 6 4 … (1)与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该公司投资了甲、乙两款产品． ①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？ ②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率） 【变式训练4】（2024·山东德州平原二模）随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 (1)求y与x的函数关系式； (2)求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ (3)借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 考点2 抛物线型问题 （2023·山东威海中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据： 【变式训练1】（2024·山东青岛崂山校级三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求E点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） (4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 【变式训练2】（2024·山东临沂兰陵三模）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3） 活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【变式训练3】（2024·山东潍坊潍城区一模）某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离米，米，米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．    同学们认为，可以从中选择适当的函数模型，近似的模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系． (1)请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系，并求出函数表达式； (2)请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球的落地点到C点的距离更近；如果不能，请说明理由． 【变式训练4】（2024·山东临沂费县校级模拟）【发现问题】 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： d（米） … 0 1 2 3 4 … h（米） … 2 2 … 【解决问题】 (1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数关系式； (3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由． 【变式训练5】（2024·山东滨州经济开发区模拟）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 考点3 几何面积问题 【例1】（2024·山东济宁曲阜二模）【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．    分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【变式训练1】（2024·山东青岛城阳一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135°； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且BC边上留一个1米宽的门EF；   【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m． 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【变式训练2】（2024·山东枣庄山亭区二模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 考点4 其他问题 【例4】（2024·山东潍坊高密三模）数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 【实验过程】 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/ 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/ 0 19 36 51 64 75 … 【问题解决】 （1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （2）当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离． 【变式训练1】（2023·山东临沂河东二模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）的变化情况． 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 … 下面是小明的探究过程，请补充完整：    (1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，画出血液中酒精含量随时间变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你直接写出血液中酒精含量随时间变化的函数表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升时属于“醉酒驾驶”，请你求出车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间是多少?（；最终结果保留小数点后一位） 【变式训练2】（2023·山东临沂郯城二模）在过去那个落后的年代里，儿童的游戏多数都是健身益智游戏，如：踢毽子、跳房、跳绳、藏蒙蒙、抛石子、打拉门（方言）等．而现在的部分孩子却被手机毁了一生！其中抛石子游戏能够锻炼反应速度、改善中枢神经系统的功能，促进运动系统的协调性．如图（1），竖直直向上抛石块时，物体的初始向上的速度（米/秒）和上升的高度（米）都与时间（秒）存在某种函关系：图（2）是速度与时间的关系，图中射线分别与横轴，纵轴交于点，点，（速度向上记为正，向下记为负）    0 1 2 1 6 1 (1)请解释图（2）中点A所表示的实际意义：__________________ (2)请以表格中各组数据作为点的坐标，在图（3）的坐标系中画出关于的图像，猜想：是的__________函数，并求关于的函数关系式． (3)若速度不足5米/秒，求的取值范围． 【变式训练3】（2024·山东东营垦利区二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题14 二次函数的实际应用 【基本知识梳理】 在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量； 第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数； 第4步：求解。求出满足题意的数值。 考点1 利润问题 【例1】（2024·山东济宁中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）这段时间内y与x之间的函数解析式为 （2）当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【小问1详解】 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【变式训练2】（2023·山东临沂中考真题）综合与实践 【问题情境】 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 【数据整理】 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 【模型建立】 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1）见解析 （2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆 （3）①定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；②售价定为元时，每天能够获得最大利润 【解析】 【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 【小问2详解】由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； 【小问3详解】 ①设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定为元时，每天能够获得最大利润． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东青岛崂山三模）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表： 投入成本x（万元） … 1 2 4 8 … 甲产品利润（万元） … 0.5 1 2 4 … 乙产品利润（万元） … 2.25 4 6 4 … (1)与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该公司投资了甲、乙两款产品． ①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？ ②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率） 【答案】(1)， (2)①6万元；②40万元 【分析】（1）设，将表中数据代入计算即可求出答案； （2）①根据题意列出等式即可得到答案； ②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，计算出当时，w有最大值，最大值为，即可得到解答． 【详解】（1）设，将代入， 解得， ， 设， 将和和代入， ，解得， ． （2）①由题意得：， 故， 解得：（舍去），． 乙产品投入的成本是6万元． ②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元， 投入乙产品为n万元，则投入甲产品为万元， ， 抛物线开口向下，， 当时，w有最大值，最大值为． ， 解得． 答：该公司共投入成本是40万元． 【变式训练4】（2024·山东德州平原二模）随着通讯网络的迅猛发展，“成本低、受众广、销售展示更真实”的直播带货走进了人们的生活，某电商对一款进价20元的商品进行直播销售，每日销售该种产品的总开支（不含进价）总计400元，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着某种函数关系，部分对应值如表所示． x …… 22 24 26 28 y …… 360 320 280 240 (1)求y与x的函数关系式； (2)求出商家销售该种产品的日获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，当销售单价x为何值时，日获利最大？最大利润是多少？ (3)借助（2）中函数的图象思考：若商家希望该产品的日获利不低于1100元，求该商品销售单价的范围． 【答案】(1) (2)销售单价为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、不等式的联系，解题的关键是会用待定系数法求函数的解析式． （1）设与的关系式为，然后用待定系数法求解； （2）先计算出利润W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数，一元二次方程、不等式的关系，利用图象法结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由表格可看出y随x增大而减小，且减小一致， ∴设与的关系式为，把和分别代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为． （2）解： ， ∴当时，W取最大值，， 答：当销售单价x为30元时，日获利最大，最大利润是1600元． （3）解：令， 解得：，， ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，利润不低于1100元． 考点2 抛物线型问题 （2023·山东威海中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据： 【答案】3.2米 【解析】 【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键． 【变式训练1】（2024·山东青岛崂山校级三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求E点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） (4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)消防员应升高4米 (4)水流能顺利越过旗杆，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线的解析式，再根据，令，求出y，即可得出结论； （2）设抛物线为，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即可判断得解； （3）由抛物线形状不变，消防员后退，设出新的抛物线，根据过点E，求出k，可得解析式，然后令即可解答； （4）令代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆离消防员的水平距离是，高度是， ，． 设直线为， ， ， 直线AC为， 又， 令，则． ． （2）解：由题意知抛物线过，，， 设抛物线为， ， ．， 抛物线为， 当时，y取最大值为． 水喷出的最大高度． （3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退， 可设新抛物线为， 又过，， ， 新抛物线为， 令，则， 又， 消防员应升高4米． （4）解：∵新抛物线为， 令，则． 水流能顺利越过旗杆． 【变式训练2】（2024·山东临沂兰陵三模）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】（1）；  （2）    （3）大于且小于 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解题目中的数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，令二次函数中，即可求解； （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，根据进行计算即可求解． 【详解】解：（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，把代入一次函数解析式，把，代入二次函数解析式， 由题意得：，， 解得：，， ∴，； （2）依题意，得， 解得，（舍），， 当时，， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，； 当时，． ∴． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【变式训练3】（2024·山东潍坊潍城区一模）某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离米，米，米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．    同学们认为，可以从中选择适当的函数模型，近似的模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系． (1)请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系，并求出函数表达式； (2)请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球的落地点到C点的距离更近；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)扣球的函数解析式为；吊球的函数解析式为 (2)两种击球方式都能使球过网；选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用： （1）由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，据此利用待定系数法求解即可； （2）分别求出两个函数当时的函数值，然后与比较即可得到结论；由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似， 把代入中得：， ∴， ∴扣球的函数解析式为； 把代入中得：， ∴， ∴吊球的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴两种击球方式都能使球过网； 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【变式训练4】（2024·山东临沂费县校级模拟）【发现问题】 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： d（米） … 0 1 2 3 4 … h（米） … 2 2 … 【解决问题】 (1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数关系式； (3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)不能顺利通过，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据表格数据对应描点画图即可； （2）根据表格数据和图象的对称性可得答案； （3）根据二次函数的图象和性质可得答案． 【详解】（1）描点、连线、图象如图1； （2）该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，， 水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ； 将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， 可以确认该函数是二次函数； （3）游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令， 代入抛物线得， 由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米， ， ， 不能正常通过． 【变式训练5】（2024·山东滨州经济开发区模拟）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)d，h (2)见解析 (3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； （2）解：描点，连线，画出图象如图： ； （3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 考点3 几何面积问题 【例1】（2024·山东济宁曲阜二模）【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．    分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 【变式训练1】（2024·山东青岛城阳一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135°； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且BC边上留一个1米宽的门EF；   【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m． 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】当米，米时，围篱笆才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查二次函数的应用．过点作，连接，四边形为矩形，设，则，进而表示出，，，利用二次函数的性质即可作答． 【详解】解：过点作，连接， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，， ， ，， ，， ， ， 当时，， 当米，米时，围篱笆才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米． 【变式训练2】（2024·山东枣庄山亭区二模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键． 任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪掉的正方形的边长为； 任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值， 设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 由题意得：，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 考点4 其他问题 【例4】（2024·山东潍坊高密三模）数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 【实验过程】 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/ 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/ 0 19 36 51 64 75 … 【问题解决】 （1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （2）当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离． 【答案】（1）v与x的函数关系为；y与x的函数关系式为；（2）当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距离100． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表中数据分析，再利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系式解答即可； 【详解】解：（1）由题中表格可知， v随x变化而均匀变化， 所以v与x的函数关系为一次函数关系， 设， 代入，，得， 解得：， 所以v与x的函数关系为； 由题中表格可知，y没有随x的变化而均匀变化，排除一次函数，又……，排除反比例函数，即y与x的函数关系为二次函数关系， 因为函数过，设， 代入，得：， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）当时， 解得：． 分将代入得：． 当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距离100． 【变式训练1】（2023·山东临沂河东二模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）的变化情况． 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 … 下面是小明的探究过程，请补充完整：    (1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，画出血液中酒精含量随时间变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你直接写出血液中酒精含量随时间变化的函数表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升时属于“醉酒驾驶”，请你求出车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间是多少?（；最终结果保留小数点后一位） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间约为2.6小时 【分析】（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得； （2）由图象知左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得； （3）求出反比例函数中时的值，据此可判断． 【详解】（1）解：图象如图所示，    （2）解：由函数图象知当时，与成反比例函数关系，设， 将点代入，得：， ； 由表格知当时，与成二次函数关系，可设，代入点可得：，解得：， ∴，即， 综上所述：血液中酒精含量随时间变化的函数表达式为； （3）解：令 解得（舍），． 令，解得， ∴（小时） 答：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间约为2.6小时 【点睛】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求函数解析式的能力 【变式训练2】（2023·山东临沂郯城二模）在过去那个落后的年代里，儿童的游戏多数都是健身益智游戏，如：踢毽子、跳房、跳绳、藏蒙蒙、抛石子、打拉门（方言）等．而现在的部分孩子却被手机毁了一生！其中抛石子游戏能够锻炼反应速度、改善中枢神经系统的功能，促进运动系统的协调性．如图（1），竖直直向上抛石块时，物体的初始向上的速度（米/秒）和上升的高度（米）都与时间（秒）存在某种函关系：图（2）是速度与时间的关系，图中射线分别与横轴，纵轴交于点，点，（速度向上记为正，向下记为负）    0 1 2 1 6 1 (1)请解释图（2）中点A所表示的实际意义：__________________ (2)请以表格中各组数据作为点的坐标，在图（3）的坐标系中画出关于的图像，猜想：是的__________函数，并求关于的函数关系式． (3)若速度不足5米/秒，求的取值范围． 【答案】(1)石块上升至最高点，此时速度为零 (2)二次函数， (3) 【分析】（1）根据图形（2）可知时速度为零，再结合题意即可解答； （2）先根据表格中各组数据画出函数图像，再根据函数图像确定函数类型以及顶点坐标，然后列出顶点式运用待定系数法求解即可； （3）先求出直线解析式为，再根据题意求得t，然后求得h的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵物体的初始向上的速度（米/秒）和时间（秒）存在某种函关系，且时速度为零， ∴点A所表示的实际意义为：石块上升至最高点，此时速度为零． 故答案为：石块上升至最高点，此时速度为零． （2）解：画出关于的图像如下：    观察函数图像的对称性可知：是的二次函数，且该抛物线的顶点坐标为 设关于的函数关系式．    把代入，得：，解得：， 所以． （3）解：设直线解析式为： 把代入得：，解得： 所以 当时， 把代入得： ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的顶点式、求函数值的取值范围等知识点，求得二次函数的解析式是解答本题的关键． 【变式训练3】（2024·山东东营垦利区二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 【答案】任务一：，；任务二：每平方米应种植株或株；任务三： 【分析】任务一：根据题意直接得出结论； 任务二：根据单株产量每平米的株数列出方程，解方程即可； 任务三：现根据种植作物每平米的产量单株产量每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植作物每平米的最高产量，再根据平米种植作物和作物的产量之和列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克， 故答案为：，； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴或， 答：每平方米应种植株或株； 任务三：设种植作物每平方米的产量为千克， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴种植作物每平方米最大产量为千克， 根据题意得：， 解得， 则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 考点1 利润问题 学科网（北京）股份有限公司 $$