已知函数值相等求自变量差或积的范围问题讲义-2025届高三数学一轮复习

已知函数值相等求自变量差或积的范围问题 在高三复习中,各级各类模拟试题经常出现一类以函数为载体,告知两个函数值相等,求自变量差或积的取值范围问题.此类问题较为灵活,没有固定的解法,一般可以采用代数方法或者图象方法进行求解,或者两者结合先画出图象观察再进行严谨的代数推理.在实际解题中,要根据题目条件的结构特征灵活选择恰当的方法.本文举例进行说明. 类型一:求自变量差的取值范围 例1.已知函数,若,且,则的取值范围是 解析: 1.代数法 易知,,,. 由,得,故. 则. 令,. ,令,得. 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; 故的最大值为. 又,,所以. 因此. 简评:代数法中,运用了消元的思想,将表示成关于的表达式,统一变量,然后构造函数,运用求导加以求解. 2.图象法 图(1) 图(2) 如图(1)所示,作出直线与曲线相交于,.当直线过,时,的值为.当直线过,时,的值为(注意取不到这个值).如图(2)所示,设直线与曲线相切于点,则易知,.此时的值为.因此. 简评:借助图象分析问题,直观形象,化抽象为具体,其关键在于具有动态思维,并且懂得对相切时的情况进行分析. 例2.若实数满足,则的最小值为 解析: 1.代数法 由已知有,则,即. ,显然,故. 令,. ,令,得. 当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 故的最小值为.因此的最小值为1. 简评:运用消元思想,将表示成关于的表达式,统一变量,然后构造函数,运用求导加以求解. 2.图象法 图(3) 如图(3)所示,画出与的图象,因此的最小值等价于直线与和交点横坐标之间距离的最小值.设直线与曲线相切于点,则易知,.此时的最小值为1. 简评:借助图象分析问题,对相切时的情况进行分析即可求解. 例3.已知函数,若,且,则的取值范围是 解析:易知,,,. 由,得,故. 则. 令,. ,令,得. 当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 故的最小值为. 又,,所以. 因此. 例4.已知,,若成立,则的最小值为 解析:令,得,. 故. 令,. ,显然,且. 当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 故的最小值为. 因此的最小值为. 简评:例3和例4都采用代数法求解.例4中较难将与互相表示,故引入一个变量,起到搭桥化简的作用,将与都用表示出来,然后构造函数解决问题. 类型二:求自变量积的取值范围 例5.设函数,若,且,则的取值范围是 解析:画出函数的图象,如图(4)所示. 设,.由已知有,. 图(4) 由于,所以有. 化简得,即. 如图(5)所示,点在以为圆心,为半径的圆上运动.由于,,所以点在弧(不包括端点)运动. 图(5) 令,.将其变形为,代表的图形为双曲线.当该双曲线经过点时,最小为;当该双曲线经过点时,最大为;故. 例6.已知关于的方程的两个实数解为,,则的取值范围是 解析:如图(6)所示,设,,则,. 图(6) 图(7) 显然,. 由得. 故有, 解得, 即. 例7.已知和的零点分别为,则则的取值范围是 解析:如图(7),设,,则,. 显然,. 由得, 解得, 即, 即. 简评:例5,例6,例7三道试题都是已知函数值相等求自变量积取值范围.先画出相应函数的图象,结合图象分析问题,再采用恰当的方法进行求解. 不难发现,对于此类已知两个函数值相等,求自变量差或者积取值范围试题,要充分挖掘题目隐含的结构特征,善于转化与回归.严格的代数推理有着较高的逻辑思维要求,因此往往可以先借助图象得到一个直观的认识再利用代数法进行严谨的推理论证,从而实现解题的高效. 学科网（北京）股份有限公司 $$