第5章 2 实际问题中的函数模型(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 函数应用 §2　实际问题中的函数模型 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 爱因斯坦说过,复利的威力比原子弹还可怕。若每月坚持投资100元,40年之后将成为百万富翁。也就是说随着变量的增长,指数函数值的增长是非常迅速的,可以根据这一特点来进行资金的管理。例如,按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,设本利和为y,存期为x,那么要知道存一定期限之后所得的本利和,就要写出本利和y随着存期x变化的函数式。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课程标准 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律。 2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 新知·自主学习 启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 函数模型 (1)当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画。 (2)函数模型是应用最广泛的数学模型之一。实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究这个函数的性质,使问题得到解决。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微提醒 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下: 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微思考 运用函数模型刻画实际问题时,要注意什么问题? 提示:(1)自变量的取值范围受实际意义的限制。(2)由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同,因此往往需要对模型进行修正。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 课堂·合作探究 细研，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型一　用已知函数模型解决实际问题 　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=log3-lgx0,单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg2≈0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66)。 (1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,候鸟的飞行速度是多少km/min? 例1 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 由题意,x0=2,x=8 100, 得v= log3-lg2≈1.7, 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少单位? 由题意得,当候鸟停下休息时,它的速度是0, 可得0=log3-lg5, 即log3=2lg5=2(1-lg2),解得:x≈466, 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍? 设雄鸟的耗氧量为x1,雌鸟的耗氧量为x2, 由题意得: 两式相减可得1=log3,解得=9, 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　解函数关系已知的应用题的步骤 (1)确定函数关系式y=f(x)中的参数,求出具体的函数解析式y=f(x)。 (2)讨论x与y的对应关系,针对具体的函数去讨论与题目有关的问 题。 (3)给出实际问题的解,即根据在函数关系讨论中所获得的理论参数值给出答案。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 某种细菌经30 min数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:h),y表示繁殖后细菌总个数,则k= ,经过5 h,1个细菌通过繁殖个数变为 。  训练1 2ln2　 1 024 由题意知,当t=时,y=2,即2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2。当t=5时,y=e2×5×ln2=210=1 024。即经过5 h,1个细菌通过繁殖个数变为1 024。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型二　拟合函数问题 　某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如表所示: 例2 年份 2016 2017 2018 2019 x/年 0 1 2 3 生产总值 /万亿元 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (1)画出函数图象,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式; 根据表中数据画出函数图象,如图所示。 从函数的图象可以看出,画出的点近似地 落在一条直线上,设所求的函数为y=kx+b。 把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8) 代入上式,解方程组,可得k=0.677 7,b=8.206 7。 所以它的一个函数关系式为y=0.677 7x+8.2067。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较。 由(1)中得到的关系式为f(x)=0.677 7x+8.206 7,计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为 f(1)=0.677 7×1+8.206 7=8.884 4, f(2)=0.677 7×2+8.206 7=9.562 1。 与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　解决拟合函数模型问题的步骤 (1)根据原始数据、表格,绘制两个变量间的散点图。 (2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线。 (3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系。 (4)利用函数关系式,根据条件所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58。为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y1=ax2+bx+c,乙选择了模型y2=p·qx+r,其中y1,y2为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数。结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好? 训练2 依题意得 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 即 所以甲:y1=x2-x+52。 又②-①,得p·q2-p·q1=2　④, 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 ③-②,得p·q3-p·q2=4　⑤, ⑤÷④,得q=2。 将q=2代入④式,得p=1。 将q=2,p=1代入①式,得r=50。 所以乙:y2=2x+50。 计算当x=4时,y1=64,y2=66; 当x=5时,y1=72,y2=82; 当x=6时,y1=82,y2=114。 可见,乙选择的模型较好。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 随堂·达标检测 训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是(　　) A.y=0.957 B.y=(0.957 6)100x C.y= D.y=1-0.042 设每年的剩留量为上年的a倍,则a100=0.957 6,a=0.957 ,则x年后剩留量y=ax=0.957 。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: 则下面的函数关系式中,拟合效果最好的是(　　) A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 将数值代入各项验证。 解析 x 1 2 3 … y 1 3 8 … 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 当x=1时,否定选项B;当x=3时,否定选项A,D,检验C项较为接近。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 4.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数)。假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L。  因为5 min时,桶A和桶B中的水量相等,所以a·e-5n=a-a·e-5n,所以e-5n=。令a·e-nt=,则e-nt===(e-5n)3=e-15n,故有t=15。所以再过10 min,桶A中的水只有 L。 解析 10 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第五章　§2　实际问题中的函数模型 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 $$