第1章 4.3 一元二次不等式的应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 某杂志以每本2元的价格发行时,发行量为10万册。经过调查,若价格每提高0.2元,则发行量就减少5 000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内? 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课程标准 1.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 新知·自主学习 启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 一、简单的分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔(ax+b)(cx+d)>0(<0)。 (2)≥0(≤0)⇔ 总之,简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 二、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 三、一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题,可按下面思路解决: 转化为一元二次不等式解集为R的情况,即 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ 𝑎>0 𝛥<0 𝑎<0 𝛥<0 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微思考 1.>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处? 2.解一元二次不等式应用题的关键是什么? 提示:等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式。 提示:解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 课堂·合作探究 细研，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型一　简单的分式不等式的解法 　解下列不等式: (1)<0; 例1 <0⇒(x-3)(x+2)<0⇒-2<x<3, 所以原不等式的解集为{x|-2<x<3}。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)≤1。 因为≤1,所以-1≤0, 所以≤0,即≥0。 此不等式等价于(x-4)≥0 且x-≠0,解得x<或x≥4, 所以原不等式的解集为。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零。 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 解下列不等式: (1)≥0; 训练1 根据商的符号法则,不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤-1或x>3。 即知原不等式的解集为{x|x≤-1,或x>3}。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)<3。 不等式<3可改写为-3<0,即<0。 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1。 所以,原不等式的解集为{x|-1<x<1}。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型二　一元二次不等式恒成立问题 　已知函数y=mx2-mx-1。 (1)若对于一切实数x,不等式y<0恒成立,求实数m的取值范围; 例2 要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0恒成立。若m≠0,则解得-4<m<0。综上可知,m的取值范围是-4<m≤0。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)若对于一切实数x,不等式y≥-2恒成立,求实数m的取值范围。 不等式y≥-2,即为mx2-mx+1≥0。若m=0,则不等式即为1≥0,显然恒成立;若m≠0,则应有解得0<m≤4。综上,实数m的取值范围是0≤m≤4。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　(1)一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是 一元二次不等式ax2+bx+c<0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2+bx+c>0(≥0)对一切x恒成立问题时,应注意对二次项的系数进行讨论,需研究二次项系数为0时是否满足题意。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是(　　) A.-1≤k≤0 B.-1≤k<0 C.-1<k≤0 D.-1<k<0 训练2 当k=0时原不等式等价于-2<0,显然恒成立,所以k=0符合题意。 当k≠0时,由题意得 解得-1<k<0,综上,-1<k≤0。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型三　一元二次不等式的实际应用 　某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块,计划把图中矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米。 例3 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式; 根据题意,得△NDC与△NAM相似,所以=,即=,解得AD=20-x。所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S=20x-x2(0<x<30)。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内? 要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米,即20x-x2≥144,化简得x2-30x+216≤0,解得12≤x≤18,所以AB的长度取值范围为{x|12≤x≤18}。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　解答不等式应用题,首先要认真审题,分清题意,建立合理的不等式模型,防止在解答此题时,建立不正确的不等式20x-x2≤144,错误的原因是对“不少于”含义的错误理解。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏。为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格? 训练3 设每盏台灯售价x元,则x≥15,并且日销售收入为x[30-2(x-15)],由题意知,当x≥15时,有x[30-2(x-15)]>400,解得15≤x<20。 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制定这批台灯的销售价格为不小于15元且小于20元。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型四　二次函数在给定范围内的最值 　已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立,求a的取值范围。 例3 函数y=x2+ax+3-a在-2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数,设为y1,则 ①当对称轴x=-<-2,即a>4时,y1=(-2)2+(-2)a+3-a=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾, 不符合题意。 ②当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,y1=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2。 ③当->2,即a<-4时,y1=22+2a+3-a=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4。 综上,a的取值范围为-7≤a≤2。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　 二次函数在给定范围内的最值要结合二次函数的对称轴与所给定的范围的关系进行讨论。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 设函数y1=mx2-mx-1,若对于任意的1≤x≤3,y1<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≤0} B. C. D. 训练4 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 函数y1=mx2-mx-1,若对于任意的1≤x≤3,y1<-m+4恒成立,即mx2-mx+m-5<0对于任意的1≤x≤3恒成立。令y2=mx2-mx+m-5,当m=0时,-5<0恒成立。当m<0,x=1时y2最大,且(y2)max=m-5<0,解得m<5,所以m<0。当m>0,x=3时y2最大,且(y2)max=7m-5<0,解得m<,所以0<m<。综上所述,实数m的取值范围为。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 随堂·达标检测 训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 1.不等式≤0的解集是(　　) A.{x|x<-1,或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1,或x≥2} D.{x|-1<x≤2} 此不等式等价于所以-1<x≤2。故选D。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 2.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2 400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米。为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是(　　) A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6} 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2 400××t%=60(8t-t2)。令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 3.不等式≥-1的解集是 。  　{x|x≤0,或x>1} ≥-1⇔+1≥0⇔≥0⇔所以不等式的解集是{x|x≤0,或x>1}。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 4.已知不等式x2+x+k>0恒成立,则k的取值范围为 。  由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k的取值范围为。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.3　一元二次不等式的应用 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 $$